用好幾何模型提升數(shù)學能力

章蓓蓓，朱雅莉

(合肥市五十中學新校 望岳校區(qū)，合肥 230031)

解題是一項技術，解題教學是一門藝術，尤其是初中幾何教學。教師只是自己掌握知識點還遠遠不夠，還需要用最簡練的語言、最科學的途徑把解題思路教授給學生。初中幾何因為所涉及知識點相對模塊化，所以大多數(shù)教師都愿意將幾何問題模型化。只要反復訓練，即便是數(shù)學水平很一般的學生，都能在自己所理解的范圍內解答一二。筆者及所在課題團隊歷時一年觀摩了若干節(jié)關于模型教學的公開課，歸納整理后用于自己的教學實踐，并獲得一些反思[1]。

模型從哪里來？憑想象生編硬造？肯定不是。初中幾何最終被歸納出來的幾大模型，其實原型都在教材當中。只是以某個題目為基礎，不斷改編和拓展，最終形成各種常見的模型。以一個模型為例，圍繞該模型論述一個幾何模型的提煉與教學應用，旨在提升學生的數(shù)學能力。

一、從課本中提煉幾何模型

(一)抽取模型

如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF=45°。求證：EF=BE+DF。(上海科技出版社《初中數(shù)學同步練習》八年級下冊第87頁第18題)

模型抽取：若正方形中，∠EAF是∠BAD的一半，則有EF=BE+DF。方法是將△ADF順時針旋轉90°，AD邊與AB邊重合，如圖2。此時可得∠BAH=∠DAF，所以∠EAH=45°=∠EAF，由此可證△EAH≌△EAF，問題得證。

以上這一套證法已相對固定，學生只要在正方形里看到有一個從頂點發(fā)出的角，度數(shù)是45°，那么必然有如上線段間的等量關系。這個模型稱為半角模型。在上述問題中，只要知道正方形ABCD的邊長，則應用此模型的結論可迅速求出△CEF的周長。

(二)變式強化

接下來嘗試兩個方向上的條件弱化。

條件弱化的一個方向是半角不完全在原角的內部。

類似于上一題的解題思路，這里可以將△BAE旋轉至AB邊與AD邊重合，具體過程不再贅述。

在這個變式中，教師可進行第二次提煉，得到更一般的半角模型結論：在四邊形ABCD中，有兩鄰邊相等，且與這兩邊相關的一對對角互補，如果從兩等邊所夾角的頂點(例如A點)出發(fā)的角占這個內角的一半，那么這個半角的兩邊與四邊形另外兩邊(或兩邊延長線)交點之間所連的線段與某兩條線段之間存在和或差的關系。

條件弱化的另一個方向是將四邊形改為三角形。

如圖5，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D、E在斜邊AB上，且∠DCE=45°，猜想線段AD、DE、BE之間的數(shù)量關系并證明。

該變式題的基本思路依然是將△BCE旋轉至△ACH，即CB邊與CA邊重合。只不過此時線段AD與AH并不在一條直線上，變成了AD、AH與DH形成了一個直角三角形，所探求的線段間數(shù)量關系也變成了AD2+BE2=DE2。

由此可以看到，題中雖然沒有四邊形的條件，但有共端點的等線段和共頂點的倍半角，基本思路并沒有變。

至此，半角模型經(jīng)歷了“抽取—論證—變式—完善”的過程，形成了比較成熟的模型結構，也形成了相對穩(wěn)固的解題策略。

二、幾何模型教學注意點

(一)模型的提煉要自然合理

在上述半角模型的第一次提煉中引入得很快，但沒有講透為什么要這樣解題，還有沒有拓展其他解題方法，也沒有講清楚條件和結果之間的因果邏輯關系，學生處于知其然而不知其所以然的狀態(tài)。所以在第一次變式問題環(huán)節(jié)教學中，學生會因找不到正方形的條件而受阻。在二次提煉后，正方形已不是必要條件，但學生在兩次條件弱化的變式中還是會花費較多時間研究而不能助于推導。教學中觀察發(fā)現(xiàn)，學生喜歡套用半角模型條件，一旦條件不具備便會阻斷思路。學生在沒有對模型結構了然于胸之前，只會硬套模型，存在慣性思維而缺少必要的過程推導。

所以幾何模型教學首先要遵循“模型提煉自然合理”的原則。教師因為具有豐富的解題經(jīng)驗，易將幾何模型高度提純，存在慣性思維而缺少必要的過程指導，導致學生短時間內難于理解接受。學生既沒有豐富的解題經(jīng)驗，又沒有極速的運算能力支撐，對模型的結構理解淺顯，往往只能生搬硬套。因此，教師在模型教學中要舍得投入時間讓學生經(jīng)歷和體驗，碰到典型的幾何模型，鼓勵學生先去做、去討論多樣的解法，甚至可以讓學生在遇到解法單一的模型時反復碰壁。教師在第一次、第二次甚至更多次解題教學時不要急于過多總結，當學生對某一類的題目有一定的積累和感悟時，再適時點出這類題目的共性條件和共性結論，給出最一般的解法，再對模型進行定義，這種逐步提煉的方法才能更加有效。一方面，學生解題經(jīng)驗的逐步積累能夠讓其意識到這種結構很常見，有時隱藏在復雜的背景中，此時學生已經(jīng)有了初步的模型意識。另一方面，學生經(jīng)過之前多次解題經(jīng)歷的感悟，也會認為有必要將之提煉成一個條件與結論間相對穩(wěn)定的結構，再配以相對成熟的解題策略[2]。

(二)模型的講解要結構清晰

仍以半角模型教學為例，在前期的鋪墊工作后，某一幾何模型的教學就可以正式進行。教師在作業(yè)講評或試卷講評時不可一帶而過，而是要像講授新課那樣具有儀式感地進行一節(jié)完整的課堂教學。

在模型初步抽取后，一定要反復淬煉，利用變式弱化條件，變換圖形位置，讓學生真正理解半角模型的結構特征。仍以前述問題為例，需要模型提煉后的第一次變式例題，在學生思而無果時，需要引導學生對比之前的問題，分析旋轉完成第一次全等、互補完成三點共線、半角完成第二次全等階段特點，在得出結論的過程中，分析什么條件還在，什么條件變化，變化的條件是否影響解題。通過對比，學生發(fā)現(xiàn)兩者的解題過程幾乎完全一樣。究其原因是因為三個基本條件沒有變。這時再引導學生反思，問題引入中哪些條件是可以弱化的，而變式題中哪些條件還可以繼續(xù)弱化。只有這樣不斷地追問，組成問題串，讓學生反復應用、反復對比、反復歸納，才能加深對半角模型的理解，同時對解題方法能夠自然內化。這時拋出第一類弱化條件的問題，學生會下意識地尋找三個關鍵條件，找到后對比解題策略，發(fā)現(xiàn)該問題中的半角不全在兩等邊組成的倍角的內部。這時教師稍加引導，將△ABE逆時針旋轉，將AB邊貼合到AD邊上。最后拋出另一類弱化條件的問題，讓學生在對比條件后認識到四邊形已不存在，此時AD與BE已不能連接形成一條線段，所以該題的結論不會再是“a+b=c”型的。那會是什么結論呢？有了前面的基礎，教師完全可以放手讓學生自己探究。學生即便是模仿剛才的解題過程，也不難探索出應有的結論。經(jīng)過這兩個方向的條件弱化，學生對半角模型的本質特征認識得更清晰：等邊和半角。這兩個本質條件決定了解題思路，其他條件只是影響結論中線段間的數(shù)量關系的具體形式。

(三)模型的遷移要螺旋漸進

通過前面的討論可以看到，幾何模型教學有其必要性，它就像幾何定理一樣，只要對某幾個條件搭配相對穩(wěn)定的圖形結構理解透徹，每次遇到時便不需要再從頭研究，省時省力。但把握不好度，便成了“套模型教學”，學生會死記硬背、生搬硬套。所以幾何模型教學結束后，教師不要一味地反復套用模型練習，而是要思考如何將模型鞏固遷移。

1.延長模型教學戰(zhàn)線，追求螺旋式上升

一個模型教學結束后只需適當練一兩道題，不可過多過急，不要增加學生負擔。然后進入正常的課程教學序列，進行正常的學習與作業(yè)練習。一段時間后重溫，讓學生在潛意識里將該模型與另外遇見的模型作對比學習。同時在一段時間里經(jīng)過不同類型題目的沖刷，學生記憶可能模糊，這時再次講解可以喚起學生的學習記憶。只有經(jīng)過對記憶的反復提取，才會對這一模型印象深刻。

2.關注模型之間相互轉化，注重動態(tài)化理解

幾何模型不能相互獨立、靜態(tài)地去看待。例如：

如圖6，在Rt△ABC中，∠A=90°。點D是BC邊的中點。點E、F分別是邊AB、AC邊上的動點，且滿足∠EDF=90°。猜想BE、CF、EF之間滿足怎樣的等量關系？證明你的猜想。

再如圖7，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC和∠BCD的角平分線的交點E恰好在AB邊上。求證：DC=AD+BC。

這個問題顯然又是另一個常見模型——平分平行等腰模型。但也可以看作是上述的半角模型，因為易證EA=EB，且∠DEC是平角AEB的一半，因之也可以用旋轉的策略來解決。

3.設置問題條件靈活多樣，抓住本質性特征

以2020年安徽省中考卷第23題的第(3)問為例。

三、模型教學提升數(shù)學能力

(一)通過模型的提煉培養(yǎng)抽象、歸納的能力

初中幾何常見的模型在課本中均有原題，只不過課本中的原題難度較小，也沒有太多的變式。教師在第一次教授與模型有關的原題時，不宜直接提煉出模型，而應該帶著學生應用本節(jié)課所學知識來“就題解題”，并不需要太多的拓展和延伸。等到習題或考試中第二次出現(xiàn)與該模型有關的問題時，教師可使用“先行組織者”原理，讓學生回憶之前做過的哪些題與該題相似，當時是怎么解決的。然后再審視現(xiàn)在問題所給出的條件，推出與之前所做之題有什么相似的結論。這時要引導學生不斷抽象，使幾個關鍵性的條件形成一個穩(wěn)固的結構。再到第三次或第四次遇到這類問題時，則需要正式地推出該模型。所以，教師的教學目標不僅僅是解題，而是有意識地引導學生自行歸納、建構出完整的模型，包括模型的典型條件、典型結論、典型解題策略，以及解法中所蘊涵的數(shù)學思想。

例如，本文開篇所列舉的課本中原題，學生第一次做印象并不太深，但第二次、第三次做過之后就能自發(fā)地進行歸納。這時教師即可給出所有的變式，學生進行深層的抽象和歸納，得出半角模型。它的典型條件是：具有公共端點的兩條等線段，以及從這個頂點出發(fā)的半角。它的典型結論是與半角的邊相關的三條線段間具有數(shù)量關系，它的典型解題策略是通過旋轉將剩余兩個角拼接到一起，它所蘊涵的數(shù)學思想是化歸思想。

(二)通過模型的強化培養(yǎng)類比、遷移的能力

在前述半角模型的變式中，要引導學生不斷進行比較：條件是強化了還是弱化了？結論是否發(fā)生改變？解題策略發(fā)生了怎樣的改變？要引導學生自主探索出問題的根本性條件，只要這種根本性條件不變，相應的解題策略就不會改變。這便是通俗意義上所說的“舉一反三”，其實也就是類比和遷移的能力。教師在每一個模型的教學中都應該注重培養(yǎng)學生類比、遷移的能力。這就要求在模型教學中，初步提煉出模型結構后，教師不要越俎代庖、講解過多，而是要設計開放性的問題，采用反問或追問的形式，引導學生自行類比，主動遷移。

例如前述模型的第一次變式(如圖3)，教師可以問：正方形是必要條件嗎？正方形提供了哪些條件？如果不是正方形可不可以？請你把正方形改成一個合適的四邊形，對這個四邊形提出一些條件，使得結論仍然成立。到第二次變式(如圖4)，教師在給出圖形前可以提出問題：還有什么條件是多余的？如果按照目前的條件畫圖，可以畫出怎樣不同的圖形，請你畫畫看。再到圖5的問題，教師仍可以追問：一定需要四邊形才能使這種旋轉成立嗎？旋轉能夠產(chǎn)生的最關鍵條件是什么？因此條件還可以怎樣精減？請你提出一個問題。

通過連串的反問與追問，以及讓學生自己提問，啟發(fā)學生進行類比和遷移，最終自我發(fā)現(xiàn)哪些條件才是半角模型的根本條件。

(三)通過模型的應用培養(yǎng)綜合分析的能力

模型教學并不僅僅是教會學生解決單一的問題，而是培養(yǎng)學生抽取模型的能力和應用模型的能力。而應用模型就是指在不同背景的復雜圖形中，能夠快速識別哪些條件組成了某一種模型，又或者是哪些條件組成了某種模型的一部分。正如圖6與圖7所對應的問題，均是多種模型復合的問題。學生如果對模型掌握熟練，便能迅速辨認出條件中都有共端點的等線段，都有半角條件，這些都是半角模型的典型條件。當然圖6中還涉及了線段垂直平分線的知識，圖7中還涉及了角平分線的知識，需要學生將模型與其他知識點綜合起來進行分析。在模型的應用中教師要有意識地將條件和結論互換，培養(yǎng)學生的逆向思維與發(fā)散思維，讓學生進行更高層次的綜合分析。

幾何知識的學習對培養(yǎng)學生的邏輯思維具有重要作用，教師在教學過程中要盡力喚醒學生的內生動力，激發(fā)學生主動思維、主動建構、主動應用[3]。幾何教學仍應注重基礎知識與基本結論，因其更具有普遍性和生長性，是后繼學習的必要基石。