大高差區(qū)域最優(yōu)GNSS高程異常擬合模型的確定

李圣明，史俊波，李 林，董新瑩

（1.中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖北 武漢 430050；2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079）

經(jīng)典GNSS高程擬合基于“移去—擬合—恢復(fù)”的思想[1]，引入EGM2008地球重力場模型和DEM格網(wǎng)數(shù)據(jù)，分別確定長波項(xiàng)和短波項(xiàng)，最后選擇合適的擬合模型計(jì)算高程異常殘余項(xiàng)。多項(xiàng)式擬合法是最常用的高程擬合模型之一，構(gòu)建多項(xiàng)式擬合模型后，利用已知點(diǎn)真值，基于最小二乘準(zhǔn)則確定未知參數(shù)，外推得到未知點(diǎn)的高程異常大小。唐詩華[2]等系統(tǒng)地研究了不同估計(jì)方法的原理和特點(diǎn)，得出最小二乘估計(jì)在高程擬合中精度最高的結(jié)論；陳安平[3]等比較分析了二次曲線擬合法和三次曲線擬合法等模型的適用性和可靠性；王雪林[4]和楊坤[5]等通過實(shí)際測量數(shù)據(jù)證明了多項(xiàng)式曲線擬合法可滿足四等水準(zhǔn)測量要求，但涉及的測區(qū)均處于地勢平坦的區(qū)域，相對高差較小。多項(xiàng)式擬合法模型簡單、應(yīng)用廣泛，但不適用于起伏較大的測區(qū)。因此，針對大高差區(qū)域，本文利用反距離加權(quán)法和支持向量機(jī)（SVM）模型進(jìn)行高程異常殘余項(xiàng)的擬合；再通過實(shí)際算例，比較分析了不同模型的擬合效果，給出大高差區(qū)域最優(yōu)GNSS高程異常擬合模型的建議。

1 研究原理與方法

1.1 多項(xiàng)式擬合模型

多項(xiàng)式擬合模型是將呈帶狀分布的聯(lián)測點(diǎn)視為一個(gè)曲面，認(rèn)為曲面上各控制點(diǎn)的高程異常與其坐標(biāo)xi（或yi）之間存在函數(shù)關(guān)系。本文以xi為自變量，高程異常模型可表示為：

式中，a0,a1,…,a m為待定系數(shù)。

對于每個(gè)(xi,yi,ζi)，聯(lián)立上述方程進(jìn)行擬合后，再利用最小二乘法求解式（1）中的各項(xiàng)系數(shù)并代回，即可求出曲面上任意一點(diǎn)的高程異常值。

1.2 反距離加權(quán)模型

反距離加權(quán)法[6]常見于散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值應(yīng)用中，適用于散點(diǎn)分布較均勻的情況。待求點(diǎn)P處的高程異常插值結(jié)果ζP，即為測區(qū)內(nèi)所有已知點(diǎn)高程異常值ζi(i=1,2,…,n)的加權(quán)和。

式中，di為第i個(gè)已知點(diǎn)到待求點(diǎn)P距離；u決定距離增加時(shí)權(quán)重減小程度。

1.3 SVM模型

SVM[7]模型，即某區(qū)域的N個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)可表示為{(xk,y k)|k=1,2,…,N}，其中xk∈Rn為n維兩列輸入向量，兩列分別為坐標(biāo)x和y；y k∈R為n維1列輸出向量，代表已知點(diǎn)的高程異常殘余項(xiàng)。利用非線性映射φ(x k):Rn→Rnk將輸入空間的非線性回歸問題轉(zhuǎn)換為高維特征空間中的線性回歸問題，可表示為求解以下約束優(yōu)化問題：

式中，w∈Rnk為權(quán)向量；γ為調(diào)整參數(shù)；b為偏差量；e k∈R為誤差變量。

2 研究結(jié)果與分析

本文選取兩個(gè)算例驗(yàn)證上述高程異常擬合模型。算例1：數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在東西5.35 km、南北15.19 km的范圍內(nèi)，最高最低海拔差距約為445.9 m，將其中9個(gè)聯(lián)測點(diǎn)作為已知點(diǎn)，28個(gè)聯(lián)測點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。算例2：數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在東西20.22 km、南北12.95 km的范圍內(nèi)，最高最低海拔差距約為705.4 m，將其中9個(gè)聯(lián)測點(diǎn)作為已知點(diǎn)，38個(gè)聯(lián)測點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。算例點(diǎn)位分布情況如圖1所示。

圖1 算例1和算例2的點(diǎn)位分布

根據(jù)參與建模的已知點(diǎn)的高程異常真值ζi和計(jì)算得到的高程異常值ζiY，求得殘差Vi Y=ζi-ζiY，作為內(nèi)符合精度。根據(jù)參與檢核的各點(diǎn)高程異常真值ζi和計(jì)算得到的高程異常值ζiC，求得殘差Vi C=ζi-ζiC，作為外符合精度。利用多項(xiàng)式擬合法對算例1和算例2的9個(gè)已知點(diǎn)進(jìn)行高程異常殘余項(xiàng)建模，并統(tǒng)計(jì)內(nèi)符合殘差，如圖2、3所示。

圖2 算例1多項(xiàng)式擬合法建模內(nèi)符合殘差

圖3 算例2多項(xiàng)式擬合法建模內(nèi)符合殘差

利用多項(xiàng)式擬合法、反距離加權(quán)法和SVM模型對算例1的28個(gè)檢核點(diǎn)和算例2的38個(gè)檢核點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)計(jì)算，外符合殘差對比如圖4、5所示。

圖5 3種模型外符合殘差對比（算例2）

兩個(gè)算例的區(qū)域特征以及檢核點(diǎn)采用3種模型計(jì)算得到的外符合殘差平均值如表1所示，繪出的對比圖如圖6所示，可以看出，多項(xiàng)式擬合法總體上能達(dá)到高程擬合的精度要求，但精度略差于另外兩種模型；反距離加權(quán)法和SVM模型體現(xiàn)出良好的適用性，外符合殘差的差距分別為0.52 cm和0.27 cm；綜合兩個(gè)算例結(jié)果判斷，在地勢起伏比較大的崎嶇地區(qū)，SVM模型精度優(yōu)于反距離加權(quán)法。

圖6 3種模型精度對比圖

表1 高程擬合算例綜合分析

3 結(jié)語

針對高程轉(zhuǎn)換時(shí)常用的多項(xiàng)式擬合法在大高差區(qū)域適用性較差的問題，本文將反距離加權(quán)法和SVM模型替代了多項(xiàng)式擬合法；并通過兩個(gè)最大高差分別為445.9 m和705.4 m的實(shí)際算例比較分析了3種模型在大高差區(qū)域?qū)τ诟叱坍惓埐铐?xiàng)的擬合效果。結(jié)果表明，利用SVM模型的外符合精度分別為1.73 cm和1.13 cm，優(yōu)于反距離加權(quán)法的2.25 cm和1.40 cm和多項(xiàng)式擬合法的3.17 cm和2.18 cm。因此，SVM模型可作為大高差區(qū)域GNSS高程異常擬合模型的最優(yōu)選擇。