運用數學方法　學好“一次函數”

第6章 一次函數

組稿團隊：南京師范大學第二附屬初級中學

領銜人：丁建生

函數是初中數學學習的重要內容之一，而一次函數是最基本的一種常見函數。同學們要想學懂、學通、學透這一章內容，就應該從數學思想方法的角度去學習概念、性質及應用，恰似我們登山時，只有站在高處，才能看到更美麗的風景。只有理解并運用數學方法，我們才能真正體會到知識間的聯系，實現深度學習。

一、用對應思想來理解函數概念

對應思想是指在兩類事物（集合）之間建立某種聯系（或某種規律）的思維方法。教材中關于函數的定義本身就帶有“對應”二字，強調y對應著x。如y=x2中，每一個x，都有唯一的y與之對應，顯然y是x的函數，反過來x不是y的函數，如y=1時，x有兩個值1或-1。

函數中反映兩個變量“對應”的方式有列表、圖像、表達式等三種，這就決定了函數的三種表示形式，即列表法、圖像法、表達式法。

另外，函數的自變量是有取值范圍的。如對于函數y=20-2x，x的取值范圍是一切實數，但我們如果賦予式子實際背景“等腰三角形周長為20cm，底邊y與腰x之間的表達式為y=20-2x”，這時x的取值范圍就變成了5＜x＜10，對應的y的取值范圍為0＜y＜10。因此，自變量取值范圍應是函數定義的一部分，否則就無法“對應”了。

二、用數形結合思想來掌握函數性質

數形結合是指將數與形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想方法。在平面直角坐標系中，我們可以用有序數對（a，b）來表示函數圖像上的點P（形），根據函數表達式（數），通過列表、描點、連線，就能畫出函數的圖像。在一次函數y=kx+b（k≠0，k、b為常數）中，k的值決定了函數的傾斜方向和增減性；b的值決定了直線與y軸交點的位置；k和b一起確定了直線的位置（經過哪些象限）。反過來，根據直線（形）的增減性和位置，就能知道k、b的符號。

在本章乃至今后各種函數的學習中，同學們要能看圖、識圖、用圖，在圖形中尋找、收集明顯或隱含的信息，將數與形結合起來，正確且迅速地解決相關問題，進一步理解并掌握函數的性質。

三、用待定系數法確定函數表達式

待定系數法本質上就是根據條件建立關于待定系數（字母）的方程（組），進而求出系數（字母）。如一次函數的自變量的取值范圍是-3≤x≤6，相應函數值的取值范圍是-5≤y≤-2，求這個函數表達式。解決此問題首先設一次函數為y=kx+b，根據自變量和函數值的取值范圍以及一次函數的增減性，應分兩種情況列出關于k、b的方程（組）：（1）當x=-3，y=-5；x=6，y=-2時，得-3k+b=-5，6x+b=-2；（2）當x=-3，y=-2；x=6，y=-5時，得-3k+b=-2，6x+b=-5。解兩個方程組即可分別求出k、b，進而求出函數表達式。

四、用建模思想來解決函數應用問題

我們在研究每一個函數時，都是按照“函數定義→函數圖像與性質→函數應用”的思路進行的。在解決一次函數應用問題時，我們要樹立建模意識，經歷“實際問題→數學問題→一次函數問題”的過程。

例如，有A、B、C三種寬帶收費方式（如表1）。問：選取哪種方式能節省上網費用？

在比較并選擇方案時，我們往往需要從數學角度進行分析，而對于涉及變量的問題，常用函數來解決。在收費方式A、B中，上網時間是影響上網費用的變量；在方式C中，上網費用是常量。設上網時間為xh，方案A、B、C的收費金額分別為y1、y2、y3。如果我們選取A的上網方式，當0≤x≤25時，y1=30；當x＞25時，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45。如果我們選取B的上網方式，當0≤x≤50時，y2=50；當x＞50時，y2=50+0.08×60（x-50）=4.8x-190。如果我們選取C的上網方式，在x≥0的條件下，y3=120。此時我們再分情況討論y1、y2、y3的大小關系，得出最省錢的情況。這樣的計算過程會很煩瑣，但是如果我們根據函數表達式在同一平面直角坐標系中畫出y1、y2、y3的圖像，那么答案就很直觀了。同學們可以自己嘗試畫一下。

五、用聯系與轉化來融合“三個一次”

我們在學習本章內容時要用聯系與轉化的思想來審視一次函數與二元一次方程（組）、一元一次方程和一元一次不等式之間的關系。

例如，對于2x+y-1=0，若我們從方程的角度看，它就是二元一次方程，有無數個解；若從函數的角度看，該式子可改寫為“標準”的一次函數形式y=-2x+1，直線上有無數個點；若從兩者的聯系角度看，它們本質上是一樣的，方程的任何一個解就是圖像上對應的點的坐標，而圖像上任意一點的坐標都滿足方程的解。因此，二元一次方程組的解就是對應的兩個一次函數的交點坐標，這就是為什么求兩個函數交點坐標就轉化為求兩個函數表達式組成的方程組的解。再如，已知一次函數y=-2x+1，當x為何值時，y＞0（y=0或y＜0）？我們不難列出不等式-2x+1＞0（-2x+1=0或-2x+1＜0），此時一次函數的問題就變成了解不等式問題。反過來，從函數角度看，解不等式-2x+1＞0（-2x+1=0或-2x+1＜0）就相當于求一次函數y=-2x+1的函數值大于0（等于0或者小于0）時自變量x的取值范圍。在掌握了一次函數與方程和不等式之間的聯系與轉化后，我們再試一試這一道題：若關于x的一次函數y1=（a2+1）x+m與y2=a2x-2n交于點（1，3），求不等式（a2+1）x+m＜a2x-2n的解集。

在數學學習過程中，我們要不斷領悟、提煉、總結知識背后蘊含的方法，這樣才能看到更美麗的數學“風景”。

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）