采樣點數對圓柱體計算尺寸評定結果的影響*

趙則祥,史鑫朝,趙新宇,席建普

(1.中原工學院 機電學院,河南 鄭州 450007;2.中原工學院 計算機學院,河南 鄭州 450007)

0 引 言

圓柱體尺寸除了常用的兩點尺寸(點對尺寸)[1]外,為了使圖樣標注含義更加清晰明確,適應機械制造業向精密制造、智能制造方向發展趨勢,新一代產品幾何技術規范(geometrical product specifications, GPS)中,對圓柱體尺寸進行了系統的規定。

在該規范中,規定了以下尺寸:(1)局部尺寸。包括兩點尺寸、球面尺寸、截面尺寸、部分尺寸;(2)全局尺寸。包括直接全局尺寸(最小二乘直徑、最小外接直徑、最大內切直徑和最小區域直徑)和間接全局尺寸;(3)計算尺寸。包括周長直徑、面積直徑、體積直徑;(4)統計尺寸。包括最大尺寸、最小尺寸、平均尺寸、中位尺寸、極值平均尺寸、尺寸范圍、尺寸的標準偏差。

有關上述尺寸的含義見文獻[2]4-11。

按照上述尺寸的規定,設計人員可以根據零件功能需要,在圖樣上標注相適應的尺寸;檢驗人員可依據圖樣上標注的尺寸,選擇相應的測量與評定方法。

根據文獻[2]7-9中有關圓柱體計算尺寸的含義,計算尺寸較合適的測量與評定方法為:在柱坐標測量儀上對圓柱體要素采用圓周法進行輪廓提取,并基于其對應的評定模型進行評定。采用圓周法對圓柱體要素對輪廓進行提取時,需要設置每個圓周的采樣點數。采樣點數設置過多,將造成信息冗余,測量和評定時間較長,測量過程中可能引入粗大誤差;采樣點數設置過少,將造成信息不足,提取的輪廓不能代表圓周要素的實際面貌。

采樣點數不僅對圓柱體計算尺寸的評定結果有影響,對圓度誤差等圓柱體幾何誤差的評定結果也具有影響,一些學者對此進行了研究。

謝夢敏等人[3]采用最小區域圓法(minimum zone circle, MZC)的圓度誤差評定方法,對圓度誤差檢測精度進行研究,得出了不同采樣點數對圓度精度的影響規律。鄭育軍等人[4]在三坐標測量機上,對不同對象的圓進行了不同點數的均勻分布采樣,采用最小二乘法(least squares circle, LSC)評定了其圓度,并對其結果進行了分析總結。文學等人[5]提出了基于粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)及遺傳算法(genetic algorithm, GA)的三測點角度優化策略,研究結果表明,采用該策略提升了回轉件圓度信息的測量精度。趙前程等人[6]對圓度測量中測量點數的確定進行了研究。林志熙等人[7]對具有最少采樣點的圓度誤差測量進行了研究。陳隆德等人[8]對圓度誤差測量中測點數的確定進行了研究。鄭鵬等人[9]通過計算機模擬分析與工件實測,對圓柱度精確測量進行了研究,研究得出結論,圓柱度精確測量評定的關鍵是提高軸向采樣頻率和采樣面密度。CHAN F M M等人[10]使用坐標測量機測量了圓柱體截面,研究了測量時其對采樣策略的影響規律,確定了采樣點數和計算結果之間的關系。GAPINSKI B等人[11]研究了測量點數和圓度偏差類型對測量結果的影響,并給出了關于測量點數的建議。MIAN S H等人[12]采用灰色關聯度分析法(grey relation analysis, GRA)和優劣解距離法(technique for order preference by similarity to ideal sulution, TOPSIS),估計出了圓柱體最佳的采樣點數分布方案、采樣點數,并得到了其評定算法。SUMMERHAYS K D等人[13]對內圓柱面的離散采樣點模型進行了優化。

上述有關采樣點的問題研究,主要是基于對圓柱體的幾何誤差評定結果的影響展開的,其對圓柱體計算尺寸評定結果的影響是不相同的。

因此,筆者將通過用折線和弧線兩種方法表征圓周輪廓,從理論和實驗兩方面系統研究采樣點數對圓柱體計算尺寸評定結果的影響,以便計算尺寸測量時選取較合適的圓周輪廓表征方法和采樣點數,為標準GB/T 38762.1—2020在機械制造業的貫徹實施提供技術支持。

1 輪廓要素提取與徑向尺寸確定

1.1 輪廓要素的提取

當在圓柱度儀上采用圓周法對被測圓柱體進行輪廓提取時,在輪廓提取前,通常要對被測圓柱體進行調心和調平處理(即被測圓柱體的軸線與圓柱度儀的回轉工作臺的軸線間的平行度誤差盡可能小,被測圓柱體的第一個圓周輪廓的最小二乘圓圓心與回轉工作臺的軸線間的偏心量盡可能小);

調心調平后,還需對圓柱度儀設置相關參數,如圓周輪廓的采樣點數、兩相鄰圓周輪廓的軸向間距、圓周輪廓數、是否濾波、濾波參數等;之后,即可開始對被測圓柱體進行圓周輪廓提取。

1.2 徑向尺寸的確定

圓柱度儀采用圓周法測量圓度誤差、圓柱度誤差和軸線直線度誤差時,不需要測量各采樣點到工作臺回轉軸線之間的距離。圓柱度儀是否配置線位移光柵尺均是準柱坐標測量儀,且得到的徑向尺寸所形成的圓周(或圓柱體)輪廓對幾何誤差評定結果幾乎沒有影響。

但是針對圓柱體計算尺寸,采用圓周法提取圓周輪廓時,需要精密測得圓周輪廓采樣點到工作臺回轉軸線間的徑向尺寸。不配置線位移光柵尺的圓柱度儀無法精密測量徑向尺寸,而配置線性位移光柵尺的測量儀,通過對標準柱或標準環以及相關模型圓周輪廓的測量,實現圓周輪廓采樣點與工作臺回轉軸線間徑向尺寸的精密測量。

筆者將標準柱放置在配置線性位移光柵尺的圓柱度儀的工作臺上,經調心調平處理,將測頭移至已知的標準柱的圓周位置處,提取此處標準柱的圓周輪廓。

此處以Talyrond 585LT圓柱度儀為例,由橫臂配置線位移光柵傳感器和電感傳感器,測得的圓周輪廓第j采樣點的準徑向尺寸如下式所示:

(1)

式中:xB0j,yB0j—第j采樣點的在x軸和y軸的坐標;xSij,ySij—第i圓周輪廓的第j采樣點的x軸和y軸的坐標;m—被測圓柱體測量的圓周數;n—每個圓周輪廓的采樣點數,采用等角度間隔采樣;φj—第j采樣點的采樣間隔,rad。

筆者用標準柱消除徑向測量所存在的系統誤差Δρ[14]。

由于在圓柱度儀上提取圓柱體輪廓采用的是準柱坐標系,基于準柱坐標系和柱坐標系分別測得的標準柱圓周輪廓的最小二乘圓及其參數,如圖1所示。

圖1 最小二乘圓及其參數

由于圓周輪廓最小二乘圓圓心坐標僅與圓周輪廓各采樣點的微小變動量有關,因此,圖1所示兩圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標相同。

基于準柱坐標系提取圓周輪廓時,各采樣點到工作臺回轉軸線的徑向尺寸所存在的系統誤差可表示為:

(2)

各采樣點消除徑向尺寸的系統誤差后,可得到各采樣點到工作臺回轉軸線的徑向尺寸,即:

ρij=ρSij-Δρ,i=1～m,j=1～n

(3)

2 計算尺寸的確定

2.1 輪廓周長、面積、體積及其確定

第1至m圓周輪廓的周長、面積與體積如圖2所示。

圖2 周長、面積與體積圖示V—第1至第m圓周輪廓間的體積;Pi—第i圓周輪廓的周長;Ai—第i圓周輪廓的面積

對于圖2所示的周長,可有兩種方式確定:(1)用折線(相鄰點的連線)所組成的輪廓封閉線的長度,作為提取圓周輪廓的周長;(2)用弧線(兩個相鄰點的采樣點到回轉工作臺軸線的徑向尺寸的均值作為半徑的弧)所組成的輪廓封閉線的長度,作為提取圓周輪廓的周長。

局部圓周輪廓長、面積確定方法如圖3所示。

圖3 局部圓周輪廓周長、面積確定方法示意圖ρij,ρi(j+1)—第i圓周輪廓上第j采樣點和第j+1采樣點與回轉臺回轉軸線上oi間的徑向尺寸;ΔPLij—第i圓周輪廓上第j采樣點和第j+1采樣點間直線距離;ΔPAij—第i圓周輪廓上以ρij和ρi(j+1)的均值為半徑ρaij的弧長;Δφ—兩相鄰采樣點間的夾角;ΔALij—所示三角形的面積;ΔAAij—圓弧與兩邊所圍的面積

已知ρij和ρi(j+1),ΔPLij和ΔALij的計算式為:

(4)

其中:

(5)

當j=n時,j+1用1代替。

ΔPAij和ΔAAij的計算式為:

(6)

其中:

ρaij=(ρi(j+1)+ρij)/2

(7)

當j=n時,j+1用1代替。

與式(4,6)相對應,第i圓周輪廓的周長和面積均有2種方式確定,如下式所示:

(8)

式中:m—被測圓柱體的圓周輪廓數。

由式(8)可得到第1～m個圓周輪廓的面積,則被測圓柱體的體積也有2種方式確定,如下式所示:

(9)

式中:Δz—兩相鄰圓周輪廓的軸向距離,mm。

依據圓錐臺的體積計算公式,圓柱體體積的另一種計算公式如下式所示:

(10)

2.2 周長直徑、面積直徑、體積直徑的確定

圓周輪廓的周長、面積和圓柱體體積確定后,依據其與直徑的關系式,圓周輪廓的周長直徑為:

(11)

式中:dPLi,dPAi—由基于直線和圓弧連接方式的圓周輪廓周長計算得到的周長直徑,mm。

圓周輪廓的面積直徑為:

(12)

式中:dALi,dAAi—由基于直線和圓弧連接方式的圓周輪廓面積計算得到的面積直徑,mm。

被測圓柱體的體積直徑為:

(13)

式中:dLV,dAV—由基于直線和圓弧連接方式的圓柱體體積計算得到的體積直徑,mm;Δz—相鄰兩圓周輪廓的軸向間距,mm;k—兩種不同體積計算方式參數,k=1,2分別表示由式(9,10)計算得到的體積;m—被測圓柱體的圓周輪廓數。

3 采樣點數對評定結果的影響

3.1 對圓周和橢圓輪廓周長、面積的影響

對于圓周理想輪廓和橢圓理想輪廓,筆者均采用等角度間隔Δφ采樣,其理想輪廓和替代輪廓示意圖如圖4所示。

圖4 理想輪廓與替代輪廓示意圖

為了研究采樣點數對圓周輪廓和橢圓輪廓周長、面積計算結果的影響,筆者將采樣點數n設置為1 000,2 000,3 000,4 500,6 000,9 000,18 000這7種情形,在不同采樣點下,按式(8)計算得到圓周和橢圓替代輪廓的周長和面積。圓周的公稱直徑和橢圓長軸公稱軸長依據參考文獻[15]公差表中的尺寸段設置,即,6 mm,10 mm,18 mm,30 mm,50 mm,80 mm,120 mm,180 mm,250 mm,315 mm,400 mm,500 mm,630 mm,800 mm,1 000 mm,1 250 mm,1 600 mm,2 000 mm,2 500 mm和3 150 mm;橢圓的短半軸長與長半軸長之比設置為0.85。

依據上述參數設置,筆者由式(8)計算替代輪廓的周長,并計算其與理想輪廓的周長的差,結果如圖5所示。

圖5 圓周直徑(橢圓長軸長)、采樣點數與周長偏差之間的關系

由式(8)再計算替代輪廓的面積,計算其與理想輪廓的面積的差,結果如圖6所示。

圖6 圓周直徑(橢圓長軸長)、采樣點數與面積偏差之間的關系

由圖(5，6)可以看出:在采樣點數相同的情況下,公稱直徑越大,折線表征的圓周(或橢圓)輪廓的周長(或面積)與理想圓周(或橢圓)輪廓的周長(或面積)間的差就越大;當采用弧線表征橢圓輪廓時,弧線表征的橢圓輪廓的周長(或面積)與理想橢圓輪廓的周長(或面積)間的差的量值非常小。

同樣,由圖3(b)也可以看出:當兩相鄰采樣點間的夾角Δφ較小時,用圓弧弧長ΔPAij代替橢圓弧長ΔPEij,兩者相差非常小;另一方面,由Δφ和ρaij形成的圓弧面積和由Δφ與ρij、ρi(j+1)所形成的橢圓弧面積相比,其面積增加了ΔA+ij,同時也減少了面積ΔA-ij,增加和減少的面積相差較小,因此,圓弧面積與橢圓弧面積相差也比較小。

3.2 對周長直徑、面積直徑和體積直徑的影響

由上述分析可知,當用替代輪廓表征理想輪廓時,表征輪廓與理想輪廓的周長和面積具有一定的偏差。

對于某一公稱直徑的圓周輪廓和橢圓半軸長的橢圓輪廓,當采樣點數達到一定要求,以及替代輪廓與理想輪廓的周長和面積偏差小到其測量精度要求時,這種偏差可以忽略不計,可以用式(11～13)分別計算其周長直徑、面積直徑和體積直徑。

由圖5(a)和圖6(a)所示圓周輪廓的周長和面積偏差,可得到采樣點數、圓周直徑與(折線表征)圓周輪廓周長直徑偏差和面積直徑偏差的關系,如圖7所示。

圖7 圓周直徑、采樣點數與直徑偏差之間的關系——折線表征輪廓

因圖5(b,c)和圖6(b,c)均是基于橢圓的,無法與直徑偏差比較,但從采樣點數、公稱直徑長(或半軸長)對其周長偏差和面積偏差的影響可知,折線表征橢圓輪廓與圓周輪廓所產生的周長和面積偏差基本上是相同的。

而用弧線表征橢圓輪廓時,由于其周長、面積偏差均較小,因此,采用弧線表征的輪廓,采樣點數對其周長直徑和面積直徑的影響不敏感。

根據體積直徑的評定模型可知,采樣點數對體積直徑的影響與對面積直徑的影響基本相同。

4 實驗與結果分析

4.1 實驗

4.1.1 徑向尺寸系統誤差的確定

筆者使用Talyrond 585LT圓柱度儀對標準柱進行了圓周輪廓的提取,提取的圓周輪廓如圖8所示。

圖8 標準柱圓周輪廓及其最小二乘圓

此處采用的Talyrond 585LT圓柱度儀如圖9所示。

圖9 實驗裝置圖

其中,標準柱的精密測量直徑為60.897 2 mm,圓周的采樣點數為18 000,圓周輪廓圖的局部放大倍數為5 000。

在該次實驗檢測中,圓周輪廓的最小二乘圓的x和y的圓心坐標分別為0.000 1 mm和-0.000 03 mm;徑向尺寸的系統誤差sy=55.989 2 mm。

4.1.2 試樣規格及其輪廓提取時的參數設置

筆者使用圓柱度儀對一個試樣的圓柱體要素進行圓周輪廓提取,試樣的規格及其輪廓提取時的參數設置如表1所示。

表1 試樣規格及其輪廓提取時的設置參數

fcut—采樣截止頻率;upr—每周波數,undulations per revolution

依據表1中的輪廓提取參數,筆者對試樣的圓柱體要素進行了輪廓提取,并由式(3)對提取的輪廓要素的徑向尺寸進行消除系統誤差處理。

消除系統誤差,并經局部放大后的提取輪廓如圖10所示。

圖10 試樣的提取輪廓

試樣的第1、15和30圓周的輪廓如圖11所示。

圖11 試樣的3個圓周輪廓

圖(10，11)中的局部放大倍數為2 000,采樣點數n=1 000。

在18 000采樣點的輪廓中,每隔18個點選取1點,即可得到采樣點為1 000的提取輪廓。

4.1.3 計算尺寸評定

依據式(1～13),筆者編制了計算尺寸評定程序。

為了研究采樣點數對計算尺寸的影響,筆者針對采樣點數為1 000,2 000,3 000,4 500,6 000,9 000和18 000的試樣提取輪廓,分別進行了計算尺寸評定。對采樣點數為18 000時提取的圓周輪廓分別按每隔18,9,6,4,3,2選取1點,即可得到各個采樣點的提取輪廓。

該試樣7種采樣點數的提取輪廓的計算尺寸評定結果,如圖12所示。

4.2 結果分析

由圖12可以看出:用折線表征被測試樣的圓周輪廓時,隨著采樣點數的增加,采樣點數對周長直徑、體積直徑評定結果的影響逐漸減小,與其相比,采樣點數對面積直徑評定結果的影響相對較小;用弧線表征被測試樣的圓周輪廓時,采樣點數對周長直徑、面積直徑和體積直徑評定結果的影響均非常小。

圖12 7種采樣點數下圓周輪廓的計算尺寸

由此可見,上述實驗結果與理論分析結果比較一致。

在相同采樣點情況下,為了比較不同計算公式確定的周長直徑和面積直徑,筆者計算出了采樣點數分別為1 000,3 000,6 000,18 000時試樣30個圓周輪廓的周長直徑和面積直徑,如圖13所示。

圖13 試樣的周長直徑和面積直徑

由圖13可以看出:在采樣點數相同的情況下,由折線表征輪廓得到的周長直徑dPL值偏小(若輪廓不濾波,輪廓波動較大的情況下,周長直徑也可能偏大),但由折線表征輪廓得到的面積直徑dAL值和由弧線表征輪廓得到的周長直徑dPA值,和面積直徑dAA值間相差較小,可見采樣點數對折線表征輪廓得到的周長直徑dPL值影響較大。

5 結束語

針對在進行圓柱體計算尺寸評定時采樣點數選取的問題,筆者提出了一種基于折線和弧線表征圓周輪廓的方法,分別建立了其周長和面積評定模型。

筆者對表征輪廓的周長、面積與其相應理論值間的差進行了理論計算,對采樣點數對周長、面積和體積及其直徑評定結果的影響進行了分析;用7種采樣點數對圓柱體試樣進行了圓周輪廓提取,基于所建立的計算尺寸評定模型,對試樣的周長直徑、面積直徑和體積直徑進行了評定;依據理論計算和實驗,較系統地研究了采樣點數對圓柱體計算尺寸的影響。

研究結論如下：

(1)用折線表征圓周輪廓時,采樣點數對圓柱體周長直徑、體積直徑的評定結果影響較大,隨著采樣點數的增加,其對周長直徑評定結果的影響逐漸減小;與其相比,采樣點數對面積直徑評定結果的影響相對較小;

(2)用弧線表征圓周輪廓時,采樣點數對圓柱體計算尺寸評定結果的影響均非常小。

在之后的研究過程中,筆者將對圓柱體其他的幾種線性尺寸進行研究,以期通過建立評定模型,研究采樣點數對其評定結果的影響。