BDS-3衛星鐘差模型化特性分析

丁慧敏 王文貫 李浩軍

1 同濟大學測繪與地理信息學院，上海市四平路1239號 200092 2 廣西建設職業技術學院土木工程學院，南寧市羅文大道33號，530007

針對衛星廣播星歷提供的鐘差數據精度較低、難以滿足精密單點定位(PPP)需求，國際GNSS服務(IGS)組織于2000年開始提供高精度的衛星鐘差產品。但這些產品是基于采樣間隔的離散化序列結果，以離散形式表述和服務的衛星鐘差，隨著采樣間隔增加，占用的存儲空間也會增加，并未充分發揮衛星鐘差中顯著的規律性變化特性。因此，研究一種以參數方式代替序列化數值的方法，以減少產品存儲空間，并充分利用衛星鐘差的顯著特性十分必要。目前，國內外鐘差研究中常用的模型有一次多項式模型、二次多項式模型、灰色模型以及自回歸滑動平均模型(ARIMA)等[1-6]，其中一、二次多項式模型可高精度地表示衛星鐘差短時間內的變化，而衛星鐘差中除一、二次項的變化趨勢外，還存在一些顯著的周期項變化[7-11]。

本文通過對2021年(GPS周2 138～2 190)IGS BDS-3精密鐘差數據進行分析，在二次多項式擬合殘差基礎上采用快速傅里葉變換(FFT)方法分析殘差的周期特性[12-13]，構造高精度衛星鐘差模型化函數，并在研究BDS-3衛星原子鐘特性基礎上實現高精度、長時間模型化，以分析其在PPP中的性能。

1 模型分析

星載原子鐘在運行過程中會出現頻率漂移現象，給后續定位產生很大影響。衛星時鐘最常見的誤差模型為n階多項式模型，其表達式為：

(1)

式中，a0為常數項，ak(k=1～n)為k階多項式系數，clk(t)為t時刻衛星鐘差。在衛星導航文件中，通常采用相位、頻率、頻漂3個因素作為二次多項式系數來對鐘差進行擬合。研究表明，衛星鐘差具有明顯的周期特性，可通過傅里葉變換進行頻譜分析來提取衛星鐘差的周期項。對于離散型傅里葉級數，其表達式為：

(2)

式中，X(k)為k時段的頻譜值，x(n)為擬合殘差序列，i為虛數單位，e為自然底數，n為殘差序列號，N為殘差序列個數。在實際計算中，采用快速傅里葉變換進行頻譜分析，根據頻譜即可確定周期項?；陬l譜分析得到的周期項對鐘差進行建模，構造鐘差序列結合二次多項式的周期項模型：

(3)

式中，n為周期項個數，Tm為周期，Am為振幅，Φm為初始相位，a0、ak為多項式系數。

2 數據處理

利用2021年(GPS周2 138～2 190)IGS采樣間隔為30 s的BDS-3最終衛星精密鐘差產品進行分析。首先通過快速傅里葉方法分析衛星鐘的周期項，然后在BDS-3原子鐘周期特性基礎上進行模型化效果分析，以構建高精度、長時間的衛星鐘差模型化函數，并采用5個IGS站數據分析其PPP性能。5個IGS站分布如圖1所示。

圖1 5個IGS站分布Fig.1 Distribution of 5 IGS stations

2.1 二次多項式模型

以C19(MEO)、C25(MEO)、C38(IGSO)、C59(GEO)4顆衛星的鐘差數據為例，分析二次多項式擬合殘差特性。圖2為4顆衛星2021-07-01～05共5 d的IGS最終鐘差數據文件去除趨勢項后的擬合殘差，采樣間隔為30 s，共14 400個歷元。由圖2可知，去除二次多項式趨勢后的擬合殘差具有明顯的周期變化特性，表明BDS-3鐘差除二次多項式趨勢外還具有一定的周期特征，這些周期特性對于高精度衛星鐘差模型化具有重要意義。

圖2 C19、C25、C38和C59衛星二次擬合殘差Fig.2 Quadratic fitting residuals of C19, C25, C38 and C59 satellites

計算所有衛星1 a殘差的單日均方根，統計年平均值，結果如表1所示。圖3為C19、C25、C38、C59衛星2021年單日二次多項式擬合殘差RMS結果，圖中橫坐標為相應月份。結合表1和圖3可以看出，MEO衛星的擬合殘差較小，C19和C25衛星的二次多項式擬合殘差分別為0.14 ns和0.11 ns左右，而C38(IGSO)衛星的擬合殘差約為0.24 ns，GEO衛星的擬合殘差較大，C59衛星的擬合殘差為0.34 ns左右。

表1 BDS-3衛星二次擬合殘差RMS年均值

圖3 C19、C25、C38和C59衛星二次多項式單日擬合殘差RMSFig.3 Single-day residual RMS of quadratic polynomials fitting of C19, C25, C38 and C59 satellites

2.2 周期項分析

由§2.1可知，BDS-3衛星原子鐘不僅含有二次多項式趨勢，還存在一定周期性。對二次多項式的擬合殘差進行頻譜分析，運用快速傅里葉變換將殘差序列轉換到頻率域，并對數據幅值波形進行分析，找出衛星鐘差存在的周期規律，以進行周期項分析。為分析殘差序列的周期特征，對2021年IGS最終精密鐘差數據進行頻譜分析，圖4為C19、C25、C38、C59四顆衛星每日前8個周期的結果，從圖中可以看出，衛星在不同天內表現出的周期性有所差別，可能是由于接收到BDS-3信號的測站分布不均勻，導致鐘差數據存在部分歷元缺失所致。因此，在構造附加周期項函數模型時，需考慮不同衛星在不同時間具有不同主周期的特性。表2為BDS-3所有衛星1 a內最常見的8個顯著周期，從表中可以看出，不同軌道和星載原子鐘類型衛星在周期上無較大差別，常見的周期有12 h(每天2個周期)、8 h(每天3個周期)、6 h(每天4個周期)、4.8 h及4 h等，這些周期均比較穩定，接近衛星軌道的運行周期。但也存在如2.7 h、2.4 h等小周期，無法與軌道周期耦合，說明還有部分其他因素可能會影響衛星時鐘或信號，可能與太陽光照的熱變化、衛星內部硬件、不同軌道平面及復雜空間環境有關[14-16]。

圖4 C19、C25、C38和C59衛星1 a單日周期Fig.4 Single-day periods of satellite clock for C19, C25, C38 and C59 satellites in one year

2.3 附加周期項改正的多項式模型

根據衛星鐘的主要周期項，對每日衛星鐘差產品進行模型化分析，計算基于二次多項式附加表2中前4個周期、前6個周期及8個周期后函數的擬合殘差及其1 a每日殘差RMS，結果見圖5。從圖中可以看出，對于衛星鐘差去除二次項趨勢后殘差的周期特性，加入周期項改正模型可提高對鐘差數據的擬合精度，且隨著加入周期項數的增加，擬合精度也在提高。但根據對擬合殘差周期特性的分析可知，除前幾個較為穩定的主周期外，還存在不穩定的小周期，因此加入的周期項數過多，可能會帶來誤差影響，對擬合精度的提高無明顯作用。由圖5可知，附加8個周期的模型擬合精度最高，相比多項式擬合精度提高約70%，適合參數化BDS-3衛星鐘差。

表2 BDS-3衛星8個顯著周期信息

圖5 BDS-3衛星二次多項式附加4個周期、6個周期及8個周期的年均擬合殘差RMSFig.5 Annual average residual RMS of quadratic polynomial fitting of BDS-3 satellites with 4 periods, 6 periods and 8 periods

2.4 PPP精度評價

對建模后的鐘差數據進行PPP計算，并與原始IGS精密鐘差數據進行比較，分析其定位精度。利用基于不同模型化函數生成的24 h參數化衛星鐘差產品，對PPP性能進行測試，統計5個IGS站2021-07-31參數化衛星鐘差和IGS鐘差的靜態和動態PPP結果，數據采樣間隔為30 s，截止高度角為10°，使用B1和B3觀測的無電離層組合，并對地潮、天線相位中心偏移和地轉等影響進行修正，分析定位誤差及收斂時間，其中收斂時間定義為在N、E、U三方向連續的估計坐標誤差小于10 cm時所經過的時間。根據估計歷元坐標誤差計算PPP結果的RMS誤差，圖6為靜態PPP在三方向的平均收斂時間，24 h靜態和動態PPP誤差的平均RMS如圖7所示。由圖6和圖7可知，模型化產品的靜態定位結果可達cm級，但其收斂時間比IGS序列化產品長。二次多項式模型化由于忽略衛星鐘差存在的周期性特征，在定位精度和收斂時間上均最差，附加8個周期項的模型化處理結果優于其他模型，但比IGS序列化產品略差，尤其是在U方向收斂時間方面。上述結果表明，BDS-3衛星鐘差的模型化服務方法仍需改進。

圖6 靜態PPP處理的平均收斂時間Fig.6 Average convergence time of static PPP processing

圖7 靜態和動態定位精度Fig.7 Static and kinematic positioning accuracy

3 結 語

衛星鐘差是影響衛星定位精度的重要因素之一，研究其特性并進行高精度估計和服務是GNSS系統的重要工作。目前，精確的衛星鐘差由IGS組織提供，并以離散序列形式存儲，這會占據大量內存空間，而采用高精度模型化函數系數代替時鐘序列可簡化服務模式。本文基于2021年BDS-3衛星鐘差數據，通過對衛星鐘差序列進行建模，分析BDS-3衛星鐘特點，得出以下結論：

1)衛星鐘差在去除二次多項式趨勢后具有明顯的周期性規律，經過傅里葉變換后可得到12 h、8 h、6 h、4.8 h等較穩定的主要周期項，另外還存在不太穩定的小周期項。

2)結合衛星鐘存在的周期特性，構造不同的高精度模型化函數。結果表明，加入周期改正的模型化精度比二次多項式高，附加8個周期項的模型精度相比二次多項式提高約70%。

3)將模型化后的鐘差數據應用于PPP處理中，其定位結果均能達到cm級，其中附加8個周期項的模型函數優于其他2種函數，但收斂時間均比IGS最終鐘差產品慢。模型化鐘差數據在PPP處理中的精度略差于IGS鐘差序列結果，但模型化鐘差數據可極大減小產品存儲空間。