考慮消費者忠誠度的一階馬爾科夫動態定價模型

唐 玨，劉枚蓮，程承旗

（1.北京大學 工學院，北京 100871；2.桂林電子科技大學 商學院，廣西 桂林 541004；3.北京大學 時空大數據協同創新中心，北京 100871）

一、引言

隨著電子商務的發展，價格變換的成本以及消費者獲取相關信息的成本逐漸減少，使得動態定價的變化成本不斷降低，動態定價逐漸成為電子商務企業常用的定價策略，如滴滴打車、神州專車、Uber 等打車平臺依據供求動態調整價格，動態定價策略是其核心。但是，頻繁的價格變動可能會引發消費者對產品質量的懷疑，需要控制價格變化的頻數[1]。在動態定價模型的研究中，市場特征和消費者特征是重點關注的兩類變量[2]。消費者特征的刻畫，一般通過消費者的保留價格亦即支付意愿來體現。考慮消費者保留價格的差異性，一般假設保留價格服從均勻分布或者正態分布[3]。消費者對于產品服務與偏好的差異，在于銷售商的選擇。轉換銷售商，可能是緣于缺貨[4]，也可能是消費者追求服務或者產品多樣化，即反映在消費者忠誠度上[5]。消費者在不同銷售商之間的選擇，這種不確定性往往采用某一概率表示。另外，產品與服務的定價對消費者的選擇行為產生影響[6]。鑒于消費者行為特征的差異，一般把消費者分為短視型和策略型兩種[3]。對于短視型消費者，只要產品價格低于消費者的保留價格，就會產生購買行為[3]，而對于策略型消費者，則會更多地考慮購買的機會成本，這類消費者如果預測到下一時期商家的定價更低，則會拒絕購買當期的商品，即處于一種觀察狀態。策略型與短視型消費者行為的差異，可以通過設置不同折扣因子參數來體現[3]。

由于產品與服務都是在市場中進行交易的，所以市場特征對動態定價產生影響。關于市場特征的假設，主要是從壟斷和競爭兩種視角考慮。一種是假設壟斷市場的最優動態定價機制。管理科學文獻中壟斷環境下的動態定價模型，比較經典的是由Kalish（1983，1985）、Lazear（1984）提出。這些模型的共同特點是：假設銷售額會隨時間發生變化，不同交易時間的壟斷者定價策略影響銷售額的變化。對于壟斷環境下的動態定價，收入管理領域的研究成果比較豐富，例如Kalyan Talluri 和Garrett Van Ryzin（2004）[7]的研究。另一種是考慮競爭對動態定價的顯著影響[3]，或者競爭和消費者同時對動態定價的影響，例如假設消費者到來服從泊松分布，消費者是相同類型的[8]或者是異質性的[9]。不過大多研究是假設在多階段固定庫存收入管理的背景下，競爭效應受到的關注相對較少。

然而，目前所研究的動態定價模型一般只涉及單一的因素對定價的影響，如僅考慮定價策略與市場特征的關系，或只考慮定價策略與消費者某種特征的關系（策略行為特征、對產品和服務的偏好等），而且交易周期局限在兩個階段[10]。事實上，消費者和銷售商之間是一個多階段的博弈過程，需要考慮多周期交易期限、市場特征和消費者特征等的動態定價問題。文章基于兩種消費者行為特征，研究了風險中性銷售商的一階馬爾科夫動態定價模型，研究貢獻主要有兩點：第一，突破了以往動態定價模型研究中僅僅考慮單一影響因素的局限，將交易期限、市場特征和消費者行為特征等同時納入動態定價模型進行多周期動態分析，將兩周期交易期限擴展到了多個周期，厘清了目前學術界一直存在爭論的企業最優定價策略與交易期限、消費者行為特征以及消費者忠誠度之間的動態關系，進一步豐富和發展了馬爾科夫動態定價模型；第二，創新性地將消費者忠誠度引入多周期動態定價模型，拓展動態定價模型的研究范疇。

二、文獻綜述

（一）馬爾科夫模型與動態定價決策

動態定價是一種商業策略，目的是通過及時調整產品的價格，將商品以最優的價格在最合理的時間售賣給顧客，以獲取最大化的收益[11]。學術界最早給出動態定價的正式定義的是Gallego 和Van Ryzin[12]，他們提出動態定價是一種從小的、靜態的價格合成一系列最優價格以響應不斷變化的需求函數的嘗試。在動態定價的研究中，學者們聚焦在策略型消費者的動態定價問題。如劉曉峰、黃沛[13]通過運用經典的Stackelberg 博弈模型和機制設計理論，研究了在確定和不確定需求下壟斷性廠商面對策略型消費者最優的動態定價和庫存決策。官振中、任建標[14]將消費者的策略型行為和參考價格效應結合，描述了消費者在歷史和預期價格影響下零售商的動態定價策略并建立了多階段動態定價策略模型。但是也有少數研究成果考慮不同的消費者類型，Cachon 和Swinney[15]研究了策略型、短視型和逢低吸納型消費者同時存在于市場中的情形，指出動態降價策略為企業最優的價格路徑。

動態定價常用的方法是Stackelberg 博弈模型以及算法設計[13][16]，也有將馬爾科夫模型應用于動態定價的研究成果。Elias 等[17]首次將兩狀態馬爾科夫狀態轉移模型應用于氣溫衍生品定價。張小強等[18]應用最大凹向包絡理論，建立了離散時間馬爾科夫多維決策模型對高鐵客運進行動態定價決策。徐豪和劉鋼[19]運用馬爾科夫鏈進行降雨狀態的劃分和預測，在降雨量預測的基礎上進行水期權交易相關費用的確定。

（二）消費者忠誠度

消費者忠誠度是指消費者在未來會重復購買心儀品牌的產品的行為[20]，主要表現為未來購買的可能、服務契約的延續、轉換品牌的可能性及正面的口碑宣傳。Dick 和Basu[21]認為消費者忠誠是一個復雜的多維概念，只有當重復購買行為伴隨著較高的態度取向時才產生真正的消費者忠誠。影響消費者忠誠度的因素，主要有品牌鐘愛[22]、服務滿意度[23]和感知有效性[24]等。

消費者忠誠度是以市場導向作為核心戰略的服務型企業重點關注的方面[25]，研究發現消費者忠誠度對公司定價有影響。張新鑫[26]等依據策略性和忠誠性兩個維度，將市場中的消費者分為策略型忠誠者、策略型轉換者、短視型忠誠者和短視型轉換者四種類型，研究了在同時考慮競爭者進入威脅和消費者行為時，公司應該如何為易逝品進行合理定價。Wang[27]探索了兩家客戶忠誠度不對稱的制造商基于不同渠道結構的價格競爭和質量競爭。每個制造商都通過分散式渠道或集成式渠道向客戶出售產品，并根據質量、零售價和客戶忠誠度來面對需求。而后將市場分為兩種類型：價格敏感型市場和質量敏感型市場，發現均衡取決于市場類型。

將消費者忠誠度和馬爾科夫動態定價模型結合，在多周期情況下考慮不同消費者類型的動態定價模型的研究成果缺乏，非常有必要考慮企業的最優定價策略與交易期限、消費者行為特征以及消費者忠誠度之間的動態關系。

三、模型構建

在市場交易中，銷售商爭取客戶以獲取最大的利益，而消費者選擇合適的銷售商以使消費者福利達到最大化。消費者根據銷售商的定價做出購買還是放棄的決策，銷售商根據消費者的購買決策做出價格調整，而且競爭環境下的銷售商無法對未來價格做出有約束力的承諾，這樣的均衡定價策略必須是子博弈完美納什均衡。這意味著在給定的任何時期的市場狀態以及消費者預期情況下，銷售商在那個時期的定價必須是最優的[3]。

針對競爭環境下的銷售商和消費者的多周期博弈，在不同消費者忠誠度和交易期限下，分別針對短視型消費者和策略型消費者構建銷售商的動態均衡定價模型。

（一）模型假設

1.關于銷售商的假設

考慮到消費者往往是在兩個銷售商提供的產品或服務之間進行比較后進行決策，假設市場上有兩個銷售商i 和j。在任意時間點t，銷售商i 發布的價格用表示，另一個則是，為了計算方便，假設銷售商的銷售成本為0。銷售商并不知道特定消費者的保留價格具體是多少，但是可以推斷消費者保留價格的分布范圍。在任意交易時點t，任何一個銷售商均知道前t-1 個交易時點的定價歷史，并根據消費者的購買決策，動態發布價格。

2.關于消費者的假設

假設任何一個消費者在一個交易期限T 內，只能選擇一個銷售商的一個產品或者服務，如購買某一時間的機票、酒店住宿等。消費者的初始保留價格R 服從均勻分布，消費者可能是短視型，也可能是策略型[3]。在任何一個時間點t，消費者以某一概率訪問某個銷售商，如果消費者購買該銷售商的產品或服務，則交易結束。如果消費者沒有購買，在消費者忠誠度為P 的情況下，則在t＋1 的時候再次訪問該銷售商的概率為P（0＜p＜1）。假設消費者事先對兩個銷售商提供的產品與服務偏好沒有差異，則第一次訪問兩個銷售商的概率均為1／2。假設消費者的初始保留價格服從均勻分布，隨著銷售商的定價變化，消費者不斷修正保留價格。

3.關于交易市場的假設

假設交易市場是競爭性市場，交易期限為T。任意一個銷售商在任意的交易時期t，能夠了解前面各個時期銷售商的歷史定價信息。只要消費者做出了購買決策，交易結束。在交易期限T，即使消費者沒有做出購買決策，交易也結束。考慮到兩個銷售商之間的競爭，在任意時間點t，兩個銷售商的定價。

（二）主要變量設置

表1 變量設置

（三）針對短視型消費者的動態均衡定價模型

當消費者是短視型的時候，意味著只要銷售商的定價低于消費者的保留價格，消費者就會做出購買決策。

上式中，r表示在T時期，消費者訪問銷售商i 的概率。由于在初始時期，訪問i 和j 的概率均為，設在時間T，訪問銷售商i 和j的概率分別為γ 和1-γ。

T 時期的消費者均衡福利ωT＝（消費者保留價格-訪問的銷售商i 的定價）×T 時期作出購買決策概率，即：，將代入得：

參照T 時期銷售商均衡定價的推導，可得在任意時期t 消費者的保留價格、銷售商均衡定價、利潤、消費者福利。

（四） 面向策略型消費者的動態均衡定價模型

T 時期的消費者的均衡福利ωT＝（消費者保留價格-銷售商i 的定價）×T 時期作出購買決策概率，即：，將。

四、相關命題提出

命題1：在交易周期為T 的時間范圍內，不管是短視型消費者還是策略型消費者，在消費者忠誠度一定的情況下，其保留價格均隨著交易時間的延長而減少。

命題2：在交易周期為T 的時間范圍內，市場上消費者的行為特征無論是短視型還是策略型，在任一時間t，消費者的保留價格會隨消費者忠誠度的增加而增加。

命題3：在消費者忠誠度一定的情況下，在交易周期為T 的時間范圍內，當市場上消費者的行為特征為短視型時，銷售商的定價會隨著交易時間的增加而減少，當市場上消費者的行為特征為策略型時，銷售商的定價不隨交易時間變化而變化。

證明：在消費者忠誠度一定的情況下，當市場上消費者的行為特征是短視型時，銷售商在任意時期t 的定價為：由于，所以。

在消費者忠誠度一定的情況下，當市場上消費者的行為特征是策略型時，銷售商在任意時期t 的定價為：，可以看出與交易時期t 無關。

命題4：在交易周期為T 的時間范圍內，市場上消費者的行為特征無論是短視型還是策略型，任一時間t銷售商的定價會隨消費者忠誠度的增加而增加。

證明：當市場上消費者的行為特征是短視型時，銷售商在任意時期t 的定價為：由于任意時期t，，由于Bt＜1，隨著P 的增加，Bt增加，進而RT*增加。

當市場上消費者的行為特征是策略型時，銷售商在任意時期t 的定價為：，任意時期t，，由于，所以當P 增加時，Bt增加，Bt-1增加，根據Bt的表達式可以看出，Bt-2也隨著增加。依此類推，隨著P 的增加，BT增加，進而RT*增加。

命題5：在交易周期為T 的時間范圍內，當市場上消費者的行為特征是短視型時，任一時期t＋1 的消費者保留價格R*t＋1是銷售商t 時期的定價Pt*。

證明：對于T 時期的銷售商而言，不管是銷售商i 還是銷售商j，其均衡價格都是消費者保留價格的函數，為了使，銷售商i 的均衡價格，又因為，當消費者為短視型，。由此可得。

命題6：在交易周期為T 的時間范圍內，當市場上消費者的行為特征是策略型時，任一時期t 的銷售商定價均等于在T 交易時期均衡時消費者保留價格的一半。

證明：對于T 時期的銷售商而言，不管是銷售商i 還是銷售商j，其均衡價格都是消費者保留價格的函數，為了使，均衡價格，又因為，當消費者為短視型，δ＝1。由此可得＋1。

在交易周期為T 的時間范圍內，無論市場上消費者的行為特征是短視型還是策略型，在消費者忠誠度一定的情況下，銷售商的均衡利潤均隨著交易時間的增加而減少。

證明：在消費者忠誠度一定的情況下，對于短視型消費者，在任何時期t 的銷售商的均衡利潤為，且保留價格，由于任意時期t，，，BT＋2＝0，所以，Bt＜1 時有，從而得出。

在消費者忠誠度一定的情況下，對于策略型消費者在任何時期t 的銷售商的均衡利潤為且，由于任意時期t，所以Bt＜1，則有，從而可以得出。

五、算例分析

對于消費者的初始保留價格，假設服從（0，1000）的均勻分布[3]。對于消費者忠誠度，不失一般性，消費者忠誠度P 分別取0．1，0．3，0．5 和0．7 四種值，市場上有短視型和策略型兩種類型的消費者。考慮到不同交易期限的影響，對于交易期限的取值，參考Mak 等的研究，將交易期限T 設置為8[3]，采用開源軟件R3．5．2，模擬分析消費者的保留價格、銷售商的均衡定價和消費者均衡福利的變化規律。

（一）消費者保留價格分析（如表2 所示）

表2 交易期限T＝8時消費者的保留價格情況表

從表2 可以看出，在交易期限T＝8 時，在消費者忠誠度一定的情況下，消費者的保留價格隨著交易時間的增加而減少，命題1 得到驗證。在交易時間一定的情況下，消費者的保留價格隨著消費者忠誠度的增加而增加，命題2 得到驗證。即在一定的交易期限范圍內，無論消費者的行為特征是短視型還是策略型，其保留價格均受交易時間和消費者忠誠度的雙重影響。

（二）銷售商均衡定價分析（如表3 所示）

表3 交易期限T＝8時消費者的保留價格情況表

從表3 可以看出，在交易期限T＝8 時，在消費者忠誠度一定的情況下，當市場上的消費者行為特征是短視型消費者時，銷售商的定價隨著交易時間的增加而減少；而當市場上的消費者行為特征是策略型時，銷售商的定價不隨交易時間的變化而變化，命題3 得到驗證。

（三）消費者均衡福利分析（如表4 所示）

表4 交易時期期限T＝8時消費者均衡福利情況表

從表4 可以看出，在消費者忠誠度一定的情況下，消費者的均衡福利隨著交易時間的延長而減少。而在交易時間一定的情況下，消費者的均衡福利隨著消費者忠誠度的增加而減少。當市場上消費者的行為特征是策略型時，前6 個時期消費者的均衡福利隨著交易時間的延長和忠誠度的增加而減少，但是在最后2 個時期（即t＝7，8），策略型消費者的均衡福利變化比較復雜。由于在交易末期的策略型消費者，如果沒有做出購買決策，交易就結束了，無法下一次返回到相應銷售商進行購買，因此其均衡福利在最后時間呈現明顯的波動。

（四）結果分析與管理含義

研究結果表明：在消費者忠誠度不變的情況下，消費者的保留價格總是隨著交易時間的延長而減少。在交易時間不變的情況下，隨著消費者忠誠度的增加，消費者保留價格隨之增加。當市場上的消費者類型不同時，銷售商采取的最優定價策略不同。當消費者為短視型時，不管交易期限如何，銷售商在t 時期的最優定價總是等于短視型消費者在t＋1 時期的保留價格。當銷售商與策略型的消費者博弈時，銷售商的最優定價不受交易時間的影響。當消費者忠誠度增加時，銷售商的最優定價隨之提高。這也可以解釋為什么存在“大數據殺熟”的現象。

對于短視型消費者，均衡福利下降速度很快，而策略型消費者，其均衡福利下降則慢。因此，縮小交易時間是關鍵所在。

在競爭性市場條件下，消費者的均衡福利受消費者忠誠度和交易時間的雙重影響。不管怎樣類型的消費者，都隨著交易時間的延長，均衡福利減少。但是針對不同行為類型的消費者，銷售商最優定價策略是不同的。考慮到交易時間對銷售商最優均衡定價和消費者均衡福利的影響，必須縮短交易期限。途徑有兩種：一是通過技術創新，縮短產品的生命周期，不斷推出新的產品；二是通過服務創新，提升消費者體驗，加強與用戶的交流與溝通，例如傳統零售業的線上線下平臺整合。“雙十一”和“雙十二”的電商促銷節，一般都規定一天的促銷時間。銷售商在制定定價策略時，需要針對短視型消費者與策略型消費者，采取不同的定價策略，以獲得更大的利潤。消費者忠誠度對銷售商均衡定價以及消費者均衡福利均產生影響，銷售商應該盡可能提高消費者忠誠度，加強忠誠度管理，最大限度留住消費者，并將重點放在交易前期，不僅有利于提高銷售商的均衡利潤，也有助于提升消費者的均衡福利。

六、結論

本研究在對現有的動態定價研究成果進行梳理的基礎上，構建了考慮消費者行為特征的一階馬爾科夫動態定價模型，分析了銷售商在面對兩種不同類型的消費者時，在不同的交易期限以及消費者忠誠度時的動態均衡，發現了消費者均衡價格、銷售商均衡定價、銷售商期望利潤和消費者均衡福利的變化規律。在消費者忠誠度不變的情況下，不管是短視型的消費者還是策略型的消費者，消費者的保留價格都是在前期減少速度最快，在后期短視型消費者的保留價格曲線逐漸趨于平緩。銷售商的定價策略隨著消費者策略行為特征的變化而變化，當市場是策略型的消費者時，銷售商的最優定價策略是保持價格不變。而當市場是短視型的消費者時，銷售商的均衡定價不僅受消費者忠誠度的影響，而且受交易時間的影響。本研究是在假設商品和服務充足的情況下進行研究的，對于可供商品和服務的有限情況下的消費者競爭問題，有待于進一步的研究。