考慮剪切變形的連續鋼-混組合梁動力特性分析

孫琪凱， 張 楠， 劉 瀟

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

連續鋼-混組合梁(以下簡稱“連續組合梁”)具有剛度較大、跨越性能好等優勢，而常被應用于公路、鐵路橋梁建設中。其一般由混凝土子梁和鋼梁兩部分組成，并通過剪力鍵傳遞兩者之間的剪力。由于剪力鍵的柔性特性造成連續組合梁運動時鋼梁和混凝土子梁之間產生相對剪切滑移，使得其動力性能變得比單一材料的連續梁更為復雜[1-3]。目前，關于連續組合梁動力性能研究的文獻很少[4-5]。且其分析模型中未考慮剪切變形的影響或考慮了剪切變形但假定子梁剪切角相等。這兩種假定均會高估組合梁的截面抗彎剛度，從而高估其自振頻率[6]。因此，提出一種子梁分別為獨立變形的Timoshenko梁單元的連續組合梁動力性能分析模型是十分必要的。

目前，組合梁試驗研究主要有組合梁的動力響應[7-8]、剪力鍵疲勞性能[9-11]等方面。理論研究方面，目前發展出了Euler-Bernoulli組合梁理論(EBT組合梁)[12-15]、Timoshenko組合梁理論(TBT組合梁)[16-18]以及高階組合梁理論(HBT組合梁)[19-21]等。EBT組合梁不考慮剪切變形和轉動慣量的影響，使得組合梁頻率計算結果大于實際結果，特別是對短粗梁和組合梁的高階頻率。Xu等和Lin等均考慮了剪切變形和轉動慣量的影響，但假定鋼梁和混凝土子梁具有相同的剪切角，一定程度上提高了組合梁動力分析的計算精度。然而鋼梁和混凝土子梁的剪切角顯然是不相等的，人為假定其相等仍然會造成組合梁剛度的高估。因此Nguyen等基于子梁獨立轉角假定，推導了組合梁的運動微分方程并求解單跨組合梁的自振特性。該假定更加符合組合梁的運動狀態，提高了計算精度。HBT組合梁理論是假定多個未知量，使組合梁的位移場函數更加符合實際情況；基于能量原理并采用有限元的方法，分析組合梁的動力性能。其主要的優點是能夠分析組合梁的截面應力分布，但是由于假定的未知參數很多，造成計算分析時工作量較大。綜合以上討論，進行連續組合梁動力性能分析時，應基于Timoshenko梁理論且假定子梁的剪切角是相互獨立的。從而提高計算模型的精度。

本文擬基于Timoshenko梁理論，考慮剪切變形和界面滑移的影響，提出一種連續組合梁動力分析模型。假定混凝土子梁和鋼梁分別具有獨立的剪切角，使其與連續組合梁的實際運動狀態更符合，從而提高其計算精確。并通過分析邊中跨比、跨高比和剪切變形等因素對連續組合梁自振特性的影響，給出可以忽略剪切變形、剪切滑移影響的條件。

1 計算理論

1.1 振型函數

本文研究的對象是線彈性、平直連續組合梁，如圖1所示。基本假定如下：①混凝土子梁和鋼梁分別獨立的滿足Timoshenko梁單元假設，考慮剪切變形而忽略轉動慣量的影響；②本文僅研究組合梁的平面內運動，且滿足小變形假設；③混凝土子梁在橫向上(z方向)與鋼梁不發生掀起脫離，而只能產生水平向(x方向)的相對剪切滑移；④剪力鍵承擔全部的剪力，忽略混凝土子梁與鋼梁之間的黏結摩擦等相互作用，且界面剪切滑移量與剪力鍵承受的剪力成正比關系，剪力鍵等效為連續分布的剛度為K的彈簧。

圖1 連續鋼-混組合梁構造圖Fig.1 Structural drawing of steel-concrete composite continuous beam

基于以上假定，Sun等已推導得到了考慮剪切變形的組合梁的運動微分方程式

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

式中:EAs=EsAs；EAc=EcAc；EA=EsAsEcAc/(EsAs+EcAc)；EIs=EsIs；EIc=EcIc；EIF=EI+EAh2；GAs=ksGsAs；GAc=kcGcAc；GA=GAs+GAc；GAF=GAsGAc/(GAs+GAc)；EI=EIs+EIc；m=ρsAs+ρcAc；下標c和s分別為混凝土子梁和鋼梁的材料和結構參數；hc和hs分別為混凝土子梁和鋼梁中性軸到鋼混交界面的距離，h為兩者之和；Ei，ki，Gi，Ii，ρi和Ai(i=c,s)分別為子梁的楊氏模量、剪切形狀系數、剪切模量、抗彎慣性矩、密度和橫截面積。

如圖1所示，為了分析連續組合梁的動力性能，把其第k個中間支座等效為反力荷載Rk(t)(k=1-n)。則連續組合梁動力問題變為承受集中荷載的簡支梁動力問題。等效的支座反力荷載可以寫為

(2)

式中：ω為連續組合梁的自振頻率；i為虛數單位；δ(x-xi)為Dirac函數，其表達式為

(3)

式(1)可采用分離變量的方法進行求解，即假定

w(x,t)=φ(x)eiωt

(4)

式中，φ(x)為組合梁的振型。

把式(2)和式(4)代入式(1a)可得

(5)

對式(5)的等號的兩端進行Laplace變換，可得

[s8-(η31-η32mω2)s6+(η21-η22mω2)s4+η1mω2s2-η0mω2]L[φ]=

[s7-(η31-η32mω2)s5+(η21-η22mω2)s3+η1mω2s]φ(0)+

[s6-(η31-η32mω2)s4+(η21-η22mω2)s2+η1mω2]φ′(0)+

[s5-(η31-η32mω2)s3+(η21-η22mω2)s]φ″(0)+

[s4-(η31-η32mω2)s2+(η21-η22mω2)]φ?(0)+

[s3-(η31-η32mω2)s]φ(4)(0)+[s2-(η31-η32mω2)]φ(5)(0)+

(6)

式中:φ(k)(k=4～7)為對x的k階求導；φ(7)=d7φ/dx7；s為拉普拉斯變換參數。

式(6)可以寫為

(7a)

(7b)

對于分母，即

s8-(η31-η32mω2)s6+(η21-η22mω2)s4+

η1mω2s2-η0mω2=0

(8)

其可以寫為關于χ=s2的一元四次方程式，即

χ4+a3χ3+a2χ2+a1χ+a0=0

(9a)

a0=-η0mω2,a1=η1mω2

(9b)

a2=η21-η22mω2,a3=η32mω2-η31

(9c)

由孫琪凱等的研究可知其有一個負根(χ4<0)和3個正根(χ1，χ2和χ3>0)，則由費拉里法可得式(9a)的解為

(10a)

(10b)

p2=a3κ1-a1

(10c)

式中，κ1為式(11)的任意實數解。

8κ3-4a2κ2-(8a0-2a1a3)κ-

(11)

則式(8)的8個根可以寫為

(12)

采用查表法并利用Laplace變換的位移定理，做式(7)的逆Laplace變換，可得

φ(x)=A1sinh(λ1x)+A2cosh(λ1x)+

A3sinh(λ2x)+A4cosh(λ2x)+

A5sinh(λ3x)+A6cosh(λ3x)+

A7sin(λ4x)+A8cos(λ4x)-

(13a)

(13b)

(13c)

式中：Ai(i=1～8)為與邊界條件有關的待定系數；H(x-xk)為赫維賽德函數，其表達式為

(14)

一般的，工程中較常見的邊界條件有懸臂、兩端簡支、固支-簡支、兩端固支以及連續梁等。對于四種邊界條件的單跨梁，Rk=0，式(13a)退化為僅含Ai(i=1～8)等8個待定系數的陣型函數，與孫琪凱等研究中的結果相同。代入邊界條件，并令Ai(i=1～8)的系數矩陣的行列式為0，即可得到各邊界條件下，鋼-混組合梁的頻率。

1.2 簡支梁自振特性

對于簡支梁和連續梁，其梁端邊界條件均為

(15)

把式(15)和Rk=0代入式(13)，并令Ai(i=1～8)的系數矩陣的行列式為0，即可的

(16b)

(16c)

(16d)

(16e)

(16f)

(16g)

式(16)中當且僅當sin(λ4L)=0時才成立，即λ4=nπ/L。因此簡支鋼-混組合梁的振型為

(17)

把λ=±λ4i=±nπ/L代入式(5)即可得鋼-混組合梁的自振圓頻率ωn顯式表達式為

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

1.3 連續梁自振特性

把連續梁的梁端邊界條件式(15)代入式(13)可得待定系數Ai(i=1～8)如下

A2=A4=A6=A8=0

(19a)

(19b)

因此，式(13)變為

(20)

再由連續梁中間支撐的邊界條件φ(xk)=0，可得關于中間支座反力的n個方程，如下

(21)

對式(21)進行討論，如下：

(1)對于跨徑為n×L的等跨度的連續鋼-混組合梁，當其振型為反對稱模式時，中間支座反力恒為0，即Ri=0恒成立。此時，等跨連續梁的振動特性與同跨徑的簡支組合梁相同。兩跨等跨連續組合梁的情況，如圖2所示。因此，等跨連續梁的反對稱模態對應的自振頻率可由式(18a)求得。即n跨等跨連續組合梁的第[1+(k-1)n]階自振頻率與跨徑為L的簡支組合梁的第k階自振頻率相等。

圖2 組合梁振型示意圖Fig.2 Vibration mode diagram of steel-concrete composite beam

(2)對于其他工況，由于Ri(i=1～n)不全為0，因此其系數矩陣行列式為0，即detN=0，即可求得連續梁的自振頻率及中間支座反力向量{R}。把自振頻率和向量{R}代入式(13)，即可得到連續鋼-混組合梁的振型。

采用MATLAB軟件編制本文方法計算程序，具體計算流程如下所示

步驟1對于跨徑為n×L的等跨連續梁，其第[1+(k-1)n]階自振頻率與跨徑為L的簡支組合梁的第k階自振頻率相等，可由式(18a)求得。

步驟2對于等跨連續組合梁的其他模態以及不等跨連續梁。首先，假定一個自振頻率增量Δω，設ωj=ωj-1+Δω，且ω1=0。

步驟3把ωj代入式(8)，計算λi(i=1～8)；然后代入式(21)中的矩陣N，得到ωj對應的矩陣Nj。

步驟4求解矩陣Nj的行列式，detNj。若detNj×detNj-1<0，則設置Δω=-Δω/2。

步驟5收斂性判斷。當|detNj|<規定誤差值后，ωj即為所求；否則，令ωj+1=ωj，并重復步驟2～步驟5。

2 算例驗證

本章以1根兩跨連續鋼-混組合試驗梁為例，驗證本文中提出的理論，試驗梁的構造圖如圖3所示。試驗梁全長為12.4 m，跨徑為2×6.0 m。若假定剪力釘均勻分布，則剪力鍵剛度K為1 398 MPa；若沿梁長按照剪力鍵疏密度不同進行分段，則試驗梁可分為(1.05+4.3+1.7+4.3+1.05)m，相應的剪力鍵剛度值為(2 247+1 002+2 353+1 002+2 247)MPa。

圖3 試驗梁構造圖 (mm)Fig.3 Structural drawing of experimental beam (mm)

試驗梁的材料參數見表1所示。

表1 梁材料參數Tab.1 Material parameters of composite beam

在試驗梁第一跨的跨中布置測點，測試其在脈動荷載作用下的加速度，并通過自譜分析獲得連續組合梁的自振頻率。測試工作照及測試結果如圖4所示。

圖4 室內試驗Fig.4 Experiment in the laboratory

使用有限元軟件ANSYS建立該連續鋼-混組合梁的有限元模型，如圖5所示。模型中分別采用采用SOLID65單元、SHELL63單元和COMBIN39三維彈簧單元模擬組合梁的混凝土子梁、鋼梁和剪力鍵，并且混凝土子梁和鋼梁之間豎向耦合但縱橫向為彈性約束。

圖5 計算模型Fig.5 Calculation model

表2為本文理論結果、測試結果、ANSYS計算結果、EBT梁理論結果(Fang等)和子梁相同剪切角假設的TBT梁理論結果(Wang等)的對比情況。括號內數字為文獻中方法相對于本文方法的誤差。ANSYS剪力鍵實布表示按照剪力鍵實際布置疏密度進行分段設置剪力鍵剛度；剪力鍵均布表示假定剪力鍵沿梁長均勻分布。該兩跨連續梁的本文理論推導過程見附錄。

表2 試驗梁自振頻率分析結果對比表Tab.2 Comparison of eigenfrequencies obtained by different methods for experimental beam

ANSYS剪力鍵均布假定的計算結果中，前5階振型云圖如圖6所示。

圖6 前5階振型Fig.6 The first five modes

由表2可得：

(1)本文理論計算結果與ANSYS計算結果基本一致。說明本文理論計算方法可用于分析連續鋼-混組合梁動力特性的分析；兩者結果均略大于測試結果，初步推斷是由于試驗梁的邊界條件并非是理想的。

(2)ANSYS計算結果中，剪力鍵均布假定與剪力鍵實布的頻率計算結果基本一致，說明本算例假定剪力鍵沿梁長均勻布置是合適的。

(3)相比于EBT組合梁理論模型和子梁等轉角假定的TBT組合梁理論模型，本文中理論模型的計算結果更接近于ANSYS計算結果。

(4)前兩種理論計算模型相對于本文計算模型的誤差隨著陣型階數而增大。第1階頻率相對誤差分別為3.1%(EBT模型)和2.3%(子梁等轉角假定模型)，相差不大；但第5階頻率相對誤差分別達到了18.1%和7.2%。說明計算連續鋼-混組合梁的高階頻率時，剪切變形不可忽略且不可假定子梁轉角相等。

3 剪切變形影響分析

本章以第2章中的算例為研究對象，旨在討論剪力鍵剛度、跨數、邊中跨比和跨高比對連續鋼-混組合梁自振頻率的影響。通過與Fang等研究中的EBT組合梁模型對比，說明剪切變形是否影響連續組合梁隨以上三種因素的變化規律。并最終給出跨高比為何時，可忽略剪切變形的影響。

文獻[22]中給出了簡支鋼-混組合梁的剪力鍵剛度對是否考慮剪切變形產生誤差的影響，分析表明，剪力鍵剛度越大，是否考慮剪切變形產生的誤差越大。對于連續鋼-混組合梁，這一結論有待驗證。

圖7給出了兩跨連續組合梁的前4階自振頻率是否考慮剪切變形產生的相對誤差隨剪力鍵剛度的變化規律。ωEBT為基于EBT組合梁理論的頻率計算結果；ωTBT為本文基于TBT組合梁理論的頻率計算結果。可以明顯得出與簡支組合梁相同的結論：頻率階數越高，剪力鍵剛度越大，兩種理論的相對誤差越明顯，表明剪切變形的影響越大。

圖7 前4階自振頻率誤差隨剪力鍵剛度的變化情況Fig.7 The effect of shear connector stiffness on the errors of the first four eigenfrequencies

圖8給出了基于EBT組合梁理論的頻率折減系數隨剪力鍵剛度的變化情況。圖9給出了基于本文TBT組合梁理論的連續鋼-混組合梁的邊中跨比分別為0.6，0.8和1.0時，頻率折減系數隨剪力鍵剛度的變化情況。圖中，ωEBTF和ωTBTF分別為采用兩種理論計算剪力鍵剛度為無窮大時的組合梁頻率。

圖8 頻率折減系數與剪力鍵剛度的關系(EBT理論)Fig.8 The effect of shear connector stiffness on the frequency reduction factor (EBT)

圖9 頻率折減系數與剪力鍵剛度的關系(TBT理論)Fig.9 The effect of shear connector stiffness on the frequency reduction factor (TBT)

對比圖8和圖9的結果可以看出：

(1)剪切變形并不影響頻率折減系數隨剪力鍵剛度的變化規律；兩種理論存在相同的剪力鍵剛度敏感區，即在此區段內頻率折減系數隨剪力鍵剛度而迅速變化。對于第1～第4階頻率，這一區段分別約為：第1階(100MPa

(2)當剪力鍵剛度大于105.0MPa后，前4階頻率的折減系數幾乎為1.0。說明當剪力鍵剛度大于105.0MPa后，可不考慮剪切滑移的影響。

(3)剪力鍵剛度較小既混凝土子梁和鋼梁之間約束較弱時，基于BET組合梁理論的前4階頻率折減系數趨于相同值，約為0.61；而基于TBT組合梁理論的前4階結果并不趨近于相同值，其值均大于0.61，且階數越高其值越大。

(4)不同邊中跨比連續鋼-混組合梁的頻率折減系數基本一致。該結論與Fang等 (EBT組合梁理論) 的結論一致，說明剪切變形并不影響邊中跨比與頻率折減系數和剪力鍵剛度之間的關系。

在工程應用中，連續梁的第1階是更為受關注的。綜合以上結論，即n×L1的等跨連續組合梁基頻與跨徑為L1的簡支組合梁基頻相等；剪切變形、邊中跨比對剪力鍵剛度對頻率折減系數的敏感區段范圍無明顯影響，僅影響頻率折減系數的值。因此全長為L的n跨連續組合梁的基頻折減系數隨剪力鍵剛度的變化規律與跨徑為L/n的簡支組合梁相同。孫琪凱等中給出了簡支組合梁跨高比大于10時，剪切變形造成的基頻頻率誤差小于5%，即基頻分析時剪切變形可以忽略。因此對于全長為L的n跨連續組合梁基頻分析，L/(nh)>10時，可忽略剪切變形的影響。其中h為梁截面高度。

4 結 論

本文考慮剪切變形的影響，提出了一種分析連續鋼-混組合梁動力特性的新方法。通過試驗梁模型對方法的適用性進行了驗證，并討論了剪切變形、剪力鍵剛度、邊中跨比對頻率折減系數的影響，主要結論如下：

(1) 本文提出的方法適用于分析連續鋼-混組合梁的動力特性。并且相比于Euler-Bernoulli組合梁計算模型和子梁同剪切角假設的Timoshenko組合梁計算模型，本文的方法具有更高的計算精度。

(2) 頻率階數越高，剪力鍵剛度越大，剪切變形對連續鋼-混組合梁頻率的影響越大。

(3) 剪切變形、邊中跨比對剪力鍵剛度的頻率折減系數敏感區段的范圍無明顯影響，僅影響頻率折減系數的值。

(4) 考慮剪切變形后，剪力鍵剛度無窮小時(子梁間無連接狀態)，連續組合梁的各階頻率折減系數不再趨近于相同值，其各界頻率趨近值均大于不考慮剪切變形的情況，且階數越高趨近值越大。

(5) 全長為L的n跨連續鋼-混組合梁基頻分析時，若忽略剪切變形的影響且控制誤差在5%以內，則需L/(nh)>10。

附錄A

對于兩跨連續組合梁，式(20)變為

(A.1)

式中，R1為中間支座的未知反力。由φ(x1)=0，可得

(A.2)

如前所述，2×L的等跨徑連續組合梁，其第(2k-1)階自振頻率與跨徑為L的簡支組合梁的第k階自振頻率相等。因此其第(2k-1)階自振頻率由式(18a)求解；其他階頻率由式(A.2)求解。式(A.2)中，支座反力R1不為0，所以中括號中的式子必須等于0，式(A.2)才成立。使用MATLAB軟件及前述步驟1～步驟5，即可求得組合梁的自振頻率。需要說明的是，此時步驟1～步驟5中的detN=0變為式(A.2)的中括號中的式子等于0。