探究圖形語言在高中數學函數教學中的作用

◎ 海南省海口市瓊山華僑中學 李 武

數學教學的主要目的在于培養學生的數學思維，引導學生用數學思維看世界。同時從公平公正的人才選拔角度來說，數學教學目的也重在培養學生解題能力，所以提高數學的解題能力就成為了教學重要環節。而數學的解題過程其實就是數學語言的轉化過程，所以培養學生圖形語言具有現實意義。

數學語言不是簡單地描述數學知識，而是數學思維的一種載體和教學過程的交流工具。在教學活動中，很多抽象的數學概念、性質需要借助恰當的數學語言來呈現，課堂教學也需要借助數學語言來交流互動。因此，數學教學其實就是在教學過程中培養學生將數學語言之間的演變、轉化和應用的思維形成過程。

數學圖形語言可以將數學研究對象、性質、思想進行直觀形象的描述。圖形語言包括幾何學中的各種平面和立體圖形模型；包括概率學中的頻率分布直方圖、分布列表等，以及初等函數、三角函數這樣函數的圖像。可以說這些內容涉及的圖形語言的本質就是數學語言的轉化和應用，即在理解對象概念、性質的基礎上，按照特定的法則對數學語言進行加工，最后以形象直觀的圖式呈現。

一、圖形語言的教學價值

培養學生通過圖形思考數學問題符合高中數學直觀想象的核心素養。數學圖形可以將數學研究對象、性質、思想進行直觀形象的描述，有利于學生克服對數學的恐懼、加深對知識的記憶，提高解題能力等，所以圖形語言具有重要的現實意義。

1.將抽象概念形象化激發學生學習興趣。筆者通過教學實踐發現，高中生之所以對數學產生恐懼和排斥的心理，主要原因是因為數學概念性質過于抽象。而中學生的思維還只處于想象思維向抽象思維過渡階段，對于抽象概念很難直接通過自然語言去理解，而如果能借助圖形語言將抽象概念形象化可以在很大程度上讓學生很容易就從本質上掌握數學抽象概念，降低學生對數學的恐懼和排斥，激發學生學習數學的興趣。

如圖1，在“集合”這一小節中，我們可以利用韋恩圖或者數軸法的圖式語言來教學，運用韋恩圖很顯然使得交集、并集的抽象概念直觀化，有利于幫助學生對概念進行理解和掌握。通過圖式語言（圖1）學生可以形象地發現補集、交集的準確概念，不僅降低了難度，對學生記憶也有了形象直觀的幫助，在將來的解題過程中也能避免對概念的模糊記憶而做錯題。

圖1

在講“函數的單調性、奇偶性”等性質時，教師可以引導學生通過觀察直觀的圖像入手，由淺入深，由具體到抽象層層遞進展開。再引導學生通過圖像語言得到文字語言或符號語言，這在一定程度上大大地降低了學習的難度，有利于幫助學生理解和掌握。如圖2，學生很容易就可以從圖像中得到單調函數定義的自然語言：在x的某一范圍內函數值y隨著x的增大而增大，或者在x的某一范圍內函數值y隨著x的減小而減小。

圖2

學生通過圖形觀察歸納共同性質從而得出數學概念，符合高中數學核心素養培養要求，也符合學生思維的發展規律。這種通過圖像歸納概念的方法不僅讓學生掌握了概念，而且也讓學生簡單明了地在視覺上感受了數學直觀的美感。

2.促進形象記憶。圖形語言是種形象語言，它不但可以像文字語言那樣具有記錄的作用，而且相對于文字語言而言圖形語言更直觀和形象，有利于培養學生形成直觀記憶，當然也更符合新課程改革中的數學思想，有利于學生探索解題思路，符合課程改革所提倡的直觀想象核心素養的培養。通過圖形來記憶數學的相關知識不僅在一定程度上降低了數學本身的抽象性，還在很大程度上提高學生記憶數學重要知識的效率。

在講解“指數函數性質”這節課時，通過圖3學生會很容易發現指數函數的共同特征，而老師也能輕松引導學生通過觀察圖像歸納指數函數的性質。從圖3中學生能很快得知當a＞0，函數在定義域上單調遞增，函數恒過（0，1）點，以及函數非奇非偶。當a＜0，函數在定義域上單調遞減，函數恒過（0，1）點，以及函數非奇非偶。這個圖直觀形象，對于學生而言更便于觀察與聯想，讓學生很輕松就能記住指數函數的基本性，同時因為圖像形象直觀的特點促進學生深刻記憶，這是其他數學語言所沒有的優越性。

圖3

3.提高解題能力。數學解題本質就是邏輯推理，就是要在題目的抽象文字中篩選出研究對象，并尋找對象間的邏輯關系。對學生來講尋找題目的邏輯關系并不是很容易，因為大部分學生很難直接通過題目的語言去理解題目意思，但是如果能培養學生根據題目特點用圖形語言重新表達題目的意思，那么往往就能降低難度，獲取解題的思路。所以，從語言轉換的視角研究提高學生的數學解題能力，不僅有利于核心素養的培養，還能讓他們學會用數學的眼光觀察世界。

例1：解決零點問題。

（1）函數y=log2|x|-2x零點有多少個？

從題目中學生要能從求零點問題的幾種等價關系出發分析題干信息：①題目含義相當于求函數y=log2|x|-2x跟x軸的交點到底有多少個；②題目含義相當于求y=log2|x|-2x=0根的個數；③題目含義相當于求方程組的解，即y=log2|x|與y=2x交點個數。

對于這三種情況來說，第①種情況顯然不是初等函數的簡單變化，所以如果不借助多媒體軟件很難直接作圖；第②種情況是超越方程，求解這類方程已經超出了中學生的能力水平；第③種情況中顯然y=log2|x|和y=2x都是可以用圖像（圖4）表示的，所以問題就轉化成為了用圖像語言來解決零點問題。

圖4

4.培養動態思維能力。數學其他語言向圖形語言的轉變本質上就是學生思維從抽象到直觀，從靜態到動態的轉變。特別是在求參量問題上，如果能讓學生根據題意構造圖形，則在很大程度上就能降低求參量問題這種題型的解題難度，使思維變成可操作的數學演算，使思路從復雜轉化為簡潔，讓思維變得快捷，思維由靜態向動態化轉變，思維活動清晰明了。

圖5

二、加強圖形語言教學的培養途徑

上面我們分析了圖形語言在教學中具有實用的現實意義，所以如何培養學生作好圖就成為了我們在教學中要解決的問題。筆者在多年的教學中發現，很多學生作圖隨意，特別是一些涉及到平移和對稱變化后的題目學生在作圖時往往過于隨意而導致最后出現錯誤，當然造成這種錯誤一定程度上是由于學生粗心，但同時也反映出學生對數學基本知識概念掌握不扎實，所以我們在引導學生作圖時既要要求圖像的準確完整，也要注重學生對數學定義定理的理解和掌握。

1.重視學生作圖的準確性和完整性。圖形語言雖然不能作為解題的步驟，但它為學生尋找解題方法和技巧提供了方向。可是在教學中我們經常發現學生因為作圖時候過于隨意最后出現了錯誤，所以在日常的作圖訓練中一定要重視學生作圖的準確性和完整性。

例3：如圖6，已知f(x)=|2x-2|-b有兩個零點，則實數b的取值范圍是多少？

圖6

分析：這個題目是零點問題，筆者在教學中發現很多學生雖然能把大概的圖形畫出來，但由于畫得不準確，部分學生在畫圖過程中忽略了圖形不能穿過y=-2，所以在x＜1關于x對稱以后在x＜1部分的圖形高度就超過了y=2的圖形高度，得到的結果是b∈(0,+∞)。通過這個題目可以看出學生在畫圖時容易因為自己的不嚴謹使得畫出的圖形不夠準確導致解題錯誤，所以在加強圖形語言教學的培養中要重視學生作圖的準確性和完整性。

2.培養學生發現問題中隱藏的幾何意義。數學學習注重的是邏輯思維的轉換，而圖形語言就是將抽象思維向形象思維轉變的載體，培養學生這種思維轉變可以通過題目進行引導和解讀，比如有些題目表面上是代數問題，可是其中卻隱藏了豐富的幾何意義，而引導學生挖掘其中的幾何意義可以在一定程度上簡化解題的過程，豐富解題技巧。

常規解法1：在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCCOSC，所以3=AC2+4-4AC·COSC，即AC2-4AC·COSC+1=0。

由題，關于AC的一元二次方程應該有解，令△ABC=(4COSC)2-4≥0得，或舍去，因為AB＜AC），所以，即角C的取值范圍是

幾何意義解法2：如圖7，點A處在以點B為圓心以線段AB為半徑的圓上，且不與CB處在同一條直線上。顯然當AC與AB垂直時可得最大角∠C，此時所以

圖7

3.提高學生的構圖能力。在某些數學題目中，如果條件和結論之間存在著某些特定的幾何意義，那么我們可以引導學生將問題轉化為幾何問題并構造出恰當的幾何圖形，從而使得問題簡單化、形象化，做到化難為易。

例5：如圖8，計算19981998×19971997-19981997×19971998這個代數運算其實就是兩個矩形面積的差，即SABHG-SEDGF。

圖8

從這個簡單例子中我們發現培養學生構圖能力對有效促進學生掌握圖形語言，增強數學思維具有重要的意義。

4.分層培養學生作圖。如何培養學生的作圖能力已經成為我們教學中要解決的重要問題。在教學上我們要因材施教，根據不同的學生設置不同的問題，從而提高課堂質量。

課堂教學中培養學生作圖能力可以是老師示范引導，亦可以是學生自己動手。不論是采用什么方式，目的都是讓學生在課堂上掌握準確的畫圖方式，哪怕是草圖也不能出現原則性錯誤或者概念錯誤，比如圖像的對稱平移要能準確刻畫。雖然一節課的內容和教學要求都是統一的，但作為教師應該根據學生的能力差異和認知水平差異，對不同層次的學生進行有針對性的教學。教師在培養學生作圖能力時，需充分考慮學生的知識掌握水平來將問題按難、適中和容易三個層次進行設計。先是站在激發學生興趣的角度設計問題，引導學生層層深入，幫助學生理清基本概念性質，再適時、適量地設計出若干問題，讓不同層次的學生解答。其中，針對性強、鞏固知識類的常見的圖形提問，以基礎差的學生為主，讓全體學生回憶所學過的知識，提醒學生加強理解和記憶重點知識；比較復雜的不常見的圖形提問，以優生回答為主，一方面可以拓展優生的能力，另一方面讓優生帶動其他學生拓寬思路。也可以引導學生根據內容相互提問，會讓課堂更具趣味性與拓展性。只有在課堂中分層設置問題，靈活地運用提問技能，才有助于把課堂真正構建為師生互動的課堂，調動學生的積極性從而使其更加牢固地掌握數學基本知識，為提高數學作圖能力奠定堅實基礎。

總之，圖形語言最大的特點就是直觀性強，它可以讓抽象思維具體化、繁瑣問題簡潔化，幫助學生分析題目、記憶知識點。此外，雖然圖式語言不能作為解題或證明的依據，但它很多時候能給我們啟發，而且我們大多數時候都要結合圖像、圖表等來分析題目。正如我國著名數學家華羅庚所說：“數形結合百般好，隔裂分開萬事非。”