基于“數(shù)學+”的線性代數(shù)課程深度學習研究

姚 斌，楊紅偉，楊玲香

（石河子大學 理學院，新疆 石河子 832003）

深度學習最早由Marton等人提出，他們將學習者的學習分為淺層學習和深度學習。Marton認為深度學習是指學習者在理解學科知識的基礎上，對新學習的學科知識和思想方法進行批判性的學習與融合，并將其融入自身已有知識和經(jīng)驗結構中，最終能夠運用遷移知識解決實際問題［1］。李沁等基于課堂深度學習實踐困境的剖析，探尋并思考課堂深度學習的實踐路徑［2］。唐玉溪從深度學習理論出發(fā)，系統(tǒng)梳理學界相關認知神經(jīng)科學研究成果，挖掘深度學習活動背后的認知神經(jīng)機制，以期對教學實踐有一定的啟發(fā)作用［3］。馬如霞等以課堂師生對話行為作為研究對象，通過實證研究聚焦當前課堂深度學習的現(xiàn)狀，探究促進課堂深度學習的策略［4］。

一、線性代數(shù)教學現(xiàn)狀

線性代數(shù)課程是大學數(shù)學公共基礎課之一。本課程概念、公式、定理較多，且內(nèi)容縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，計算相對復雜但規(guī)律性強，解題方法靈活多變，對學生的抽象思維能力與邏輯推理性有較高的要求。學生在學習過程中普遍感到課程內(nèi)容過于抽象，學習興趣隨著課程的深入越來越低，學后對很多知識點的掌握都流于表面，只知其行，不知其意，不懂如何運用它們解決實際問題，只會模仿例題機械式的解題，課程的獲得感不高。

在以往的線性代數(shù)教學中，課程重點講授的是概念、定理及計算，注重的是知識邏輯的嚴密性和計算的準確率。隨著時代的發(fā)展，不少高校在課程教學中融入數(shù)學軟件Matlab，引導學生運用數(shù)學軟件計算相關問題。但通過學生座談及問卷調(diào)查等顯示，學生對所學知識具體是如何抽象出來的，到底有什么用以及怎么用還是存在諸多困惑。學生主動參與課堂的意愿較低。究其原因，主要是課程教學中重點關注的是代數(shù)方法以及計算過程的準確性和簡潔性，而忽略了課程所體現(xiàn)的幾何觀念和解決問題的思維產(chǎn)生過程。課程考核重點關注的是學生的計算水平，也就是布魯姆目標分類理論的淺層次水平。學生很難自主構建所學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，導致學生很難學以致用，難以用數(shù)學的語言描述問題，進而解決問題。

二、基于“數(shù)學+”的深度學習培養(yǎng)策略

（一）數(shù)學+創(chuàng)新思維方法：優(yōu)化課程教學內(nèi)容，將創(chuàng)新思維方法融入線性代數(shù)課堂教學

當今社會對大學生的創(chuàng)新能力提出了更高的要求。“四新”建設的“新”不是新舊的新，是創(chuàng)新的新，是整個發(fā)展思路、標準、路徑、技術方法和評價等系列的新變化［5］。教師應結合時代需求及課程特點進行教學設計，深入研究課程的哪些知識點能夠與創(chuàng)新思維方法相融合。在線性代數(shù)課程教學中，著重將形象思維、逆向思維、發(fā)散思維、類比思維和批判性思維等創(chuàng)新思維方法融入課堂教學。結合具體的教學內(nèi)容，設計教學目標，提煉相應的科學思維方法，總結學習經(jīng)驗，設計教學方式，讓學生明白思維的產(chǎn)生和運用過程。

第一，在線性代數(shù)教學中，重視思辨數(shù)學的教育價值，設計數(shù)形結合，幾何直觀案例，讓學生體驗形象思維的運用和價值。例如，以往在講解向量的夾角時，直接給出夾角公式學生能夠運用該公式計算夾角，卻無法理解公式的來源。教學過程中，教師可以從幾何直觀入手，建立三維空間直角坐標系，讓學生直觀感受如何由內(nèi)積推導得出向量夾角公式，進一步推廣到任意向量的情形。

第二，通過不同知識點之間的對比和細分，帶領學生對其進行深度解讀，發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別和聯(lián)系，培養(yǎng)學生的類比思維和發(fā)散思維。例如，在講解向量的線性組合時，可以從同學們熟悉的三原色原理出發(fā)，人的眼睛對紅、綠、藍最為敏感，它像一個三色接收器的體系，大多數(shù)的顏色可以通過紅、綠、藍三色按照不同的比例合成產(chǎn)生。同樣，絕大多數(shù)單色光也可以分解成紅、綠、藍三種色光，這是色度學的基本的原理，也稱三原色原理［6］。是否能用數(shù)學的語言來描述這一現(xiàn)象呢？將顏色類比成向量，則三原色原理可以表示為：

其中，x1,x2,x3分別表示紅綠藍三種顏色，xi代表任意一種顏色，123,,lll表示比例。

即任意一種顏色可以表示成紅綠藍三種顏色的比例組合。這一問題是否可以推廣呢？進一步通過類比引出向量的線性組合的概念。

定義：給定向量β和向量組α1,α2,… ,αn，如果存在一組數(shù)k1,k2, …,kn使得

則稱向量β為向量組α1,α2, …,αn的一個線性組合，或者說β可由向量組α1,α2, …,αn線性表示，k1,k2, …,kn稱為組合系數(shù)［6］。

第三，在習題課的教學中，精心設計相關習題，嘗試從一題多解、逆向思考、題目變式訓練等多個方面培養(yǎng)學生的逆向思維、批判性思維和發(fā)散思維。具體要注重題目選擇的層次性，逐步遞進，通過類似思維訓練，有效地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，開闊學生思路。

（二）數(shù)學+實際問題解決：基于實際問題解決的線性代數(shù)深度學習任務設計

當前，混合式教學打破了時空界限，拓展了教學空間，成了廣受歡迎的一種教學形式。在教學過程中，依托前期建設的線性代數(shù)課程混合式教學資源，構建了課程混合式教學環(huán)境，滿足學生個性化學習的需要。同時，在上述思維教學基礎上，進一步優(yōu)化了內(nèi)容。結合“傳遞—接受”和“自主—探究”兩種模式之所長，聚焦線性代數(shù)在新一代信息技術、智能制造、經(jīng)濟學等領域的廣泛應用，圍繞學習內(nèi)容設置具有開放性、發(fā)散性和探究性等特征的實際問題，讓學生組建學習小組，從不同角度思考和探究運用所學知識解決現(xiàn)實問題，從而讓學習活動實踐化，為調(diào)動已有知識與創(chuàng)造新的知識提供可能與基礎［7］。

具體實施過程如下：以“矩陣的初等變換”為例

教師引導：學生課前完成在線預習任務，教師在課堂上進一步講解初等變換的理論知識，主要結論。幫助學生掌握核心學科知識，進行相關知識儲備，為開展深度學習打下基礎。

深度學習任務設計：教師布置線上學習任務——“小組合照圖像旋轉的數(shù)學機理探究”。具體包含如下內(nèi)容：一是正向問題。以小組合照圖像為例，如何利用初等變換實現(xiàn)該圖像任意角度的旋轉？二是反向發(fā)散問題。已知一幅旋轉后的圖像，能否運用所學知識推斷原圖像，并給出旋轉角度。三是拓展問題。請在此基礎上提出一個新問題，并思考解決方案。

小組任務解決：小組成員依據(jù)任務查找相關資料進行個體的知識建構并共享觀點及相關支撐材料，通過溝通，質疑和協(xié)商后達成共識，最終完成相關任務。通過該任務幫助學生真正理解學習內(nèi)容，應用形象思維、逆向思維和發(fā)散思維等解決實際問題。學生也將在共同的協(xié)作中鍛煉復雜問題解決能力，溝通能力和團隊協(xié)作能力。

匯報交流：各小組通過匯報交流學習成果，其他小組提出相關問題或質疑。教師提出疑問，引發(fā)學生思考和交流，培養(yǎng)批判性思維，提升自學能力。

上述任務貼近學生實際生活。難度稍高于學生的實際知識掌握水平。學生可在教師的指導和幫助下以及與小組的協(xié)作中解決。目前，智能手機都裝有圖像處理APP，學生大都能夠熟練使用這類APP處理各種照片，但很少去探究這些操作都是怎么實現(xiàn)的？這就是所謂的“黑盒子”理論，使用者的門檻很低，研發(fā)的門檻越來越高。這背后蘊含了大量的數(shù)學過程。

三、教學實踐與分析

本研究以S大學連續(xù)兩屆線性代數(shù)教學班學生為研究對象，進行了兩輪的教學研究實踐，具體實施情況如下。

（一）第一輪教學實踐

2021年，第一輪主要包括課前自學，課中講解匯報，課后討論測試等。教師課前通過網(wǎng)絡教學平臺發(fā)布自主學習任務單，學生通過閱讀自主學習任務單，明確課前學習任務，包括預習視頻、書本知識點、在線討論題及課前閱讀材料等。由于數(shù)學課程難度較大，完全由學生課前自學，大部分學生會比較吃力。所以課前預習主要涉及課程中相對簡單的知識點的概念及基本計算。課中教師會針對重要內(nèi)容進行講解、思維訓練及實際問題解決案例分析。課后主要是完成作業(yè)、小組合作任務、討論及測試等。

在第一輪的教學實踐中，教師共發(fā)布在線討論題63道，討論題的設計重點關注學生思維層次的訓練，以期讓學生在課后更深層次理解教師所講授的內(nèi)容。為了達到以測代練的目的，課后測試允許學生重復3次。小組合作任務共5道。

第一輪教學實踐完成后，教師通過面對面訪談和調(diào)查問卷等方式，了解學生學習感受。學生普遍反映可以接受教師采取的教學方式，但也提出了一些問題。一是自主學習任務較多，部分學生自主學習預習視頻的積極性不高。二是在線討論題過多，雖然教師只要求同學自主選擇自己感興趣的參加討論即可，但不少學生為了獲得高分，基本所有討論題都參與，導致討論題灌水現(xiàn)象嚴重。三是在線測試反饋不及時。每章學習完后才開始在線測試，學生又要學習新一章的內(nèi)容，基本無暇顧及上一章的知識點鞏固。四是小組任務設計題目偏難，部分學生查閱資料也無法有效完成。

（二）第二輪教學實踐

針對上述問題，教師之間進行了交流討論，對混合式教學策略進行了一定調(diào)整。一是根據(jù)學生反饋，對自主學習任務單中相對較難的知識點調(diào)整為課內(nèi)教學。二是對在線討論題進行了適度刪減，每章在線討論題不超過5道。三是課中教學使用雨課堂進行，每節(jié)課中發(fā)布1—2道測試題，便于教師及時了解學生掌握情況，調(diào)整教學進度。四是小組合作任務題目減少到3道，并根據(jù)學生學情調(diào)整了部分任務難度，增加了部分任務解決思路的提示。

教師根據(jù)上述調(diào)整進行了第二輪教學實踐。教學實踐完成后教師再次對學生進行了訪談和問卷調(diào)查，學生對教師采取的教學策略滿意度明顯提升。同時，在實際問題解決部分，學生普遍感覺還是偏難。由于本課程面向大一學生，學生專業(yè)知識儲備較少，所以實際問題解決對學生的挑戰(zhàn)較大。后期教師將在這部分的講解和反饋上加大力度。

四、建議

第一，教師要深入學習創(chuàng)新思維的內(nèi)涵，精心設計思維訓練方式，拓展內(nèi)容的深度和廣度。注重發(fā)掘創(chuàng)新思維與數(shù)學理論之間的關聯(lián)，如新概念能不能直接從舊概念或者實際生活中的某些“通識性原理”引入；抽象的代數(shù)概念能不能從幾何的角度直觀引入；新概念引入后能不能更加“簡潔方便”地得到某些已有的數(shù)學理論；一題多解的各種解法各有什么優(yōu)缺點；同一種方法解不同類型問題的原理和過程是否相同等方面入手，不斷拓展相關案例。可以嘗試布置習題變式等作業(yè)，讓學生自主探究相關題目的演變、拓展及延伸，以期達到思維能力的躍升。

第二，在具體實施時，要注重課程教學設計。教學改革的成敗一定程度上依賴于教師的教學設計。教學材料的選擇要時刻關注學科的最新發(fā)展態(tài)勢，動態(tài)更新相關教學內(nèi)容。同時，教學設計要緊跟時代步伐，融入現(xiàn)代教育教學理論與工具，不僅注重教師的教，還要研究學生的學，關注學生易于接受的教學方式及學習方式，通過有效的教學導引讓學生深度參與教學的各個環(huán)節(jié)。

第三，深度學習任務的設計要能夠匹配學生的實際水平。不同高校的學情不同，教師在設計相關任務時，首先要考慮任務與學生實際情況的契合度，解決任務需要的數(shù)學原理和背景知識是否匹配課程的內(nèi)容和學生的認知水平；其次要考慮任務的可達性，任務是否難度適宜。小組合作任務的設計問題不能太大，要略高于學生現(xiàn)有的能力，但不能遙不可及。這就要求教師要對任務進行拆解，使其變成學生跳一跳就能夠做的事情；同時還要考慮任務的實用性，任務是否來源于實際生活或其他學科中的實際問題，使學生能夠在任務解決中自主實現(xiàn)知識的遷移應用，達到深度學習的目的。

五、結語

綜上所述，在線性代數(shù)教學中開展深度學習改革研究，拓展了教學時空，對學生關于課程知識的理解和計算有著一定促進作用。各類教學環(huán)節(jié)涉及內(nèi)容廣泛，有效地拓展了學生的發(fā)散思維、逆向思維和批判性思維等，學生應用數(shù)學意識得到明顯增強，且學生對課程的獲得感也有所增強。在后續(xù)教學中，教師仍需不斷探索，優(yōu)化教學策略。