主題式教學和智慧教學在離散數學中的應用

梁錦浩

（南京林業大學理學院，江蘇 南京 210037）

離散數學是數學類專業和計算機類專業的一門核心基礎課，在教學中備受重視。該課程在相關專業培養方案中起承上啟下的作用：一方面，該課程需要高等數學和線性代數等課程作為基礎，有很強的數學邏輯性；另一方面，該課程有著廣泛的應用背景，是計算機類課程的理論基礎[1]。正因如此，離散數學的課程教學，既要注重數學上的嚴格邏輯推導，也要關注在實際應用上的舉例和實踐。但是，我們在實際教學中發現諸多問題：現有教材、課件和教案注重數學推導，但忽略實際應用，與實際問題脫節；該課程理論性強、內容抽象且概念較多，傳統教學手段難以形象地表達，導致課堂教學較為枯燥乏味；學生上課積極性不高，有畏難情緒，對知識的理解不夠深刻，無法聯系實際。因此，我們亟需改變教學模式，將數學理論性與應用實踐性相結合。而主題式教學和線上線下智慧教學恰好可以解決實際教學中的這些問題。

一、主題式教學的引入

離散數學的課程內容高度抽象，強調理論證明和邏輯推導；另一方面，課程內容又與實際問題和應用緊密關聯。課程特點決定了在實際教學過程中，既要注重數學邏輯推導，也要關注實際應用[2-4]。為此，我們將主題式教學方法引入離散數學的教學過程，將艱深的理論知識形象化，也將課本知識和實際問題有機結合在一起。根據課程內容的差異，我們將課程的四個部分引入相應的章節主題，見圖1。其中前兩章內容偏理論重推導，但與很多有趣的數學歷史和數學故事關聯，因此引入歷史主題和故事主題；而后兩章內容側重應用，故引入相關的應用性主題。具體陳述如下：

圖1 課程章節的主題設計

1.第一章“集合論基礎”引入“古近代數學史主題”

集合論章節注重邏輯推導，內容較為枯燥，應用性不強，但該部分的知識線索蘊涵著近現代數學史的發展：微積分的創立、微積分發明權之爭、康托爾建立集合論、三次數學危機等等。主題化教學模式將相關的數學故事與集合知識有機結合在一起，增強了知識的趣味性，寓教于樂，激發學生的學習興趣，提升學生的學習自主性和積極性，同時加深學生對知識的印象，使得學生對知識的理解更加深刻。

2.第二章“代數系統”引入“一元高次方程求解故事主題”

一元高次方程求解問題是近代數學史上的一顆燦爛的明星。從古代希臘和古代中國求解出一元二次方程，到歐洲文藝復興時期求解一元三次方程和一元四次方程的兩次公開比賽，再到十九世紀初意大利學者魯菲尼和挪威天才阿貝爾證明一元五次方程無求根公式，最終由法國悲情數學家伽羅瓦建立群論完美解決一元高次方程求解問題。在講授式的教學過程中穿插數學故事，將學生帶入引人入勝的數學歷史中，讓學生在學習群論知識的同時，了解知識產生的背景，激發學生探索真理的熱情，鼓勵學生將來投身科學研究事業。

3.第三章“圖論”引入“數據結構和優化應用主題”

圖論與數據結構、優化應用等問題密切關聯，是聯系實際應用最多的章節，因而適宜采用問題為導向的教學方法。例如，通過哥尼斯堡七橋問題引出圖論的起源，通過計算機存儲圖表的問題引出圖的矩陣表示，通過數據結構的遍歷問題引出二叉樹的概念，通過中國郵遞員問題引出歐拉圖和漢密爾頓圖，通過對地圖著色的實際問題引入四色定理等。以問題為導向的教學方式，從實際問題出發，引導學生利用圖論的知識進行建模，培養學生的探索精神，鍛煉解決實際問題的能力。

4.第四章“數理邏輯”引入“計算機算法設計主題”

數理邏輯是算法程序設計的基礎，將數理邏輯知識與算法程序設計結合在一起，可以使枯燥的概念與編程聯系起來，讓知識“活”起來。探索并實踐“情節教學法”，采用“五步教學”：提出問題，引出概念，展開知識點，算法設計，程序實現。通過引入算法設計主題，讓學生的學習更有側重點和針對性，培養學生的計算機程序思維，為學習后續的計算機編程類課程打好基礎。

主題教學的形式，摒棄了原有教學模式抽象、枯燥的知識灌輸形式，增強了知識本身的故事性、趣味性和實用性，建立起學生的求知欲和探索欲，充分調動起學生的學習積極性、主動性和參與性，提升課堂內外的學習氛圍。

二、線上線下智慧教學輔助主題式教學

隨著信息化課堂的普及，智慧教學在現代課堂中發揮越來越重要的作用[5-7]。為了更好地實施主題式教學，我們采用清華大學在線教育辦公室研發的“雨課堂”線上線下智慧教學系統，實現多種智慧教學手段和課程的全數據記錄。同時，我們引入“中國大學MOOC”國家在線精品課程，作為線上的選講內容，進一步提升課程內容的廣度。具體實施手段如下：

1.線下多媒體教學手段，更好地將課程融入主題式教學

離散數學中概念眾多且高度抽象，傳統教學方式無法直觀地表達抽象概念，致使學生對概念理解不夠深刻。利用多媒體線下教學手段，讓學生看到概念更直觀的展示，加深學生的印象和理解。同時，通過動畫、課件、視頻等手段，可以讓課堂教學內容更加生動，教學信息量更大，將學生帶入形象的課程主題中，讓學生感受主題教學的樂趣，從而激發學生的學習積極性。

2.線下翻轉課堂教學手段，實現以學生為主體的主題式教學

在應用型章節中，巧設問題導向的主題教學模式，引入相關主題后，讓學生分組討論并走上講臺介紹相關章節內容，實現翻轉課堂。這種形式可以增加學生的課堂參與度，鍛煉學生的創新思維，并強化了學生的團隊意識和合作精神。

3.利用雨課堂記錄課內外全數據，實現注重過程的成績評價方式

利用雨課堂智慧教學工具，實現實施課前線上預習、課堂快捷測驗、課內課外師生互動等功能，同時收集學生課堂簽到、課堂習題和課堂測驗等數據，以此作為過程性評價的依據；實時掌握學生的學習情況，及時調整和完善教學計劃。同時，信息化的數據收集，可以極大地減少教學過程中的重復性工作量，提高教學效率。

4.建立線上習題庫和線上習題課庫，提高學生的學習效率和教師的教學效率

離散數學作為數學和計算機科學的一門核心基礎課，有非常多的基本概念和邏輯推導，因此適量的習題是必不可少的。利用雨課堂線上作業功能，建立線上習題庫，將習題推送到學生的微信程序，作為課后作業，并通過后臺數據了解學生的作業情況；同時，根據作業情況，針對性地錄制習題講解課，作為線上資源推送，讓學生根據自身情況觀看相應的錯題解答。線上習題的方式，適應當今社會碎片化時間的學習方式，提高學生的學習效率和教師的教學效率。

5.利用中國大學MOOC國家在線精品課程，增強學生自學意識和能力

傳統的離散數學課程涉及的應用和案例非常多，但由于課時限制，線下教學難以覆蓋課程范圍的全部內容。因此，我們利用中國大學MOOC在線國家級精品課程《離散數學》（劉鐸主講）的部分章節，作為本課程的線上選講內容。線上課程避免占用線下課時，讓課堂教學節奏更加緊湊；同時也擴大學生的知識面，并增強學生的自學能力。

三、主題式教學引入課程思政元素，全方位培養學生素質

專業課與思政元素的恰當融合，不僅可以調動學生學習的積極性，豐富專業課的教學內容，讓課程內容變得更加有深度，而且還能夠讓學生將思政內容與實際生活聯系起來，真正達到“育人”的目的，這也是新時代背景下穩步推進思想政治教育改革以形成大思政育人體系的一個重要方向[8-10]。離散數學的專業課知識與傳統思政教學距離較遠，因此在實施課程思政過程中更需要巧妙的設計，將思想政治教育內容恰當地融入離散數學教學當中，使專業知識內容與思政教育內容相得益彰，才可以實現專業課中“潤物細無聲”的思政教育。

采用主題式教學方法，我們可以很好地將思政元素潛移默化地融入專業課程的教學中，見圖2。在“古近代數學史主題”中，通過螺旋式的數學發展進程，凸顯科學研究是曲折前行并在實踐中不斷地修正的，激勵學生樹立不折不撓、堅持不懈的科學精神；在“一元高次方程求解故事主題中，通過講述塔塔利亞、阿貝爾、伽洛瓦等數學家的事跡，展示數學家們追求真理、為真理奉獻的精神，啟發學生要堅持真理，勇于創新；在“數據結構和優化算法應用主題”中，通過問題引導式的教學手段，展示離散數學在應用實踐中的強大力量，培養學生學以致用的能力；在“計算機算法設計主題”中，通過介紹我國近年在大數據計算和人工智能等方面的重大進展，展現大國重器背后的工匠精神，激勵學生不忘初心牢記使命，為我國社會主義現代化建設貢獻力量。

圖2 主題式教學引入的思政元素

四、注重過程性評價的成績評價方式

離散數學課程成績由期末考試成績和平時成績兩部分構成，見表1。期末考試成績作為學生掌握課程知識的標尺，是必不可少的；而平時成績則需要能夠反映學生平時的學習態度、知識積累和掌握情況、自主學習能力等。如果僅憑借書面作業來評價平時學習環節是遠遠不夠的，此時就需要結合課程具體情況加強過程性考核。而雨課堂智慧教學系統的全數據記錄，就為過程性考核提供了主要依據。譬如，課堂簽到和課堂習題的數據作為課堂表現的評價依據，課后作業的完成數據作為平時作業的評價依據。另一方面，離散數學是一門既注重基礎概念和數學邏輯推導，又注重應用實踐的專業基礎課，理論成績與應用實踐成績同樣重要。譬如，將翻轉課堂的表現納入總評成績的范圍，布置課后算法設計實踐作業作為課外實踐的考核依據。通過多元化的考核方式，既鞏固了學生對基礎知識的理解，也培養學生的創新思維和實際應用能力，同時還強化了學生的團隊意識和合作精神。

表1 課程考核成績構成

結語

本文打破傳統的離散數學教學模式，引入主題式教學模式和線上線下智慧教學模式，充分體現以學生為發展中心的教學理念，是信息時代教育的大勢所趨。這兩種教學模式的引入改變以往學生的被動的學習狀態，激發了學生的學習興趣、主動性、積極性和課堂參與度；同時保證了教學過程的信息化、數據化，提高了教學效率。因此，這兩種教學模式在離散數學的教學實踐中值得推薦。