基于軸力權重的有側移鋼框架整體穩定性的實用算法

蘭樹偉， 周東華， 陳 旭， 王春華

(1. 昆明學院 建筑工程學院，昆明 650214； 2. 昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500)

目前計算有側移鋼框架整體穩定性主要采用計算長度系數法[1-3]，該法利用GB 50017—2017《鋼結構設計標準》[4](簡稱規范)提供的計算長度系數表格求得框架柱計算長度系數，逐根構件校核計算結構的臨界承載力，而多層鋼框架通常構件數量很多，構件參數變化多，實際應用多有不便；而且該法是在理想化假定下進行求解，未能計入同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，對于得到支援的框架柱計算偏于保守，對于提供支援的框架柱計算又偏于不安全。文獻[5]研究了框架層與層之間的支援作用，從頂層和底層開始，分別往上和往下計算到薄弱層，把各層富裕的潛力收集到薄弱層的兩端，從而確定出薄弱層的框架柱計算長度系數，該法計算過程繁雜。文獻[6-8]將框架柱逐根逐層進行剛度組裝，利用有限元回歸擬合公式對多層有側移框架整體穩定進行計算。文獻[9]將各桿件剛度組裝成一個超越方程，提出了一種確定多層框架整體穩定的算法，該法求解需借助計算機軟件迭代計算。文獻[10]以計算長度系數法為基礎，建立了結構整體剛度矩陣，借助于計算機軟件求解非規則框架臨界力。本文通過分析軸向載荷和框架柱抗側剛度之間的關系通過結構轉換的辦法建立了框架結構的平衡方程，采用框架樓層重復單元求解框架整體抗側剛度，避免了逐根求解的不便，并基于軸力權重計算有側移鋼框架整體穩定承載力，無需迭代求解復雜的超越特征方程，也無需進行有限元公式回歸計算。下面就基于軸力權重的有側移鋼框架整體穩定臨界承載力的解析近似計算公式推導進行介紹。

1 彈簧-搖擺柱模型

單層單跨框架(原結構)，如圖1(a)所示，精確求解其結構穩定承載力需要迭代求解超越方程，能量法近似計算穩定承載力需要建立總勢能方程，求解不便，特別是對于桿件較多的多層多跨框架結構，平衡法所得穩定超越方程更為復雜，能量法建立的總勢能方程也將更為冗長，求解將更為困難，因此，有必要尋找便于求解的方法。搖擺柱自身無法保持穩定，只有依附在穩定結構上方可承載，利用搖擺柱這種受力特點建立單層框架的擴展結構，如圖1(b)所示。擴展結構荷載僅作用在搖擺柱上而原結構框架上無荷載，其臨界狀態方程為代數方程，求解極為方便。若能利用擴展結構求解原結構的臨界承載力，那么將使得框架整體穩定承載力的復雜二階計算轉化為簡單的代數方程求解。

圖1 單層單跨框架及彈簧-搖擺柱模型Fig.1 Single-layer frame and spring-swing column model

(1)

式(1)物理意義為外荷載對彈簧剛度的削弱程度，當處于臨界平衡時彈簧剛度被削弱至零，即有側移框架失穩時，外荷載將框架抗側剛度削弱為零。

擴展結構中搖擺柱自身無法保持穩定，靠所依附的原結構提供剛度支持方可維持自身穩定以承載，因此搖擺柱無法提供剛度，故擴展結構與原結構具有相同的抗側剛度，將擴展結構臨界力進行如下變換

(2)

將式(1)和式(2)聯立可得如下臨界平衡方程

(3)

式中，P/h與K0量綱相同，稱為荷載剛度，用KP表示，因此，式(3)可視為臨界平衡方程用結構抗側剛度和荷載剛度的表達形式，實現了利用擴展結構求解原結構的臨界承載力的目的，只需要確定臨界剛度比系數α，就可以將臨界承載力計算復雜二階問題轉化為計算結構的一階抗側剛度。

2 有側移鋼框架整體抗側剛度和荷載剛度

若將彈簧-搖擺柱模型中彈簧替換為如圖2所示的有側移鋼框架，由式(3)可以看出，當確定了框架的抗側剛度K0和臨界剛度比系數α后，可通過擴展結構確定有側移鋼框架(原結構)整體穩定的臨界承載力。

圖2 多層鋼框架計算簡圖Fig.2 Multi-layer steel frame calculation diagram

2.1 確定鋼框架整體抗側剛度

圖2(a)所示的多層鋼框架，假定第i層層間相對位移δi，層抗側剛度為ki，為求解鋼框架整體抗側剛度，如圖2(b)所示將每層抗側剛度視為一個彈簧，鋼框架整體抗側剛度可視為每個彈簧的串聯，因此，框架各層整體抗側剛度Ki與層抗側剛度之間的關系式為

(4)

式中：Ki為i層框架整體抗側剛度(1≤i≤n)；k1,k2,…,ki為各層的抗側剛度。

圖3 樓層重復單元的梁柱變形和邊界條件Fig.3 Deformation and boundary conditions of story repeating element

圖4 1/2對稱樓層重復單元彎矩圖Fig.4 Bending moment of 1/2 symmetry story repeating element

用圖乘法可求得樓層重復單元層間相對位移δ

(5)

由圖3樓層重復單元梁柱變形圖，可以看出荷載作用下產生的層間相對位移，使得框架柱變形后弦線與鉛垂線之間產生夾角γ，由該變形后的幾何關系可求得

(6)

(7)

對于框架底層由于下部為固定端約束，即梁剛度無窮大，假定柱反彎點在層高2/3[11]，按照前述圖乘法計算得到底層抗側剛度近似計算公式為

(8)

將式(7)和式(8)所求得的各樓層抗側剛度進行剛度串聯，即代入式(4)可得出i層框架整體抗側剛度計算公式

(9)

式中：mi為第i層框架柱總根數；若同一樓層重復單元梁、柱截面慣性矩不相等且梁柱線剛度比0.3≤hIb/(lIc)≤5，可以取梁、柱的平均慣性矩；如果梁跨距不相等且相鄰跨差不大于3時，可取平均跨距。

2.2 確定鋼框架整體荷載剛度

利用分離柱法[12-13]將分析的局部柱(如圖2(a)填充示意框架柱)從整體框架結構中分離出來，框架結構的每根分離柱的柱端約束都可采用兩個轉動彈簧來模擬，其轉動剛度分別為c1和c2，如圖5(a)所示。定義R1=c1/6ic,R2=c2/6ic,ic為分離柱的線剛度。圖5(a)所示分離柱的穩定平衡方程為

(36R1R2-ε2)sinε+6(R1+R2)εcosε=0

(10)

由于分離柱的穩定平衡方程仍屬于多變量超越方程，直接解析求解較為困難，因此考慮采用結構轉換的方法進行求解，即用兩彈簧分離柱替換彈簧-搖擺柱模型中的彈簧，建立分離柱的擴展結構如圖5(b)所示。由式(3)可求得任意單根分離柱的臨界方程

(11)

式中：αij為第i層(1≤i≤n)第j根(1≤j≤m)柱臨界剛度比系數；Nij為第i層第根柱軸力。

圖5 分離柱計算簡圖Fig.5 Calculation diagram of separation column

∑FX=0,fAX=0; ∑FY=0,fAy=-T

(12)

將分離柱從任意截面m-n截開，取下段為研究對象，對m-n截面彎矩平衡得

fAxy-fAyx-Mmn-c2y′0=0

(13)

式中，Mmn=-EIy″。

(14)

分離柱的桿端存在邊界條件：x=0,y=0;x=h,EIy″+c1y′=0,y=δ。據此邊界條件可算得通解方程中的常數進而求得分離柱的擴展結構臨界力

(15)

式中，R1和R2分別為柱上、下端橫梁線剛度之和與柱線剛度之比。

由式(10)可求得分離柱的臨界承載力為

(16)

由式(15)和式(16)求得鋼框架任意分離柱臨界剛度比系數

(17)

按照鋼框架整體抗側剛度的求法，可將鋼框架整體荷載剛度表示為

(18)

式中：KPi為i層鋼框架的整體荷載剛度(1≤i≤n)；kP1,kP2,…,kPi為各層的荷載剛度，按式(19)計算

(19)

式中，λi為第i層臨界因子。假定各柱的軸力均按比例加載，選取最小軸壓力Nmin作為公因子來計算，即：Nij=ξijNmin，其中ξij為比例系數。

將式(19)代入式(18)得各層整體荷載剛度

(20)

3 基于軸力權重的有側移鋼框架整體穩定承載力計算

(21)

由式(21)可求出有側移鋼框架臨界承載力，所求各層的臨界因子λi相等，即各層同時發生失穩而未發生相互支援作用，這種情況在實際工程中很少出現。若不考慮層與層的支援作用而直接按此計算有側移鋼框架臨界承載力，往往存在較大偏差，可能會造成不合理的設計。

3.1 軸力權重與臨界力的關系

由于結構剛度屬于結構的固有特性，結構體系確定則其結構剛度隨之確定。柱上不同的荷載布置引起的只是不同的剛度激活程度，而這種激活程度的大小主要體現在軸力權重比例的變化。

如圖6所示單跨雙層鋼框架，當荷載N僅作用在上層柱頂部時，此時軸力圖見圖6(a)，軸力滿布于柱全高，此時結構剛度完全被激活，即荷載剛度KP/Ki=1，無富裕剛度；當柱中及柱頂分別作用集中荷載P1和P2，逐步變化上下層柱墩作用荷載P1和P2(存在P1+P2=N)，上下層柱軸力分布圖為圖6(b)～圖6(g)，有效剛度會隨上柱的軸力權重變化而變化，上層柱滿載(見圖6(a))，上半段的全部剛度激活；上層柱空載(見圖6(g))，上層柱的全部剛度未被激活，上層柱的側移完全來自于下層柱所引起的剛體移動；介于兩者之間(見圖6(b)～圖6(f))則部分激活，上層柱的側移部分來自于下層柱所引起的剛體移動，上層柱的剛度未完全激活。

為展示軸力權重比例變化與結構臨界力之間的關系，圖6所示鋼框架假定橫梁線剛度無窮大，分別采用規范計算長度系數法，有限元法與本文式(21)計算方法求得不同情況下結構臨界力，計算結果列入表1。臨界力用無量綱形式表達，即：PE=π2EI/h2。

圖6 單跨雙層鋼框架軸力圖Fig.6 Axial force of single-span double-layer steel frame

表1 不同荷載分布柱臨界承載力對比分析Tab.1 Comparison of critical bearing capacity of columns with different load distributions

由表1可以看出：有限元ANSYS所求得各種荷載分布下雙層鋼框架一層臨界力相等，主要是橫梁剛度太大阻礙了二層對一層發生支援，一層未獲得二次的剛度支援；計算長度系數法求得二層臨界力與一層臨界力相等，因為該算法隨著梁柱線剛度比確定而確定，未考慮荷載分布對剛度的影響，而軸力上下柱不同分布又引起不同的剛度激活，這種情況該方法不能考慮；式(21)將鋼框架層臨界力集合起來進行層間分配求得，但也未考慮結構剛度的激活程度，剛度較小樓層會獲得有富裕剛度樓層提供的剛度支援，臨界力會有所提高，各樓層最終同時失穩，而激活程度的大小主要體現在軸力權重比例的變化，因此，考慮將層臨界因子λi按照軸力權重進行修正以考慮結構剛度的激活程度。

3.2 有側移鋼框架整體穩定承載力計算

通過前述分析結構剛度的激活程度，為了考慮這種由剛度激活程度不同引起的層與層之間的支援作用，對式(21)所求出的層臨界因子λi按照層軸力加權平均的方法求出結構整體臨界因子λ，得到按照軸力權重修正的有側移鋼框架臨界承載力和計算長度系數計算公式

(22a)

(22b)

(Nij)cr=ξij(λNmin)

(22c)

(22d)

式中：N1,N2,…,Nn為各層軸力之和；λ1,λ2,…,λn為鋼框架各層的臨界因子，由式(22a)求得；λ為鋼框架的整體臨界因子，由式(22b)求得；(Nij)cr為第i層第j根柱臨界力；μij和EIij分別為第i層第j柱的截面抗彎剛度和計算長度系數。

式(22a)所求得鋼框架層臨界因子的最小值所在樓層為薄弱層，對于層臨界因子小于結構整體臨界因子的樓層，表示這些樓層剛度耗盡，需要獲得剛度富裕樓層提供的剛度支援，得到支援的樓層臨界承載力有所提高，最終達到結構整體穩定臨界承載力而共同失穩；對于層臨界因子大于結構整體臨界因子的樓層，表示這些樓層存在剛度富裕，能夠為側向剛度較小樓層提供剛度支援，提供剛度支援的樓層臨界力有所降低，最終框架各樓層共同失穩。從層臨界因子與結構整體臨界因子的相對大小及比例關系可以定量地分析鋼框架結構層與層之間的支援作用。

4 算 例

選取兩個算例用有限元ANSYS進行彈性屈曲分析，以便對本文方法和規范法的計算結果進行比較，ANSYS求解時梁柱均采用BEAM188單元，節點均為剛接。

4.1 算例1

單跨雙層鋼框架如圖7所示，用本文方法求解其臨界承載力以及計算長度系數。

圖7 單跨雙層鋼框架及軸力、臨界剛度比系數Fig.7 Single-span two-story frame and axial force, the critical stiffness ratio coefficient of steel frame columns

由式(7)和式(8)求得鋼框架層抗側剛度

由式(9)求得鋼框架層整體抗側剛度

由式(17)可以求得雙層鋼框架上、下層柱的臨界剛度比系數分別為α1=1.155, α2=1.095；代入式(19)可求得鋼框架層荷載剛度分別為

由式(20)求得鋼框架層整體荷載剛度分別為

由式(22a)可求得鋼框架各層層臨界因子

λ1=0.158，λ2=0.271

表2 框架柱臨界承載力及計算長度系數對比Tab.2 Comparison of critical bearing capacity and calculated length factor of columns

從表2可以看出，本文方法框架柱臨界承載力計算結果與ANSYS計算精確解的比值為0.990，計算長度系數之比為1.005，吻合程度好，誤差很小，而規范計算長度系數法計算結果偏差很大，如：二層柱臨界承載力比ANSYS大了194%，計算長度比ANSYS小了42%，嚴重高估了該柱臨界承載力，存在安全隱患，這是由于計算長度系數法無法考慮同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，也證明了本文方法能很好地考慮這兩種支援作用。

4.2 算例2

三跨六層鋼框架，如圖8所示，用本文方法求解結構臨界承載力以及圖中填充框架柱的計算長度系數。

圖8 三跨六層鋼框架及軸力、臨界剛度比系數Fig.8 Three-span six-story steel frame and axial force, the critical stiffness ratio coefficient of frame columns

本文方法求解，具體步驟如下：

步驟1由式(7)和式(8)可求得鋼框架各層抗側剛度ki，根據式(9)求得鋼框架整體抗側剛度Ki。

步驟2由式(19)可求得各層荷載剛度kPi，由式(20)可求得各層整體荷載剛度KPi。

步驟3由式(22)計算整體結構臨界因子λ，隨之確定框架柱臨界承載力Ncr和柱計算長度系數，相關計算列入表3。

由表3可知：規范計算長度系數法求得框架柱臨界承載力和計算長度系數與有限元ANSYS計算結果相比偏差大，如二層柱臨界承載力比ANSYS計算結果小了22%，計算長度比ANSYS大了13%；對于四層柱臨界承載力比ANSYS計算結果大了185%，計算長度比ANSYS小了41%；這主要是由于傳統計算長度系數法無法考慮同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，使得得到支援的框架柱臨界力計算偏于保守，對于提供支援的框架柱臨界力計算又偏于不安全，若采用計算長度系數法可能會造成不合理的設計。本文計算框架柱臨界承載力與有限元計算結果之比約為1.053，計算長度系數之比約為0.975，吻合程度好，表明充分考慮了兩種支援作用。

表3 框架柱臨界承載力及計算長度系數的計算過程與對比結果Tab.3 Calculation process and compare results of critical bearing capacity and calculated length factor of columns

由表3還可知：框架層臨界因子的最小值所在樓層為第二層，表明該層為結構薄弱層，該層臨界因子為0.050，整體結構臨界因子λ=0.060，該層從剛度富裕樓層獲得支援，提高了該層結構臨界承載力，提高比例為20%；該結構一層～三層層臨界因子均小于結構整體臨界因子，表明該三層結構無剛度富裕，需要剛度較大樓層提供剛度支援，臨界承載力提升比例分別為15%，20%和11%；四層～六層層臨界因子大于結構整體臨界因子，表明該三層結構有剛度富裕，可為剛度較小樓層提供支援，臨界承載力有所降低，其中六層剛度富裕程度最高，但由于該層軸力小，剛度的激活程度低，對薄弱層的支援有限。

5 結 論

(1) 用彈簧搖擺柱模型揭示了有側移鋼框架整體穩定的實質，利用解析的方法推導了有側移鋼框架整體穩定臨界承載力的計算公式，可很好地考慮同層柱的柱間支援以及層與層的支援作用，為校核有限元整體穩定計算結果的可靠性提供了一種解析驗證手段。

(2) 本文方法能夠定量計算鋼框架層與層之間的支援作用，判斷結構薄弱層所在位置，可以定量地分析樓層臨界承載力的提高程度，為分析框架結構層與層之間的支援作用提供了一種計算方法。