注重關聯和比較

賀艷

摘? 要：

教學蘇教版小學數學三年級下冊《認識面積》一課，調整教學內容，引導學生關聯并比較周長和面積，從而對面積建立正確的“第一印象”。具體包括：基于描述性定義、基于度量本質以及在數量關系視角下，比較周長和面積。

關鍵詞：小學數學；面積；周長；比較

本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“小學數學教師單元整體教學能力提升的實踐研究”（編號：JC/2021/16）、江蘇省南京市中小學教學研究第十四期重點課題“指向深度理解的小學數學單元整體教學研究”（編號：2021NJJK14Z32）的階段性研究成果。

一、教前思考

蘇教版小學數學三年級下冊第六單元《長方形和正方形的面積》，安排了兩部分內容：一部分是“面積的概念、面積的比較和測量以及面積單位”，即例1—例3；另一部分是“長方形和正方形的面積計算以及面積單位之間的進率”，即例4—例7。根據以往的教學經驗，如果按照教材編寫的內容和順序組織教學，學生學完新課后，遇到面積、周長的綜合題（如第二部分后的練習九和整個單元后的復習題中的一些習題）時，常常會將面積和周長混淆，具體表現在面積和周長的判斷、面積單位和長度單位的使用、面積計算方法和周長計算方法的使用等方面，典型錯誤如圖1所示。

究其原因，從內容的角度看，周長和面積都是平面圖形的屬性，前者是封閉圖形周圍邊線的長度，后者是封閉圖形內部區域的大小；對于同一個平面圖形而言，常常是“周內有面，面外有周”。因此，周長和面積是緊密聯系的兩個概念，學習時自然容易混淆。從教學的角度看，根據蘇教版小學數學教材的安排，學生在三年級上冊（第三單元《長方形和正方形》）學習周長的內容，在三年級下冊學習面積的內容；而學習面積內容時，在新授課中基本不涉及周長內容（只在例3中類比長度單位引入面積單位，以及在例3后的“想想做做”第2題中要求比較1厘米和1平方厘米）。因此，周長和面積獨立教學，缺少關聯和比較，學生自然容易混淆。于是，我嘗試在《認識面積》

一課（三年級下冊第六單元第一課，新授課），調整教學內容，引導學生關聯并比較周長和面積，從而對面積建立正確的“第一印象”，避免從一維的周長到二維的面積的負遷移。

二、教學過程

（一）基于描述性定義，比較周長和面積

根據教材例1，教師引導學生觀察、觸摸黑板面、數學書的封面、課桌面、數學本的封面、文具盒面、直尺面等，感受、比較它們的大小，從而基于感性認識——面有大小，得出面積的描述性定義：面的大小。

然后，教師播放兩個視頻——一個是用手摸凳子的一周，一個是用手摸凳子的表面（分別如圖2、圖3所示），引導學生比較：都是在用手摸凳子，有什么不同？學生回答：一個摸的是凳子一周的長度，是凳子的周長；一個摸的是凳子表面的大小，是凳子的面積。教師讓學生再找一些物體，摸它的一周和表面，并說一說它的周長和面積分別在哪里。由此，讓學生基于描述性定義，明確周長和面積的聯系和區別：都是封閉圖形的屬性，一個表示周圍邊線的長度，另一個表示內部區域的大小。

（二）基于度量本質，比較周長和面積

根據教材例2，教師引導學生思考比較無法通過觀察、觸摸以及重疊比較大小的兩個面大小的方法，從而引出數方格這一先度量（對統一的“面積單位”進行計數）后比較的方法，讓學生認識到：作為面的固有屬性，面積是（更小的、基本的）面的積累，不比較大小時，也是可以度量多少的。

然后，教師出示圖4，讓學生說出其中圖形的周長和面積。學生通過數線段和數方格的方法得到：周長為16，面積為12。教師追問：16個什么？12個什么？也就是說，它們的單位分別是什么？學生交流得到：16個小方格邊長，12個小方格面積。由此，引導學生基于度量本質，感悟周長和面積的聯系和區別：周長和面積都可以通過度量得到，都表示度量單位的累加；周長是長度單位的累加，面積是面積單位的累加。

（三）在數量關系視角下，比較周長和面積

師? 既然周長和面積緊密聯系——對于同一個平面圖形

來說，“周內有面，面外有周”，那么，它們之間會有怎樣的數量關系？猜一猜：對于同一個平面圖形來說，周長越大，面積越怎么樣？面積越大，周長越怎么樣？

生? 我覺得，周長越大，面積越大；面積越大，周長也越大。

師? 是這樣嗎？我們來驗證一下。根據這個猜想，如果面積不變，那么，周長也應該不變。請同學們拿出方格紙，畫出一個面積是12個小方格大小的圖形，并求出它的周長。

（學生畫圖。）

師? （展示學生作品，如圖5所示）這三個圖形的面積都是12個小方格大小嗎？它們的周長相等嗎？

生? 三個圖形的面積都是12個小方格大小，但是，它們的周長不相等，分別是16個小方格邊長，14個小方格邊長，18個小方格邊長。

師? 你有什么發現？

生? 我發現，面積相等的圖形，周長不一定相等。

師? 換句話說，“周長越大，面積越大”并不成立。再來看周長不變時面積變不變。請同學們畫出一個周長是20個小方格邊長的圖形，并求出它的面積。

（學生畫圖。）

師? （展示學生作品，如圖6所示）這四個圖形的周長都是20個小方格邊長嗎？它們的面積相等嗎？

生? 四個圖形的周長都是20個小方格邊長，但是，它們的面積不相等，分別是16個小方格大小，24個小方格大小，25個小方格大小，21個小方格大小。

師? 你有什么發現？

生? 我發現，“面積越大，周長越大”也不成立。

師? 由此看來，周長和面積之間沒有明確的數量關系。是不是與我們猜想的不一樣？

生? 我還發現，圍成正方形的面積最大。

師? 很有價值的發現！實際上，面積一定時，周長有最小的情況，沒有最大的情況；周長一定時，面積有最大的情況，沒有

最小的情況。這是數學中很重要的結論。隨著數學學習的不斷深入，同學們會逐漸深刻地認識這個結論。

在前兩個角度的比較下，學生能認識到周長和面積是緊密聯系的兩個概念。本環節考察周長和面積的數量關系，引導學生發現：面積不變時周長可變，周長不變時面積也可變。從而在進一步的比較中，對周長和面積的概念有了深刻理解，同時體會到“變與不變”（控制變量）的數學思想（科學方法）。