基于單元教學視角的章節起始課
——以“直線和圓的方程”為例

柴麗妮 陳家盼 胡 明

（安徽省合肥市第十中學，安徽 合肥 230011）

起始課是指每章開始的第一節課。在傳統教學中，教師往往直接開始本章第一節新課內容的講授。新課標強調教師在教學中要引導學生從整體上把握課程，從這個角度考慮，以“直線和圓的方程”這一單元為例，精心設計了一節章節起始課。

一、提出問題

單元教學是新一輪課程改革的特色，它要求教師在備課時整體把握教學內容，在教學時力爭使課程內容結構化，以此體現出“數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性”，從而發展學生的數學核心素養。

解析幾何的創立是數學發展史上的里程碑，它搭建起了幾何與代數之間的橋梁。解析幾何的主要內容是借助平面直角坐標系，建立起曲線和方程的對應，進而將研究幾何圖形的問題轉化為對代數方程的研究。在高中階段，學生將系統學習用坐標法研究直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線五種曲線。每種曲線都按照相同的思路研究：確定幾何要素—幾何要素代數化—建立曲線方程—研究方程—解釋方程的幾何意義（如下圖）。在實際教學中如何讓學生整體把握解析幾何的研究框架，而不是直接陷入繁雜的運算？筆者嘗試以解析幾何的起始課為抓手，充分利用教材上的章引言和閱讀材料，構建解析幾何的知識框架，幫助學生宏觀理解單元結構。

二、教學設計

（一）1.創設情境，引入本章學習內容

（播放“福建艦”的下水視頻）

引導語：2022 年 6 月 17 日，由我國完全自主設計建造的首艘彈射型航空母艦“福建艦”下水。“福建艦”的成功下水標志著我國已基本追平了美國的航母發展水平，標志著我國在實現中華民族偉大復興的道路上又向前邁了一大步。近些年來，我國周邊海上爭端頻發，發展并壯大海軍隊伍是實現中國夢的重要一部分。

問題1：我國一艘軍艦從港口出發向北偏東45°方向直線行駛（記為直線l1）進行日常巡邏。若在港口正北方向40km處有一信號干擾器，且以該點為圓心，半徑為30km 的圓形區域都會受到影響。若這艘軍艦不改變航向，那么它是否會受到影響？若受影響，你能確定受影響的具體位置嗎？若干擾器的影響區域是橢圓呢？

設計意圖：中國夢引領強軍夢，強軍夢支持中國夢！“福建艦”的成功下水激動人心，以此作為引入，在拉開本章大幕的同時也激發了學生強烈的愛國主義情感和民族自豪感?，F實情境中抽象出來的問題涉及到三個研究對象——直線、圓與橢圓。學生用初中學的方法可以解決直線與圓的問題，但受影響的具體位置難以描述；而且當影響區域變成橢圓，學生無法用初中知識解決。在此情況下提出坐標法，可以讓學生感知學習解析幾何的價值。

（二）數學閱讀，構建解析幾何知識結構圖

請閱讀教材第二章和第三章的章引言以及閱讀與思考“笛卡兒與解析幾何”，回答下列問題。

問題2：原來研究幾何圖形用的什么方法？這兩章將用什么方法？這種方法主要是以什么為工具？

設計意圖：問題2 難度不大，略讀教材就可解答。本環節的設計一方面是為了讓學生重視教材回歸教材，另一方面是為了強調解析幾何的核心方法——坐標法和核心工具——平面直角坐標系。

問題3：這兩章統稱為解析幾何，它的內涵是什么？溝通了數學內部哪兩大學科？體現了什么數學思想？

追問：曲線屬于幾何領域，方程屬于代數領域，那“曲線的方程”的含義是什么？

教師以平面直角坐標系中到軸距離為2 的直線為例解釋。

設計意圖：問題3 難度有所升級，觸及到了解析幾何的基本內涵及其蘊含的思想方法，學生精讀教材可以得到答案。章引言中出現了一個詞“曲線的方程”，它是解析幾何的一個核心概念，在后續的教學中反復出現，但細究起來并不容易理解，需要從完備性和純粹性兩個方面加以說明。對比舊教材，新教材降低了抽象難度，刪掉了“曲線與方程”一節，轉而在每次曲線的方程建立之后進行解釋說明，通過邊用邊學來加深學生的理解。為了符合新教材的理念，本節課不打算給出曲線的方程的定義，只是借助具體的例子幫助學生直觀感知并嘗試理解這個概念，初次體會曲線與方程之間的充要關系，為后續的正式學習做好鋪墊。

問題4：這兩章將分別研究哪些曲線？小組合作畫出這兩章的知識結構圖，每個小組請代表展示并解讀各自的作品。

設計意圖：將第二章“直線和圓的方程”以及第三章“圓錐曲線的方程”放在一起是因為它們都屬解析幾何，這五種曲線的研究方法是相同的，能很好地體現出“思想的一致性、方法的普適性”。同時也是為了與問題1 相呼應，讓學生認識到坐標法不僅僅可以用來研究直線與圓這兩種熟悉的圖形，更能夠在復雜圖形的研究中發揮巨大作用，凸顯了坐標法的魅力與威力；但是從后續的教學中可以看出，本節課的重點依然在第二章。畫知識結構圖圖對學生要求較高，要充分調動起眼耳手口腦，小組一齊出力協同合作完成。學生動手畫知識結構圖可以進一步梳理解析幾何的基本內涵，使研究思路可視化，強化直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線在研究過程和思想方法上的同構性。

（三）結合實例，體驗解析幾何學習的基本方法

引導語：按照知識結構圖，五種曲線的研究思路基本相同，下面就借助直線來完整系統地體驗解析幾何學習的基本方法。

1.探索確定直線位置的幾何要素

問題5：確定一條直線的幾何要素是什么。

追問1：在平面直角坐標系中，點可以如何轉化？

追問2：在問題1 中建立適當的平面直角坐標系（為了運算的簡便，取10km為單位長度），并判斷軍艦行駛所形成的直線是否確定？

追問3：確定一條直線的幾何要素除了兩個點還可以是什么？

設計意圖：學生在初中學習過“兩點確定一條直線”，因此他們很直接地認為確定一條直線的幾何要素是兩個點。在平面直角坐標系中需要知道這兩個點的坐標。問題1 中的直線明顯是確定的，但是沒有直接給出直線上的兩個點，以此引導學生說出“一點和一個方向也可以確定一條直線”，而且這兩種幾何要素可以相互轉化，為正式教學中斜率與兩點坐標的關系、點斜式與兩點式的關系做好鋪墊。

2.建立直線的方程

問題6：給定直線上兩點的坐標或者一個點的坐標與一個確定的方向，你能表示出直線上任意一點P（x，y）的坐標嗎？以直線l1為例（為研究問題的統一，以干擾器為圓心，正北方向為y 軸建立平面直角坐標系）。

提示：可以參照“空間向量與立體幾何”的相關內容。

設計意圖：在“空間向量與立體幾何”中，學生學習過如果知道了直線上兩點的坐標或者直線的方向向量，可以引入參數λ 再借助共線定理表示出直線上任意一點的坐標。以直線l1為例，若學生根據情境判斷出直線 l1過 A（0，-4），B（4，0），則，故 P（4λ，4λ-4）；若學生根據“北偏東45°方向”寫出直線的方向向量

追問：你能用一個等式表示直線l1上任意一點 P（x，y）的橫坐標 x 與縱坐標 y之間的關系嗎？

3.應用直線的方程

問題7：若在上述平面直角坐標系中另有一條直線l2的方程為試判斷與這兩條直線的關系。

設計意圖：寫出曲線的方程是為了使用它解決問題，所以此處設計了一個不便利用綜合法解決的問題。通過這個問題學生在系統把握坐標法流程的同時也為以后學習兩條直線的交點坐標打下了基礎。

（四）課堂小結，總結回顧并引出下一節內容

問題8：通過本節課，你學到了什么？

在學生發言之后老師補充并指出：計算機的普及使得坐標法具有了更大的威力，在這個過程中我國數學家也做出了舉世矚目的成績，請大家課后閱讀“坐標法與數學機械化”，了解吳文俊等數學家做出的卓越貢獻。

思考：既然借助了坐標系，那么能否給出一個新的定義，使得直線的方向的描述脫離東西南北呢？從下一節開始我們將按照知識結構圖詳細地研究直線及其方程。

設計意圖：課堂的最后讓學生暢所欲言，在學生發言的基礎上，歸納解析幾何的研究內容和核心方法。課后閱讀可以激發學生的民族自豪感。最后的思考是為了后面的正式學習做鋪墊，同時引導學生感悟坐標系在解析幾何中的作用。

三、課后反思

（一）章起始課要創設恰當的情境

數學核心素養的發展與情境有密不可分的關系，創設恰當的問題情境一方面可以激發學生的興趣，另一方面也可以為后續學習埋下伏筆。本課例選擇了從最近熱門的航空母艦下水入手，問題情境指出強軍夢的實現離不開數學的發展，說明數學來源于生活又高于生活；提出的問題可以用純幾何方法解決，但稍微改變一下條件就暴露了綜合法的不足，讓學生意識到解析幾何學習的價值。

（二）章起始課要回歸教材本身，重視數學閱讀

教材是教學之本，教師在備課之時要緊抓教材，學生在學習過程中也不能脫離教材。然而在實際教學中重教輔的現象比比皆是，這樣輕視教材其實就丟掉了理解數學內容的大好機會。章引言里往往概述了整章的知識內容、研究方法、歷史地位和應用價值，用好章引言能起到領航全章的重要作用；“閱讀與思考”介紹了與本章相關的拓展內容，用好它們既增加了課堂的趣味性，也培養了學生有效提取信息的能力。在數學閱讀過程中，教師要注意做好指導，不能將閱讀變成單純的故事賞析。教師可以嘗試借助問題引導學生將略讀、精讀、串讀相結合，以此促進概念的建構、理解和內化。

（三）章起始課要注意與前后內容的聯系

任何新知識的建構都建立在對舊知識掌握和理解的基礎之上，所以在教授新知識的同時要注意與原有的知識產生聯系。章起始課作為新一章的第一節課，不能完全另起爐灶，要注意與前后內容的聯系。例如本節課直線的方程的建立過程中應用了上一章“空間向量與立體幾何”中的共線定理，使學生接受起來不突兀。

（四）章起始課要引導學生整體把握全章內容

開設章起始課的目的在于讓學生了解全章的內容背景、研究方法、知識結構、現實意義等，同時為后續的學習做好充足的鋪墊和心理準備。在本節課之前學生沒有系統地接觸過解析幾何，整體把握解析幾何的研究對象、基本內涵和方法是本節課的教學目標。為了達成這個目標，本節課首先讓學生在閱讀的基礎上小組合作畫出知識結構圖，然后再帶領學生結合具體實例來完整系統地體驗一遍解析幾何的研究方法，幫助學生整體把握知識之間的邏輯聯系和走向，理解知識的來龍去脈。

四、結語

上好章起始課對于學生整體把握全章內容有著重大意義，尤其是在目前單元教學的大背景之下。如何設計才能讓學生更好地體會到數學的整體性？如何設計出一節既有趣味性又不失數學性的章節起始課？章節起始課和后面的正式教學如何平衡和兼顧？上好一節課并非易事，這些問題值得我們一線老師思考。