生活中的一次函數(shù)應(yīng)用

古作軍

在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到很多關(guān)于一次函數(shù)的問題情境。解決這類問題時，我們首先要把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，分析其中的數(shù)量關(guān)系，然后建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，最后用一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問題。

一、利潤問題

例1 新冠疫情暴發(fā)以來，口罩成為需求最為迫切的防護(hù)物資。某商場欲購進(jìn)A、B兩種型號的口罩共50箱，兩種口罩每箱的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示。設(shè)購進(jìn)A種型號口罩x箱（x為正整數(shù)），且所購進(jìn)的兩種型號的口罩能全部賣出，獲得的總利潤為w元。

（1）設(shè)商場購進(jìn)B型號口罩y箱，直接寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求總利潤w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如果購進(jìn)兩種口罩的總費(fèi)用不超過2100元，那么該商場如何進(jìn)貨才能獲利最多？并求出最大利潤。

【解析】（1）略。（2）根據(jù)總利潤=單個利潤×數(shù)量，我們就可以表示出w與x之間的表達(dá)式：w=（61-51）x+（43-36）（50-x）=3x+350。（3）由題意，得51x+36（50-x）≤2100，解得 x≤20。我們再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可求出當(dāng)x=20時，w最大值=3×20+350=410（元），此時購進(jìn)B種型號的口罩50-20=30（箱）。

二、行程問題

例2 疫情期間，某志愿者組織籌集兩車物資送往疫情嚴(yán)重地區(qū)。圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩車所走的路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的圖像。請根據(jù)圖像所提供的信息，解決下列問題：

（1）由于汽車發(fā)生故障，甲車在途中停留了____________小時；

（2）甲車排除故障后，立即提速趕往目的地。請問甲車在排除故障時，距出發(fā)點(diǎn)的路程是多少千米？

（3）為了保證及時聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩車在第一次相遇時約定，此后兩車之間的路程不超過45千米。請通過計(jì)算說明，圖1所表示的走法是否符合約定。

【解析】（1）觀察圖像，我們能發(fā)現(xiàn)AB段即為甲車停留時間，為6-4=2（小時）。

（2）甲車在排除故障前，距離出發(fā)點(diǎn)的路程即為B點(diǎn)縱坐標(biāo)。OD 的表達(dá)式是y乙=60x，由此可求得E（7，420）。因?yàn)镃（[385]，480），所以BC段的函數(shù)表達(dá)式是y=100x-280，則當(dāng)x=6時，y=320。

（3）結(jié)合函數(shù)圖像可知，甲、乙兩車第一次相遇后在點(diǎn)B或點(diǎn)C處相距最遠(yuǎn)。

在點(diǎn)B處，y乙-y甲=60×6-320=40（千米）＜45（千米）；在點(diǎn)C處，y甲-y乙=480-60×[385]=24（千米）＜45（千米）。所以，走法符合約定。

三、方案選擇問題

例3 某班級45名同學(xué)自發(fā)籌集到1700元資金，用于初中畢業(yè)時各項(xiàng)活動的經(jīng)費(fèi)，計(jì)劃用資金給每名同學(xué)購買一件文化衫或一本制作精美的相冊作為紀(jì)念品。已知每件文化衫28元，每本相冊20元。設(shè)購買的文化衫件數(shù)為x（x為非負(fù)整數(shù)）。

（1）根據(jù)題意，填寫下表：

（2）設(shè)購買文化衫和相冊所需費(fèi)用共w元，求w與購買的文化衫件數(shù)x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）通過商議，同學(xué)們決定拿出不少于540元但不超過570元的資金用于請專業(yè)人士拍照，其余則用于購買文化衫和相冊。購買文化衫和相冊有哪幾種方案？為使拍照的資金更充足，應(yīng)選擇哪種方案？并說明理由。

【解析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算，故答案為：①280，②700，③840，④300。（2）當(dāng)購買文化衫x件時，購買相冊（45-x）本，則總費(fèi)用可表示為w=28x+20（45-x）=8x+900。（3）根據(jù)照相資金不少于540元但不超過570元的要求，列出不等式組：

[8x+900≥1700-570，8x+900≤1700-540。]

解得28[34]≤x≤32[12]。根據(jù)實(shí)際情況，x得為整數(shù)，∴x=29、30、31、32，從而確定購買方案，再利用函數(shù)增減性確定最終方案，當(dāng)x=29時，w最小=1132。

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)）