貝爾數(shù)理論推導(dǎo)與實際應(yīng)用問題的分析研究

蘇德照 岑 嵐 黃 艷 楊承濤 鐘春堅

1.百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 廣西百色 533000；2.百色學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 廣西百色 533000

貝爾數(shù)是用在組合數(shù)學(xué)中的一組整數(shù)數(shù)列構(gòu)成，是以埃里克坦普爾貝爾而命名的[1]。楊勝彬等[2]2015年為建筑工程總公司對基站建設(shè)方案進行研究，采用隨機窮舉算法探索出了最優(yōu)化的污水處理站建設(shè)方法，將貝爾集合劃分運用到實際問題中去。付秋菊[3]2019年以代數(shù)的視角來研究并探索集分類的問題，具體來說，就是在有限域上成立了一個能夠把所有集合都劃分在零維仿射代數(shù)上的映射，并且對這些映射的代數(shù)性質(zhì)進行深入研究。王爽[1]2012年系統(tǒng)研究Stirling變換公式在Bell多項式與錯排多項式、調(diào)和數(shù)中的運用。我們基于貝爾數(shù)各類的函數(shù)關(guān)系式和遞推公式，對貝爾數(shù)理論進行推導(dǎo)和貝爾數(shù)與集合劃分的進行實際應(yīng)用問題研究，結(jié)合三種度量進行研究。

一、貝爾數(shù)定義及其理論推導(dǎo)

(一)貝爾數(shù)定義

在組合數(shù)學(xué)里，將一個n元集合劃分的組合總個數(shù)稱為貝爾數(shù)，記作為Bn；設(shè)n元集合的所有貝爾劃分集合為B(n)。集合S的另一個重要劃分概念是將集合S劃分成非空子集且兩兩互不相交的并集[3]，B0是1。

(二)貝爾數(shù)的推導(dǎo)規(guī)律

由它的集合劃分可以總結(jié)出一些結(jié)論：

當n=1時，第一列第一項的貝爾數(shù)為a(1，1)=1；

當n>1時，第n行第一項的貝爾數(shù)為a(n，1)=a(n-1，n-1)；

當n>1，m>1時，則有第n行第m項的數(shù)值為a(n，m)=a(n-1，m-1)+a(n，m-1)。

由上述結(jié)論得出的結(jié)果，將所得到的數(shù)值繪制成數(shù)表(結(jié)果見表1)，稱為L型貝爾數(shù)運算表，由于此運算方式與L類似將其定義為L型運算，該數(shù)表每行的首項為貝爾數(shù)[4]。

表1 L型貝爾數(shù)運算表

(三)貝爾數(shù)適用的遞推公式及證明

證明：由于Bn+1是含有n+1個元素的集合劃分個數(shù)，設(shè)Dn的集合為{b1，b2，...，bn}，Dn+1的集合為{b1，b2，…，bn，bn+1}，那么可以認為集合Dn+1是在集合Dn的基礎(chǔ)上添加一個元素bn+1產(chǎn)生的，接下來可以單獨考慮第bn+1個元素。

(1)可以假設(shè)當bn+1元素被單獨分配到一類時，剩下有n個元素，所以在這種情形下有(nn)Bn劃分個數(shù)；

(2)可以假設(shè)當bn+1元素和剩余的n個元素中的一個元素劃分為一類時，那么還剩下n-1個元素，這種情形下有(nn-1)Bn-1劃分個數(shù)；

(3)可以假設(shè)當bn+1元素和剩余的n個元素中的兩個元素劃分為一類時，那么還剩下n-2個元素，這種情形下有(nn-2)Bn-2劃分個數(shù)；

任意的貝爾數(shù)都是對應(yīng)“第二類Stirling數(shù)[1，3]”的和。

二、豪斯多夫距離的基本原理

豪斯多夫距離是匹配二點特征的一個距離方式，它并不要求建立點和點間的一一對應(yīng)關(guān)系，僅要求算出這兩個點集間的相似度(或最大距離)，從而能夠更高效地處理一般特征點的情況[5]。

把距離函數(shù)定義成兩個空間的距離推測，目的是描述兩個有限封閉的集合之間的相似度的一種度量。以下是對豪斯多夫距離的定義：

定義2.1 假設(shè)該空間上存在有兩個點集A和B，那么H(A，B)表示集合A與集合B之間的豪斯多夫距離，則其數(shù)學(xué)定義為H(A，B)=max(h(A，B)，h(B，A))。為A集合與B集合間的雙向豪斯多夫距離[5-6]。

范數(shù)是對函數(shù)、向量和矩陣定義的一種度量形式，同時也是數(shù)學(xué)中的一種基本概念。其在泛函分析中，它定義在賦范線性空間中，并需要滿足一定的條件，即①非負性：||x||≥0且||x||=0?x=0；②齊次性：||cx||=|c|||x||；③次可加性：||x+y||≤||x||+||y||。范數(shù)經(jīng)常被用來度量某一個向量空間(或矩陣)中的每一個向量的長度或者大小。上述的||·||稱為x上的一個范數(shù)。

三、三種度量方法介紹

在論文中用N來代表每個自然數(shù)的集合，用R表示每個實數(shù)值的集合，用R+代表每個正實數(shù)值的集合。對所有集合，用|A|表示該集合的基數(shù)，P(A)表示該集合的冪集[7]，冪集是原集合中所有的子集(其中也包括全集和空集)所構(gòu)成的集合族。

(一)三種度量定義及介紹

度量很好地繼承了數(shù)學(xué)中的公理化性質(zhì)和測量點或結(jié)構(gòu)距離的直觀性質(zhì)。在這里介紹各種度量，以進一步設(shè)計統(tǒng)計機制。

秩度量的應(yīng)用相對是比較容易，但由于它過于簡單，而且主要取決于對分區(qū)組進行排序的要求，在某些數(shù)據(jù)類型中，有可能無法滿足這一要求。為了克服這一缺點，可以通過豪斯多夫度量和改進后的豪斯多夫度量來實現(xiàn)。現(xiàn)在來介紹這兩個度量。

設(shè)α：S×S→R為距離函數(shù)，其中S?N為有限集。設(shè)GOα(或α：S×S)表示α的距離矩陣。設(shè)B(S)是S的所有貝爾劃分的集合。設(shè)?P，Q∈D(S)，?p∈P，?q∈Q，其中P表示劃分矩陣行，Q表示劃分矩陣列。定義距離矩陣行式最小值查找函數(shù)為Cn(p，Q)=min{α(p，q)，qQ}，即為了尋找出每個集合劃分的距離矩陣的每一行最小值；定義距離矩陣列式最小值查找函數(shù)為Cm(P，q)=min{α(p，q)，pP}，即為了尋找出每個集合劃分的距離矩陣的每一列最小值。定義行式最小值中的最大值查找函數(shù)FCn(P，Q)=max{Cn(p，Q)，pP}，即是尋找出所有行中最小值中的最大值。定義列式最小值中的最大值查找函數(shù)FCm(P，Q)=max{Cm(P，q)，qQ}，即是尋找出所有列中最小值中的最大值。定義行式最小值中的平均值查找函數(shù)即是尋找出所有行中最小值中的平均值。定義列式最小值中的平均值查找函數(shù)即是尋找出所有列的最小值中的平均值。

基于定義2.1和定義2.2有如下定義。

定義3.2(豪斯多夫度量[5-6])由dF：P(S)×P(S)→N，有dF(P，Q)=max{FCn(P，Q)，F(xiàn)Cm(P，Q)}，用GOF來表示其相關(guān)的距離矩陣。

定義3.3(改進后的豪斯多夫度量[5-6])由dA：P(S)×P(S)→R，有dA(P，Q)=max{ACn(P，Q)，ACm(P，Q)，用GOA表示其相關(guān)的距離矩陣。

(二)三種度量標準和范數(shù)定義及介紹

根據(jù)上述定義的度量，下面將設(shè)計能夠反映出客觀性轉(zhuǎn)換程度的相應(yīng)度量標準和范數(shù)。

定義3.5(秩度量標準)由定義3.1(秩度量)得到:

當且僅當|P∪Q|=1且drm(P，Q)=0時，分母等于0，默認它是忠實地轉(zhuǎn)換的，因此該定義是合理的。以下定義同理。

定義3.6(秩度量范數(shù))對于Hr*：D(S)→R+，有Hr*(I)=∑PI∑QIHr(P，Q)。

如果對分母進行分析，就會發(fā)現(xiàn)它代表了客觀性心理過程之前的結(jié)構(gòu)距離，分子表示處理后的主觀性,這個比率揭示了主觀性相對于客觀性的相對程度。以下定義同理。

定義3.7(豪斯多夫度量標準)由定義3.2(豪斯多夫度量)得到：

定義3.8(豪斯多夫度量范數(shù))對于HF*：D(S)→R+，有HF*(I)=∑PI∑QIHF(P，Q)。

定義3.9(改進后的豪斯多夫度量標準)由定義3.3(改進后的豪斯多夫度量)得到

定義3.10(改進后的豪斯多夫度量范數(shù))對于HA*：D(S)→R+，有HA*(I)=∑PI∑QIHA(P，Q)。

(三)分區(qū)指標定義及介紹

設(shè)?E，F(xiàn)∈B(S)，基于上述定義，設(shè)計了以下分區(qū)度量。

定義3.11(秩度量分區(qū))有Tr：B(S)×B(S)→R，得到Tr(E，F(xiàn))=|Hr*(E)-Hr*(F)|。

定義3.12(豪斯多夫度量分區(qū))有TF：B(S)×B(S)→R，得到TF(E，F(xiàn))=|HF*(E)-HF*(F)|。

定義3.13(改進后的豪斯多夫度量分區(qū))有TA：B(S)×B(S)→R，得到TA(E，F(xiàn))=|HA*(E)-HA*(F)|。

以上分區(qū)(劃分)均基于絕對值度量。

四、度量在實際問題中應(yīng)用

論文主要利用三種度量進行客觀性和主觀性機理轉(zhuǎn)換，該論文旨在客觀性到主觀性的轉(zhuǎn)換機制，主要利用集合劃分的概念進行引入，可以模擬得到客觀性到主觀性的轉(zhuǎn)換中應(yīng)用該劃分。下面對于高中學(xué)生考試成績的客觀性預(yù)測評估，在此已知該次考試的分數(shù)區(qū)間為[0，150]，根據(jù)新課改政策的要求，可以將各個學(xué)科考試成績分為5個等級，即為A等[127.5，150]、B等[105，127.5)、C等[90，105)、D等[60，90)、E等[0，60)。

現(xiàn)假如八名學(xué)生是通過正常排序行為感知客觀性，即根據(jù)正態(tài)分布進行排序，評估結(jié)果是由該名學(xué)生平時表現(xiàn)客觀性評價得出，那么八名學(xué)生對另一名學(xué)生的某一次考試成績進行分數(shù)評估結(jié)果，具體結(jié)果詳見表2。

表2 八名學(xué)生對另一名學(xué)生的某一次考試成績分數(shù)評估

(一)三種度量的實際應(yīng)用

表3 客觀性相關(guān)距離相關(guān)矩陣

表4 由度量產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣

(二)度量標準和范數(shù)的實際應(yīng)用

1.三種度量標準的應(yīng)用

表5 由度量標準產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣

2.三種度量范數(shù)的應(yīng)用

由秩度量范數(shù)求得結(jié)果為6.32；由豪斯多夫度量范數(shù)求得結(jié)果為8.56；由改進后的豪斯多夫度量范數(shù)求得結(jié)果為8.04。

(三)統(tǒng)計檢驗

1.W檢驗

由相關(guān)距離矩陣GOr、MORMS數(shù)據(jù)檢驗得到p-value=0.0255、0.0135<0.05，說明數(shù)據(jù)正態(tài)性比較差；由相關(guān)距離矩陣GOF、GOA數(shù)據(jù)檢驗得到p-value=0.0957、0.0614>0.05，說明數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的特征，數(shù)據(jù)正態(tài)性較好。

2.卡方檢驗

通過對三個度量產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣(GOr、GOF、GOA)的數(shù)據(jù)進行雙尾檢驗，選擇通過顯著性水平為5%，卡方檢驗結(jié)果詳見表6。由檢驗結(jié)果得出以下結(jié)論，如果采用秩度量，則會拒接原假設(shè)；如果采用豪斯多夫度量和改進后的豪斯多夫度量，則會接受零假設(shè)。說明了采用豪斯多夫度量和改進后的豪斯多夫度量得到的結(jié)果與主觀性具有一致性，并同時說明方法具有可行性。

表6 雙尾檢驗95%置信區(qū)間、方差、p-value

五、說明

(1)首先假設(shè)受試者具有隨機性，由受試者得到的數(shù)據(jù)具有可用性。

(2)假設(shè)客觀狀態(tài)到主觀狀態(tài)的心理轉(zhuǎn)換是基于給定數(shù)據(jù)的正態(tài)分布，在后續(xù)產(chǎn)生的相關(guān)距離矩陣進行正態(tài)分布檢驗(W檢驗)，在一定程度上保證了數(shù)據(jù)的正態(tài)性。

(4)當從客觀性到主觀性的轉(zhuǎn)換用整數(shù)來近似時，如果一個人的自身能力能夠處理更精細的結(jié)果，那么得到的數(shù)據(jù)將更加符合受試者的意愿，可以采用更細的標度，從而客觀性轉(zhuǎn)換也可以提高精確度。

(5)在進行非參數(shù)測試時，通過參數(shù)限制樣本空間?？紤]的貝爾分區(qū)只是一部分，并限制在帶有固定類別(組)的貝爾分區(qū)的子類別。

結(jié)語

由于學(xué)生每次考試成績是受多方面因素影響，在學(xué)生考試成績的預(yù)估中，由檢驗結(jié)果可以得出以下結(jié)論。如果采用秩度量，則會拒接原假設(shè)；如果采用豪斯多夫度量和改進后的豪斯多夫度量，則會接受零假設(shè)。說明在客觀性和主觀性進行機理轉(zhuǎn)換中，采用豪斯多夫度量和改進后的豪斯多夫度量可以很好地將客觀性轉(zhuǎn)換到主觀性，可以預(yù)估出學(xué)生主觀性的猜測。該方法還可以將應(yīng)用于其他領(lǐng)域進行研究，比如經(jīng)濟領(lǐng)域、投資領(lǐng)域等。

致謝:感謝百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院陳瑞明老師對本文的指導(dǎo)!