概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政的方法探索

王小飛 周亞群 王佳佳

摘?要：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是高等院校理工類和經(jīng)管類學(xué)生的必修課程，該門課程的學(xué)習(xí)效果直接影響后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)以及《高校思想政治工作質(zhì)量提升工程實(shí)施綱要》文件的相關(guān)要求，本文介紹了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程思政教學(xué)方法的若干探索，其目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)該門課程的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；教學(xué)；課程思政

中圖分類號(hào)：G4?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.04.082

0?引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高等院校理工類和經(jīng)管類學(xué)生的基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)生日后參加社會(huì)生產(chǎn)和工作的必要基礎(chǔ)。隨著社會(huì)的發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程在經(jīng)濟(jì)、管理、社會(huì)生活和科學(xué)研究等方面有著越來越廣泛的應(yīng)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律的一門學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要內(nèi)容包含隨機(jī)事件及其概率、隨機(jī)變量及其期望、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律與中心極限定理等內(nèi)容。該門課程是理工科學(xué)生和經(jīng)管類學(xué)生的必修課程，是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程。大多數(shù)高等院校將該門課程放在學(xué)生大學(xué)生活的第三、第四學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)。隨著年級(jí)的升高，部分學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情有所下降，如何提高高年級(jí)學(xué)生對(duì)該門課程的學(xué)習(xí)興趣顯得非常重要。

另外，中共教育部黨組于2017年12月發(fā)布了《高校思想政治工作質(zhì)量提升工程實(shí)施綱要》，詳細(xì)規(guī)劃了“十大育人”體系。《實(shí)施綱要》要求深入推動(dòng)習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想進(jìn)教材、進(jìn)課堂、進(jìn)頭腦，大力推動(dòng)以“課程思政”為目標(biāo)的課堂教學(xué)改革，優(yōu)化課程設(shè)置，修訂專業(yè)教材，完善教學(xué)設(shè)計(jì)，加強(qiáng)教學(xué)管理，梳理各門課程所蘊(yùn)含的思想政治教育元素和所承載的思想政治教育功能，融入課堂教學(xué)各環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)思想政治教育與知識(shí)體系教育的有機(jī)統(tǒng)一。培育選樹一批“學(xué)科育人示范課程”，建立一批“課程思政研究中心”（摘自《高校思想政治工作質(zhì)量提升工程實(shí)施綱要》）。根據(jù)《實(shí)施綱要》要求，如何在該門課程中進(jìn)行課程思政，也是需要探索的一個(gè)課題。

本文將從課程教學(xué)方法、在教學(xué)過程中如何進(jìn)行課程思政等方面進(jìn)行探索。

1?教材選擇

首先開設(shè)該門課程的學(xué)生是二年級(jí)以上的學(xué)生，學(xué)習(xí)該門課程時(shí)很多數(shù)學(xué)知識(shí)可能已經(jīng)忘記，這樣會(huì)讓他們喪失學(xué)習(xí)該門課程的學(xué)習(xí)熱情。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，我們可以在講授知識(shí)點(diǎn)之前適當(dāng)復(fù)習(xí)一下需要用到的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的學(xué)習(xí)信心。其次，該門課程的可供參考的教材很多，難度不一。因此我們?cè)谶x用教材時(shí)需要提前閱讀教材，盡量選擇一本適合自己學(xué)生的教材。

2?結(jié)合多媒體進(jìn)行教學(xué)

由于該門課程一些定義和例子比較繁瑣，所以可以適當(dāng)結(jié)合多媒體進(jìn)行教學(xué)。可以通過圖表、動(dòng)畫等提高學(xué)生的課堂注意力。其次需要根據(jù)不同的學(xué)生，對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)于比較繁瑣的證明，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化其證明過程，力求化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，講清楚其證明思路，留充足的時(shí)間給學(xué)生自己練習(xí)。

3?在教學(xué)中引入生活案例，進(jìn)行課程思政

在第一次上課時(shí)，可以給學(xué)生講解下我國(guó)概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展歷程，特別是介紹下我國(guó)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科和概率論學(xué)科的奠基人許寶騄先生。2010年9月1日，我國(guó)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科的奠基人許寶祿教授百年誕辰紀(jì)念會(huì)在北京大學(xué)舉行。國(guó)家統(tǒng)計(jì)局總統(tǒng)計(jì)師鮮祖德出席紀(jì)念會(huì)并致辭。鮮祖德說，“許寶祿教授是中國(guó)早期從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論研究并達(dá)到世界先進(jìn)水平的杰出數(shù)學(xué)家，在中國(guó)開創(chuàng)了概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)與研究工作。許寶祿教授熱愛祖國(guó)，崇尚科學(xué)，他一生淡泊名利，為人謙和，刻苦鉆研。他晚年雖然體弱多病，仍頑強(qiáng)地堅(jiān)持科研和教學(xué)工作，為提升我國(guó)的統(tǒng)計(jì)研究和應(yīng)用水平作出了巨大貢獻(xiàn)，直至生命的最后一息。許寶祿教授對(duì)科學(xué)研究的態(tài)度和精神永遠(yuǎn)值得我們學(xué)習(xí)，他是中國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)界的驕傲”。在講授相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可以用一些生活中的例子，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如：

例1：春節(jié)燃放煙花爆竹是延續(xù)了兩千余年的民族傳統(tǒng)，但燃放煙花爆竹也經(jīng)常引發(fā)意外，造成慘劇。假定每次燃放煙花爆竹引發(fā)火警的概率是十萬分之一，若春節(jié)期間北京有100萬人次燃放煙花爆竹。計(jì)算沒有引發(fā)火警的概率。

解：用n表示燃放爆竹的人數(shù)，Aj表示第j次燃放沒有引發(fā)火警。則n=106，B=∩nj=1Aj表示春節(jié)期間燃放煙花爆竹沒有引發(fā)火警。由案例背景可知A1，A2，…，An相互獨(dú)立，且P（Aj）=1-10-5。則P（B）=P（∩nj=1Aj）=（1-10-5）n≈4.5×10-5

由此可知，不發(fā)生火警是一個(gè)小概率事件，在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。即不引起火警是不可能的。如文獻(xiàn)[6]所述：“據(jù)報(bào)道：2005春節(jié)期間，從臘月三十下午5時(shí)至正月初五下午3時(shí)，北京市共接報(bào)火警818起，其中煙花爆竹引發(fā)的火災(zāi)282起，除夕夜接報(bào)火警444起，因燃放煙花引起的火情172起。市衛(wèi)生局統(tǒng)計(jì)，因燃放煙花爆竹致傷到28家重點(diǎn)醫(yī)院救治的有307人，4人因燃放煙花爆竹死亡”。講完該例子后，我們接著可以說有些地方政府春節(jié)期間禁止燃放煙花爆竹是合理的，是為了人民的切身利益，從而提高學(xué)生對(duì)政府政策的理解度，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)政府的支持度。

例2：在講授貝葉斯公式時(shí)候，可以用如下的例子：俗話說“只有再一再二，沒有再三再四”，這是為什么呢？接著介紹貝葉斯公式。然后用貝葉斯公式來分析這一問題。經(jīng)過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)本來誠(chéng)信的人，假如連續(xù)兩次撒謊，經(jīng)過兩次使用貝葉斯公式，可以發(fā)現(xiàn)此人的誠(chéng)信度急劇下降，第三次別人將不會(huì)再相信此人。類似的例子還有“烽火戲諸侯”，銀行放貸等。講完這些例子后，可以接著進(jìn)行德育教育，說明誠(chéng)實(shí)守信的重要性質(zhì)。

例3：在講授正態(tài)分布時(shí)，力求介紹清楚正態(tài)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用，說明正態(tài)分布很簡(jiǎn)單，但是可以描述生活中的很多事。接著進(jìn)行德育教育，正態(tài)分布很簡(jiǎn)單，但是其在生活中有很多應(yīng)用，即大道理有時(shí)候都非常簡(jiǎn)單，如中國(guó)古代思想家教育家孔子的名言“己所不欲，勿施于人”，這句話雖然非常簡(jiǎn)單，但是說明的道理卻很深刻，很多外國(guó)人也知道，由此來增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。

例4：假設(shè)P（Bi）=ε，i=1，2，…，B1，B2，…相互獨(dú)立。其中ε表示很小的正數(shù)，A=∪

i=1Bi，求P（A）。

解：P（A）=P（∪

（1-ε）n=1。

該例求法比較簡(jiǎn)單，但是隱含的思想比較深刻。由于ε很小，所以在一次試驗(yàn)中事件Bi不會(huì)發(fā)生。事件A表示無窮多次試驗(yàn)中，事件Bi至少發(fā)生一次的概率，由計(jì)算結(jié)果可知，無窮多次試驗(yàn)中，事件Bi肯定會(huì)發(fā)生。這也是小概率思想，即概率不為0的事件只要堅(jiān)持一直做下去，肯定會(huì)發(fā)生，但是在一次試驗(yàn)中，小概率事件不發(fā)生。正如俗話說“常在河邊走，哪能不濕鞋”“常在江湖飄，哪有不挨刀”都是這個(gè)道理。可以警示學(xué)生，平時(shí)注意防范微小的錯(cuò)誤，不然日積月累，會(huì)發(fā)生質(zhì)的變化，可能釀成大禍。

例5：結(jié)合時(shí)事熱點(diǎn)進(jìn)行授課，如在講授數(shù)學(xué)期望時(shí)，可以分析如下問題：在進(jìn)行社區(qū)大規(guī)模核酸檢測(cè)時(shí)，分成幾人一組進(jìn)行混檢效率最高？

解：假設(shè)需要對(duì)n個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，人群中的病毒攜帶者的概率為p，每次將l個(gè)人的唾液樣本進(jìn)行混合檢測(cè)。若混合樣本的檢測(cè)結(jié)果為陰，則說明這l人都不攜帶該病毒。否則說明這l人中至少有一人攜帶該病毒，接下來需要將l人進(jìn)行逐一檢測(cè)以找出病毒攜帶者。問題是將l設(shè)置為多少最合適呢？若用X表示每個(gè)人的檢測(cè)次數(shù)，則X的可能取值為1/l，1+1/l。取值的概率分別為：

P（X=1/l）=（1-p）l，P（X=1+1/l）=1-（1-p）l

從而可知：EX=1-（1-p）l+1/l。在實(shí)際中得到p的估計(jì)后，自然是希望EX越小越好。因此這是一個(gè)簡(jiǎn)單的求極值問題，很容易得到合理的l的估計(jì)。

例6：在講授數(shù)學(xué)期望定義時(shí)，先講清期望的定義。以離散型隨機(jī)變量為例，假定隨機(jī)變量X的分布律為：

P（X=xi）=pi，i=1，2，…

則當(dāng)級(jí)數(shù)∑

i=1xipi的求和不會(huì)因?yàn)榍蠛痛涡虻母淖兌l(fā)生改變。講完該知識(shí)點(diǎn)后，可以接著進(jìn)行課程思政，即我們說的加法具有交換律是指在有限項(xiàng)的情況下，當(dāng)求和項(xiàng)具有無窮多項(xiàng)時(shí)，交換律就不一定成立。這蘊(yùn)含了量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想。在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中就必須首先作艱苦的量的積累工作，要有腳踏實(shí)地，埋頭苦干的精神，要一點(diǎn)一滴地做細(xì)小的事情，反對(duì)急于求成，立竿見影，揠苗助長(zhǎng)，須知欲速則不達(dá)的道理。老子說：“為學(xué)日益，為道日損”。“日益”“日損”都是量變的過程。在進(jìn)行量的積累時(shí)就要充滿必勝的信心和信念，不能因量變的漫長(zhǎng)和艱辛而放棄或失去信心，要相信規(guī)律、相信質(zhì)變必然會(huì)發(fā)生（摘自對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、量變質(zhì)變規(guī)律、否定之否定規(guī)，https：//www.doc88.com/p-98337093528.html-2011）。

例7：假定在n重伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)在概率：P（A）=p，X表示n次實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，…，n

稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記為X～B（n，p）。講完該定義后，接著講如下例子：

假設(shè)有80臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)及其發(fā)生故障的概率為0.01，假定機(jī)器之間是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，假定每名維修工人只能同時(shí)維修一臺(tái)機(jī)器，假定有兩種維修方案，一種維修方案是配備三個(gè)工人同時(shí)維修80臺(tái)，第二種維修方案是配備四個(gè)工人，每人承包20臺(tái)。試問兩種維修方案，哪種不能及時(shí)維修的概率小？（該例來自文獻(xiàn)[2]）。

分析：在第一種方案下，用X表示80臺(tái)機(jī)器中需要維修的臺(tái)數(shù)，則根據(jù)問題背景可知：

X～B（80，0.01），不能及時(shí)維修的概率為：

P（X≥4）=∑80k=4Ck800.01k0.991-k=0.0091

在第二種方案下，用Ai表示“第i個(gè)人承包的20臺(tái)機(jī)器不能及時(shí)維修”，i=1，2，3，4。則不能即使維修等價(jià)于事件A1，A2，A3，A4至少有一個(gè)發(fā)生，即所求的概率為：

P（A1∪A2∪A3∪A4）≥P（A1）=∑20k=2Ck200.01k0.9920-k=0.0175

通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，第一種方案較好。本例中，n較大，p較小，因此可以近似地看成參數(shù)λ=np的泊松分布。第一種方案下，λ=np=0.8。所求概率為：

P（X≥4）=1-P（X≤3）≈1-∑3k=00.8kk！e-0.8≈0.0091

第二中方案下，λ=np=0.2，所求概率為：

P（X≥2）=1-P（X≤1）≈1-∑1k=00.2kk！e-0.2≈0.0175

可見兩種方法所得的結(jié)論是一致的。講完該例子后，可以進(jìn)行課程思政。第一種方案是在三人合作的情況的取的結(jié)果，即說明團(tuán)隊(duì)合作的重要性。一滴水，不管多么晶瑩剔透，風(fēng)一吹，太陽(yáng)一曬就會(huì)瞬間消逝，然而匯入大河，則會(huì)展示其無限的生命力。一道微光，起不了什么作用，可是千萬道光聚在一起，便足以驅(qū)走黑暗，帶來光明。在我們現(xiàn)實(shí)生活中，無處不體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)協(xié)作的重要性。就拿拔河比賽來說，即使個(gè)人的力量再?gòu)?qiáng)大，如果沒有相互協(xié)作，胡亂使勁，又有什么用呢？反之，即使個(gè)人的力量很渺小，但大家都勁往一處使，力往一處發(fā)，那么，勝利將是屬于他們的，因?yàn)榉止っ鞔_，因?yàn)閳F(tuán)結(jié)。古人云：“人心齊，泰山移”，這是對(duì)團(tuán)隊(duì)協(xié)作的最好總結(jié)（摘自團(tuán)隊(duì)協(xié)作的重要性（總結(jié)10篇），http：//www.qunzou.com/shenghuo/10296.html-2019）。

例8：在賭場(chǎng)，有很多人在賭廿一點(diǎn)時(shí)順便押對(duì)子。其規(guī)則如下：莊家從6副（每副52張）撲克中隨機(jī)發(fā)給你兩張。如果賭徒下注a元，當(dāng)?shù)玫降膬蓮埮剖且粚?duì)時(shí)，莊家賠賭徒十倍，否則賭徒輸?shù)舻馁€注。如果賭徒下注100元，賭徒和莊家在每局中各期望贏多少元？（該例來自文獻(xiàn)[6]）。

解：用X和Y分別表示賭徒和莊家在一局中的獲利，a=100。則由古典概型可知

P（X=10a）=0.074，P（X=-10a）=1-0.074

于是每局賭徒期望贏得

EX=10a×0.074-10a×（1-0.074）=-18.6

每局莊家期望贏得

EY=-10a×0.074+10a×（1-0.074）=18.6

即每局賭徒期望以輸錢結(jié)束。進(jìn)一步，結(jié)合強(qiáng)大數(shù)定律可知，樣本均值以概率1收斂到總體均值，即若長(zhǎng)期賭下去，賭徒以概率1不會(huì)贏錢。如文獻(xiàn)[6]所述：“據(jù)記載，人類的賭博活動(dòng)已經(jīng)有三千多年的歷史了。在這漫長(zhǎng)的歷史中，大量的賭徒早已輸光，而新的賭徒也在不斷地涌現(xiàn)并將不斷地輸光，為數(shù)極少的賭莊也有形成而且還會(huì)形成，但是在公平賭博模型下，它們最終總逃脫不掉破產(chǎn)的命運(yùn)。容易理解，在非公平賭博模型下，賭徒破產(chǎn)和賭莊聚積賭資都將加快，而且賭莊會(huì)以一個(gè)正概率永不破產(chǎn)”。這個(gè)例子告訴學(xué)生一個(gè)人生哲理：不要做投機(jī)取巧的事情，只有越努力越幸運(yùn)。想不通過自己的努力和付出，對(duì)工作、學(xué)習(xí)或生活進(jìn)行蒙騙、造假，企圖獲得通過是行不通的。人生的路沒有捷徑可走，要一步一個(gè)腳印的去走，要撲下身子，扎扎實(shí)實(shí)地去做。

4?注意線上與線下教育相結(jié)合

在上課之前，要求同學(xué)們先預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，對(duì)不理解的地方通過微信群、QQ群等方式告知老師，這樣在課堂上可以進(jìn)行針對(duì)性講解。在課堂結(jié)束后，可以適當(dāng)給學(xué)生留下一些和生活密切相關(guān)的一些思考問題，如敏感性問題調(diào)查等，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)該門課程的學(xué)習(xí)興趣。通過建立微信群、QQ群等方式，經(jīng)常與學(xué)生溝通，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，視情況調(diào)整教學(xué)方式。另外可將學(xué)生課堂表現(xiàn)、課后思考問題的解答等納入課程過程考核，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性。

2?總結(jié)

本文介紹了一些《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程思政教學(xué)方法改革的一些思考，重點(diǎn)從教學(xué)內(nèi)容及其方式的改革等方面進(jìn)行了探索。在以后的教學(xué)中需要不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，緊跟時(shí)代步伐，根據(jù)國(guó)家的教育政策持續(xù)更新教學(xué)理念及其教學(xué)方法，不斷提高教學(xué)水平，希望能取得更好地教學(xué)效果。

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