非自治記憶型強阻尼波方程的拉回指數吸引子

任麗宇，姜金平，劉生清，羅軒怡

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

近年來，許多學者關于拉回指數吸引子的研究已有一定的成果［1-5］，其中LI［4］通過新的構造，對于離散過程缺乏平滑性或連續過程不滿足連續的演化過程，建立了拉回指數吸引子的抽象結果。后來，LI等［5］利用簡化的非自治系統的緊性條件以及利用拉回ω-極限緊，證明了非自治系統的拉回指數吸引子的存在性。MIRANVILLE 等［6-7］給出了一種研究具有記憶的演化方程解的長期行為的方法，并獲得了帶記憶的弱阻尼波動方程和帶記憶的半線性熱方程的軌道和全局吸引子。WANG 等［8］研究了具有記憶的非經典擴散方程的軌道和全局吸引子。孟鳳娟等［9］研究了帶記憶項的強阻尼波方程解的長時間行為。吳曉霞等［10］研究了無界域上帶有線性記憶的波方程解的長時間行為。

在記憶型強阻尼波方程中軌道吸引子和全局吸引子存在的基礎上，本文將文獻［4］中使用的方法應用到記憶型強阻尼波方程，得到該方程的拉回指數吸引子的存在性。

本文考慮下列記憶型強阻尼波方程的拉回指數吸引子的存在性：

其中，Ω是在Rn上的有界光滑區域，n≥3，g(x，t) ∈非線性項滿足

假設f∈C'(R)，f(0)=0，滿足如下耗散條件：

μ滿足以下假設：

1 預備知識

插值結果如下：給定s＞r＞q，對于任意δ＞0，存在Cδ=Cδ(s，r，q)，使得

定義1［5］令{U(t，τ)|t≥τ}是度量空間X中的一個過程，稱非空有界集族M={M(t)|t∈R}為U(t，τ)的一個拉回指數吸引子，如果

1）對于?t∈R，集合M(t)∈B(X)在X中是緊的；

2）M(t) ∈B(X)關于U(t，τ)是正向半不變的。也就是說?t≥τ，U(t，τ)M(τ) ?M(t)；

3）M(t)的分形維數在X 中是一致有界的，也就是說存在F＞0，?t∈R，使得dimfM(t) ≤F。

4）集合{M(t)|t∈R}拉回吸引X 中的任意有界子集。也就是說存在一個常數l＞0，對于任意有界子 集B∈B(X)，當t∈R 時，存在k＞0，使得

dist(U(t，τ)B，M(t)) ≤ke-l(t-τ)，

其中，dist 為集合間的非對稱Hausdorff 半度量，即

dist(A，B)=supa∈Ainfb∈Bd(a，b)。

定義2［4］設H是可分Hilbert 空間且B?H，如果存在秩N的正交投影PN，則稱映射族{U(n)}n∈Z：U(n)：B→B，?n∈Z 是滿足B上的（離散）均勻壓縮性質，該正交投影PN與n無關，使得在B上的每一個u和v有

引理1［4］令y(t)在[0，+∞)上一致連續，滿足y'(t)+γy(t)≤h(t)，其中γ＞0，?t≥0，h(t)≥0。假設則y(t)≤y(0)e-γt+C(1+γ-1)。

設H是Hilbert 空間，過程{U(t，τ)}在其上作用。假設過程{U(t，τ)}在H上是連續的，即對于所有τ∈R，t≥τ，映射U(t，τ)：H→H是連續的。設B?H是過程{U(t，τ)}的有界一致吸收集，即對于任何有界集B?H，存在一個t0=t0(B) ＞0，不依賴于τ，使得U(t，τ)B?B，?t≥t0+τ，τ∈R。

令T=T(B) ＞0使得

假設存在CB＞0，使得

由式（6）可得，對于任何固定的τ∈R，在B上定義具有離散時間的過程：

推論1［4］假設作用于可分Hilbert 空間H中的過程{U(t，τ)}滿足以下條件：

1）H中存在一致有界吸收集；

2）{U(t，τ)}是拉回ω-極限緊的；

3）{U(t，τ)}滿足‖U(t，t-s)u-U(t，t-s)v‖≤CB‖u-v‖，?u，v∈B，0 ≤s≤T；

4）由式（7）定義的{U(n，l)}對應的{U(n)}n∈Z滿足B上的離散均勻壓縮性質。

則H中{U(t，τ)}存在一個拉回指數吸引子。

2 拉回指數吸引子的存在性

由式（5）可得

證明證明過程類似于文獻［16］中用標準的Fadeo-Galerkin方法證明解的適定性。

由定理1，可以定義在H0上的過程：

其中，z(t)=(u(t)，ut(t))是方程（1）的解且初值為zτ=(uτ(x)，vτ(x))。

引理2假設f滿足式（2）～（4）和g(x，t)∈，與方程（1）相關的過程{U(t，τ)}在H0上有一個一致吸收集。

證明對方程（1）兩邊乘以ut+αu，并在Ω上積分得

由式（8）、（9）和Poincare不等式，可得

因此，可以從式（13）得到在H0上存在一個一致吸收集。證畢。

令B0是過程{U(t，τ)}上的一致吸收集，當T0＞0時，對于?τ∈R，有U(τ+T0，τ)B0?B0。

證明令?(t)=u1(t) -u2(t)，ui(t)是方程（1）的解，初值為ziτ，i=1，2，則

將式（15）乘以?t并在Ω上積分得

即得出H0上存在有界集。證畢。

故由引理2和引理3可得推論1的條件1）。

下面用分解方法證明過程{U(t，τ)}拉回ω-極限緊。類似于文獻［17］中的引理1.2，函數f∈C1(R)滿足式（2）、（3）有一個分解f=f0+f1，f0，f∈C(R)，滿足

將方程（1）的解u(t)和初值zτ=(uτ，vτ) ∈H0分解為u(t)=h(t) +w(t)，h(t)和w(t)分別是下面方程（23）和（24）的解。

證明給方程（23）兩邊乘以ht+αh，并在Ω上積分得

即證得過程{U(t，τ)}是拉回ω-極限緊的。

為了估計帶有臨界非線性項式（2）的解，需要以下結果：

其中，C'是正常數，對式（44）利用Gronwall 引理，結合引理6，得

其中，γ2，C是正常數，?為不依賴于t、τ和zτ的單調遞增函數。

由引理2、引理4、引理7和引理8知，在Hσ上存在有界子集Bσ使得在H0上的任一有界集B有

令方程（1）的兩個解u1(t)和u2(t)，初值為z1τ，z2τ∈B1，那么?(t)=u1(t) -u2(t)滿足

式（60）可得當式（59）成立時，有

即證得{U(n)}n∈Z滿足B1上的離散均勻壓縮性質。

結合以上分析證明，可得過程{U(t，τ)}對應于方程（1）具有一個拉回指數吸引子。