巖石抗剪強度參數的圍壓效應與定量表征

李 斌，李佳倫，王 鵬，何治良，胡康強，胡蕓菡

(1.西南科技大學環境與資源學院，四川 綿陽 621010；2.四川省地質礦產勘查開發局川西北地質隊，四川 綿陽 621010)

0 引 言

巖石抗剪強度參數(內聚力c和內摩擦角φ)是巖石工程穩定性分析和設計中的輸入信息，該參數通常利用巖石常規三軸壓縮強度試驗[1]和巖石抗剪強度試驗[2]進行測定，這兩種試驗方法測定巖石抗剪強度參數的理論基礎均是Mohr-Coulomb強度準則。大量試驗結果表明[3-9]，巖石三軸強度和抗剪強度都具有明顯的圍壓效應：三軸強度-圍壓關系曲線和抗剪強度-正應力關系曲線均呈上凸的非線性趨勢，圍壓或側限壓力較低時該非線性較弱，可以近似為線性，而隨著圍壓或側限壓力的增加，這種非線性關系明顯增強。由于Mohr-Coulomb強度準則是一個線性準則，使得上述試驗方法僅在低圍壓下可以確定唯一的c值和φ值，而在高圍壓下c值和φ值則會隨著圍壓σ3值的增加發生改變，說明巖石抗剪強度參數在圍壓的影響下存在一定的不確定性，即巖石抗剪強度參數存在圍壓效應。在深部巖石工程中，巖石一般處于高地應力環境，且地應力通常存在范圍分布，且具有分異性[10-11]。因此，從考慮圍壓效應的角度研究巖石抗剪強度參數的不確定性對巖石工程可靠度分析具有重要的科學理論意義和實踐指導價值。

近年來，巖石抗剪強度參數的不確定性逐漸得到重視，并已取得了較為豐碩的研究成果。巖石抗剪強度參數不確定性研究的首要工作是建立參數樣本數據庫，目前巖石抗剪強度參數的取值方法有以下幾種。李夕兵等[12]和宮鳳強等[13]采用排列組合理論選取不同組數的三軸試驗數據進行擬合，建立小樣本巖石抗剪強度參數信息庫；曹文貴等[14]基于非對稱三角模糊數確定巖石抗剪強度參數的最可能取值及上限和下限。這兩種取值方法存在一個缺點，即沒有考慮巖石抗剪強度包絡線通常都具有非線性的性質。HOEK等[15-16]、SOFIANOS等[17-18]和ZHANG等[19]根據Hoek-Brown準則推導出等效的抗剪強度參數計算公式；張永杰等[20]和肖欣等[21]采用區間理論根據Hoek-Brown準則計算抗剪強度參數的上限和下限；YANG等[22]、CHOO等[23]和ONG等[24]根據冪函數形式的抗剪強度公式計算出某一側向壓力下的切向峰值凝聚力和切線峰值摩擦角。這些方法考慮了包絡線的非線性，而計算參數的可靠性由強度準則的精度決定，因此所選準則的適用性需要驗證，如Hoek-Brown準則已證明不適用于表征高應力下巖石三軸強度的非線性特征[25]。

本文從考慮圍壓效應的角度研究巖石抗剪強度參數的不確定性問題，分析圍壓對內聚力和內摩擦角的影響，探討巖石抗剪強度參數的圍壓效應特征及其表征方法，并以文獻[3]中山口大理石為例，構建基于非線性準則優選的巖石抗剪強度參數表征模型，驗證提出表征方法的合理性及該方法獲取巖石抗剪強度參數的可靠性。

1 Mohr-Coulomb強度準則

Mohr-Coulomb強度準則是室內巖石力學試驗測定抗剪強度參數的理論基礎，該準則認為巖石抗剪強度τ等于巖石內聚力c與剪切面上法向應力σn產生的摩擦力之和，具體表達式見式(1)。

|τ|=c+σntanφ

(1)

該準則也可用主應力的形式表達，見式(2)。

(2)

式中，σ1和σ3分別為巖石破壞時對應的最大主應力和最小主應力。

通過室內巖石常規三軸壓縮強度試驗測定抗剪強度參數時，理想狀態下的抗剪強度包絡線如圖1所示，以三個莫爾圓為例，圖中括號外的數據為莫爾圓編號，括號內的數據分別為對應莫爾圓上的最小主應力和最大主應力。根據試驗獲取的多組(σ3，σ1)數據，畫出系列莫爾圓，并做出斜直線包絡線，進而得到內聚力c和內摩擦角φ，也可以將多組(σ3，σ1)數據代入式(2)中，通過線性擬合計算確定內聚力c和內摩擦角φ。

2 巖石抗剪強度參數的圍壓效應特征

由Mohr-Coulomb強度準則可知，僅選擇兩組莫爾圓就可以確定對應的一組(c，φ)值。如按圍壓由低到高的順序，依次選擇相鄰的兩組莫爾圓，則可以獲取多組(c，φ)值，進而可以分析圍壓對巖石抗剪強度參數的影響。基于客觀公正的原則，以文獻[3]中的山口大理石為例進行分析說明，具體的三軸壓縮試驗數據見表1。

圖1 理想狀態下的抗剪強度包絡線Fig.1 Shear strength envelope in ideal state

圖2 考慮圍壓效應的抗剪強度包絡線Fig.2 Shear strength envelope considering the confining pressure effect

表1 山口大理石三軸壓縮試驗數據Table 1 Triaxial compression test data of Yamaguchi marble

由表1可知，僅需要選擇相鄰圍壓下的兩組三軸試驗數據就可以確定對應的一組(c，φ)值，因此不需采用最小二乘法進行線性回歸處理。具體方式為將相鄰圍壓下的兩組三軸試驗數據(σ3，σ1)代入式(2)中，建立兩個一元二次方程，直接計算得到該圍壓區間的一組(c，φ)值。 表1中共11組(σ3，σ1)數據，按上述方式可得到10組(c，φ)值，具體結果見表2。

由表2可知，該巖石的抗剪強度參數在不同的圍壓區間存在較大差異，內聚力和內摩擦角的變異系數分別為0.54和0.55。為進一步分析巖石抗剪強度參數的圍壓效應特征，以(σ3L+σ3R)/2的簡單處理方式得到各區間的中點圍壓值，通過計算得到內聚力和內摩擦角與區間中點圍壓的相關系數分別為0.95和-0.89。說明內聚力與圍壓呈正相關，而內摩擦角與圍壓則呈負相關，表2中數據也體現出內聚力和內摩擦角隨圍壓的增加整體上分別呈逐漸增大和減小的趨勢。

3 考慮圍壓效應的巖石抗剪強度參數表征方法

針對巖石抗剪強度參數的圍壓效應，本文提出以瞬態內聚力cinst和瞬態內摩擦角φinst來表示在某一應力狀態(σ1，σ3)下的巖石抗剪強度參數。在該應力狀態下，巖石抗剪強度包絡線和莫爾圓的幾何關系如圖3所示。σ1和σ3分別為巖石常規三軸壓縮強度試驗中的最大主應力和最小主應力；τ和σn分別為巖石抗剪強度和有效正應力；φinst為該應力狀態下的瞬態內摩擦角。

表2 山口大理石在不同圍壓區間時的抗剪強度參數Table 2 Shear strength parameters of Yamaguchi marble in different confining pressure sections

圖3 抗剪強度包絡線幾何圖Fig.3 Geometry of shear strength envelope

圖3中A點為該應力狀態下包絡線與莫爾圓的切點，由直角三角形AHM可知，該點處的正應力和剪應力滿足式(3)。

(3)

式(3)對σ3展開求導，可得到σn見式(4)。

(4)

將式(4)代入式(3)，可得到τ見式(5)。

(5)

因此，A點處的切線梯度可表示為式(6)。

(6)

將式(4)～式(6)代入式(1)即可得到該應力狀態下瞬態內聚力cinst的定量表征公式。同時，對式(6)進行反正切函數計算即可得到瞬態內摩擦角φinst的定量表征公式。

由以上推導分析可知，cinst和φinst的定量表征公式由?σ1/?σ3決定，而?σ1/?σ3可通過巖石強度準則公式f(σ1,σ3)對σ3展開求導得到。因此，巖石強度準則的精度將直接影響到巖石抗剪強度參數表征公式的準確性。

因此，以表1中山口大理石的三軸壓縮試驗數據為例，開展多種巖石強度準則評估巖石三軸強度精度的對比分析。

4 基于精度評價的巖石強度準則優選

在構造巖石強度準則參數估計的目標函數時，設定自變量(圍壓σ3)無測量誤差，而因變量(三軸強度σ1)存在測量誤差。則巖石強度準則用隱函數可表示為式(7)。

(7)

(8)

針對巖石三軸強度的圍壓效應特征，目前國內外學者已提出眾多不同類型的非線性巖石強度準則。本文挑選出兩種經典巖石強度準則(Hoek-Brown準則[26]和冪函數準則[27])、兩種近期提出的準則(指數型準則[28]和巖石非線性破壞強度準則[29])和兩種常見的準則(I-HB準則[25]和M-C準則修正一般表達式[30])進行準則優選分析。這六種準則按照式(7)改寫的隱式表達式及通過最小二乘法確定的各準則針對山口大理石的最優參數見表3。由表3可知，含四個參數的準則A4、準則A5和準則A6的擬合優度最高，且基本相等，其次為含三個參數的準則A3和準則A2，含兩個參數的準則A1的擬合優度最低。

表3 巖石強度準則的隱式表達式及其最優準則參數Table 3 Implicit forms of the rock strength criteria and there optimal parameters

續表3

為進一步定量比較各準則評估山口大理石三軸強度的精度，下面選取平均相對誤差MRE作為評價指標來開展巖石強度準則的優選。根據平均相對誤差MRE的定義，該指標可表示為式(9)。

(9)

式中：REi為準則在第i組三軸試驗圍壓時評估的巖石三軸強度的相對誤差；N為巖石三軸試驗的組數，根據表1中山口大理石三軸試驗的組數，N=11。

相對誤差RE表征的是針對某點的評估值與實際值的偏差，該值越小，準則在某一圍壓時評估的巖石三軸強度與試驗強度就越接近。表4中加*標記的數據為在某一圍壓時各相對誤差RE中的最小值，在共計11組圍壓條件下，最多組數(六組)的最小相對誤差RE歸屬準則A6。

平均相對誤差MRE表征的是針對點序列的評估值與實際值的整體偏差，該值越小，準則評估的巖石三軸強度與試驗強度的平均整體偏差就越小，則準則的精度就越高。由表4可知，四參數準則A4、準則A5和準則A6的MRE值均低于三參數準則A2和準則A3，而雙參數準則A1的MRE值最高，表明巖石強度準則包含的參數越多，其評估巖石三軸強度的精度就越高。進一步比較四參數準則的MRE值可知，準則A6評估山口大理石三軸強度的精度略高于準則A4和準則A5。

準則在評估不同類型巖石的三軸強度時，其精度一般會存在差異，如準則A在評估巖石Ⅰ的三軸強度時，其精度高于準則B，而在評估巖石Ⅱ時則可能會反之。本文研究重點不在于論證巖石強度準則之間的優劣，而是在于分析如何科學合理地決策出一種適用于某一具體類型巖石的高精度巖石強度準則。因此，鑒于巖石強度準則的精度直接影響到巖石抗剪強度參數表征公式的準確性，選取準則A6來開展山口大理石抗剪強度參數的定量表征分析。

表4 巖石強度準則對山口大理石三軸強度的評估結果Table 4 Evaluation results of triaxial strength of Yamaguchi marble by the rock strength criteria

5 印證分析

5.1 山口大理石抗剪強度參數表征模型

為驗證考慮圍壓效應的巖石抗剪強度參數表征方法的合理性，以山口大理石為例開展印證分析。表3中準則A6的顯式表達式見式(10)。

(10)

(11)

將式(11)代入式(6)，即可得到瞬態內摩擦角φinst的表征公式見式(12)。

(12)

(14)

將式(12)～式(14)代入式(1)，即可得到瞬態內聚力cinst的表征公式見式(15)。

(15)

表5 山口大理石的瞬態參數值Table 5 Instantaneous parameters of Yamaguchi marble

5.2 合理性分析

由表5可知，山口大理石的瞬態內聚力cinst和瞬態內摩擦角φinst隨圍壓σ3的增大分別呈現出增大和減小的變化規律。這些規律與表2中山口大理石抗剪強度參數在不同圍壓區間時的試驗值的變化趨勢相吻合，符合巖石抗剪強度參數的圍壓效應特征。

為進一步分析，根據表1中三軸試驗數據及表5中的應力組合點(σn，τ)，在τ-σ坐標系下分別繪制莫爾圓及抗剪強度包絡線如圖4所示。其中，括號外的數字為莫爾圓編號，括號內的數據分別為對應莫爾圓上的最小主應力σ3和最大主應力σ1，方形點標記為各應力組合點，用光滑曲線連接各點得到由表征方法確定的抗剪強度包絡線。

圖4 山口大理石抗剪強度包絡線Fig.4 Shear strength envelope of Yamaguchi marble

由圖4可以直觀地觀察到該抗剪強度包絡線符合巖石抗剪強度的圍壓效應特征，且與各莫爾圓基本保持相切狀態，說明式(13)、式(14)能夠較好地表征巖石在應力狀態(σ1，σ3)下的抗剪強度。由于包絡線上各點的切線與τ軸的交點為對應應力狀態下的cinst，切線斜率為對應應力狀態下的tanφinst，因此可以間接證實所提出瞬態抗剪強度參數表征方法的合理性。

5.3 可靠性分析

為分析表征方法獲取的瞬態抗剪強度參數的可靠性，將其與試驗結果(表2)進行比較(由于內聚力可由內摩擦角根據Mohr-Coulomb準則得到，因此這里只分析內摩擦角)。理想的抗剪強度包絡線應與各莫爾圓精準相切，由拉格朗日中值定理可知，該理想包絡線在兩個莫爾圓之間必定存在一點，使得該點處的切線斜率等于這兩個莫爾圓外公切線的斜率。這兩個莫爾圓外公切線的斜率即為根據對應的兩組三軸試驗數據計算得到的tanφ，即在圍壓區間σ3L～σ3R得到的試驗φ值，在理想包絡線上必定存在一點(該點處圍壓大于σ3L小于σ3R)，使得該點處的切線斜率等于tanφ(采用φ(σ3L～σ3R)表示該點對應的內摩擦角)。根據抗剪強度-正應力關系曲線呈上凸的圍壓效應特征及連續性可得到，理想包絡線在圍壓等于σ3時的內摩擦角應該落在φ(σ3L1～σ3R1)和φ(σ3L2～σ3R2)之間，其中，σ3L1<σ3R1=σ3=σ3L2<σ3R2。

對比表5和表2可知，有七組圍壓σ3(分別為6 MPa、12.5 MPa、25 MPa、55 MPa、85 MPa、100 MPa和150 MPa)時的瞬態內摩擦角均落在對應的φ(σ3L1～σ3R1)和φ(σ3L2～σ3R2)之間。 如σ3為6 MPa時，φinst=37.52°，φ(σ3L1～σ3R1)可取φ(0～6)=43.17°，φ(σ3L2～σ3R2)可取φ(6～12.5)=26.54°，得到φ(6～12.5)<φinst<φ(0～6)；而圍壓為40 MPa、70 MPa時則出現異常，究其原因是準則在該段圍壓時評估的三軸強度與試驗強度存在的偏差，因此巖石強度準則精度越高則該異常出現的概率就越小。

通過以上分析可知，可判據在大多數情況下是滿足的，說明用表征方法獲取的瞬態抗剪強度參數代替理想包絡線上的抗剪強度參數具有可靠性。

6 結 論

1) 基于巖石三軸強度和抗剪強度的圍壓效應特征，提出巖石抗剪強度參數具有圍壓效應，并以山口大理石為例分析圍壓對巖石抗剪強度參數的影響，揭示其圍壓效應特征，即內聚力與圍壓呈正相關，而內摩擦角與圍壓則呈負相關。

2) 根據莫爾圓和抗剪強度包絡線的幾何關系，結合Mohr-Coulomb準則進行推導，提出一種考慮圍壓效應的巖石抗剪強度參數表征方法。同時，以山口大理石為例，開展基于精度評價的巖石強度準則優選，建立基于非線性準則的巖石抗剪強度參數表征模型，并驗證了表征方法的合理性及該方法獲取瞬態抗剪強度參數的可靠性。

3) 提出的巖石抗剪強度參數定量表征方法可以計算大批量圍壓下的瞬態內聚力和瞬態內摩擦角，為后續的參數邊緣分布和參數間的聯合分布研究提供大樣本數據庫。