基于改進灰狼算法和支持向量機的拱橋索力優化模型

段君邦，王 華，郝天之，梁茜雪

(1.廣西交通投資集團有限公司，廣西 南寧 530000；2.哈爾濱工業大學 土木與環境工程學院，廣東 深圳 518055；3.廣西交科集團有限公司 橋梁工程研究所，廣西 南寧 530001； 4.廣西北投交通養護科技集團有限公司，廣西 南寧 530000)

0 引 言

求解實際工程結構的優化問題時，優化程序往往需要調用有限元軟件進行反復的迭代計算，當結構較為復雜時，有限元模型的龐大計算量會極大程度降低程序的尋優效率，為解決這一問題，部分專家學者選擇建立基于機器學習的近似預測模型代替有限元軟件進行尋優分析[1-3]。

支持向量機(support vector machine，SVM)算法[4-6]雖然對非線性數據具有較高的學習映射能力，但針對不同問題，核參數的選擇一直是SVM預測精度的關鍵，目前對SVM關鍵參數進行優化的方法大多基于不同的群體智能優化算法，典型的有遺傳算法、粒子群算法和模擬退火算法等，但不同優化算法對于具體的優化問題均存在一定的局限性，且對SVM的參數進行優化時涉及到樣本數據之間的映射關系，選擇針對性的算法和改進方法可以大幅提高SVM預測結果的準確性。針對這一問題，眾多專家展開了分析與研究，部分研究顯示，智能群體優化算法可有效提高支持向量機的預測精度，改進后的算法相較于標準算法參數優化的效果更好[7-10]。在拱橋線形的預測和索力的優化問題上，已有研究主要以傳統有限元軟件配合智能優化算法為主[11-14]，對機器學習方法的應用程度并不廣泛，這使得在大跨度拱橋索力優化的實際問題中，仍存在計算量大，優化速度不理想等問題。

基于此，本文以橋梁工程中拱橋的索力優化問題為例，提出了一種基于改進灰狼優化算法建立的組合優化模型，該模型可以在大幅降低計算時間成本的前提下達到優化目標，明顯改善成拱線形，大幅度提高了復雜工程結構的尋優效率，可為類似工程的優化提供一定的參考。

1 改進灰狼算法

1.1 標準灰狼算法

灰狼算法(grey wolf optimizer，GWO)是Mirjalili等提出的一種基于灰狼群體捕獵活動的新型群體智能優化算法，具有收斂能力強、算法結構簡單等特點?；依侨后w中存在著嚴格的社會支配等級關系，如圖1所示，分別為社會等級最頂層的α狼，在算法中代表目標函數的最優解，社會等級第二層的β狼，在算法中代表目標函數的次優解，社會等級第三層的δ狼，在算法中代表目標函數的第三優解，社會等級最底層的ω狼，在算法中代表目標函數的候選解。

圖1 灰狼種群等級分布

標準GWO優化過程分為5個主要步驟，分別是社會等級分層、包圍獵物、狩獵、攻擊獵物和尋找獵物?；依侨后w的圍獵過程如圖2所示，β狼和δ狼在α狼的指揮下包圍獵物，在優化問題的D維決策空間中，假設前三階級狼群更接近獵物位置，并利用該三類階級狼群的最優位置強迫非最優位置的狼群和ω狼向獵物方向逼近。

圖2 狼群圍獵過程

此時，狼群的圍獵過程可表示為式(1)所示

Xi(t+1)=Xp(t)-A|CXp(t)-Xi(t)|

(1)

A=2ar1-a

(2)

C=2r2

(3)

式中：t為算法迭代次數；Xi(t+1) 為狼群的目標位置；Xi(t) 為狼群的當前位置；Xp(t) 為獵物位置；A為收斂因子；C為擺動因子；r1、r2分別為[0,1]內的隨機數；a為距離控制系數。

令α、β、δ狼與其它個體間的距離為Di=|CXp(t)-Xi(t)|， 則α、β、δ灰狼個體圍獵時的位置更新公式如下

(4)

ω狼的最終位置由前三階級灰狼的位置決定，其更新公式如式(5)所示

X(t+1)=(Xα+Xβ+Xδ)/3

(5)

1.2 改進灰狼算法

群體智能優化算法存在多種改進方式，通常的改進策略主要集中于兩方面：一是針對種群初始化策略的改進，通過采用更加合理的映射方式降低隨機初始化種群帶來的分布不均造成的影響，保證種群在初始化階段盡可能的均勻分布在搜索空間內，此種改進策略可以使種群在進行全局搜索的初期遍歷所有搜索空間，防止算法遺漏全局最優解；另一種改進策略主要是針對個體搜索方式和進化策略的改進，標準仿生優化算法的個體搜索策略往往使用相同的或線性變化的搜索步長，其缺陷為當算法進入搜索后期時極易陷入局部最優解，且固定的或線性遞減的搜索步長無法幫助個體跳出局部極值，使種群出現進化停滯的現象。因此，對種群初始化策略和個體搜索策略同時進行改進可有效提高算法性能，本文采用兩種改進策略同時對灰狼算法進行改進。

1.2.1 混沌映射初始化種群

GWO通常采用隨機的方式產生初始化種群，但此種方法難以維持灰狼的種群多樣性，且種群在算法搜索初期難以遍歷全部搜索空間，容易導致算法進行搜索時陷入局部最優解，為解決隨機產生初始化種群的弊端，保證算法對全局有較強的搜索能力，采用混沌映射的方法初始化種群可以使初始種群均勻分布在D維搜索空間內。根據文獻[15]的研究，目前主流的混沌映射方式有Tent映射、Logistic映射，由于Tent映射的典型形式相較于Logistic映射具有更佳的遍歷均勻性[16]，且對不同參數具有較為一致的分布密度，因此本文采取Tent混沌映射的方式改進標準灰狼算法隨機初始化種群的方式，映射公式如式(6)所示

(6)

Tent混沌映射初始化種群理論上能在[0,1]上產生分布均勻的初始值，有效提高算法前中期的全局搜索能力和尋優速度，避免算法前中期陷入局部最優解。

1.2.2 余弦收斂因子

GWO的收斂因子由距離控制系數a確定，根據距離控制系數a的表達式可知，隨著迭代次數的不斷增加，控制系數在算法中后期呈現出線性遞減的趨勢，嚴重影響算法后期狼群的種群多樣性和全局搜索能力，為避免種群在算法中后期無法跳出局部極值區域，本文采取余弦型收斂因子進行改進[17]，改進后的收斂因子取值如式(7)所示

(7)

式中：amin、amax分別為收斂因子的最小值和最大值；n為遞減指數;tmax為最大迭代次數。

1.2.3 算法性能驗證

為驗證改進灰狼算法(improved grey wolf optimizer，IGWO)的尋優性能，選取單峰測試函數Sphere，多峰測試函數Griewank、Rastrigin、Ackley測試算法在給定迭代次數下的收斂精度，各測試函數在定義域內的理論最優值均為0。設定空間維度D為30，種群規模取30，最大迭代次數取300，分別使用標準灰狼算法(GWO)、基于混沌映射改進的灰狼算法(GWO1)、基于余弦收斂改進的灰狼算法(GWO2)、基于混沌映射與余弦收斂雙策略改進的灰狼算法(IGWO)和標準粒子群算法(PSO)對目標函數進行搜索，各算法獨立運行30次，測試平臺基于Matlab 2019a，各測試函數下的算法尋優結果見表1。

由表1可知，標準GWO算法、僅采用混沌映射初始化種群的GWO1算法和僅基于余弦收斂改進的GWO2算法對單峰測試函數Sphere的收斂精度較高，都收斂至了理論最優值，對比GWO、GWO1、GWO2、IGWO和PSO的單峰函數測試結果可知，基于混沌映射和余弦收斂的IGWO算法平均耗時最短，收斂速度最快。此外，標準GWO算法、僅采用混沌映射初始化種群的GWO1算法和僅基于余弦收斂改進的GWO2算法對多峰測試函數Griewank、Rastrigin和Ackley的尋優能力較差，灰狼種群經過400次進化后的平均值距離理論最優值仍有一定的偏差，且多次運行結果表明，種群分布較為分散，算法穩定性較差。

表1 算法測試結果

本文融合混沌映射初始化種群和余弦收斂因子雙策略改進的IGWO算法除了對單峰測試函數實現了精確收斂外，對多峰函數的搜索尋優也有較好的適應性，與僅做單一策略改進的GWO1、GWO2和標準PSO算法相比，IGWO在多峰函數測試結果的標準差均在10-10數量級以內，說明算法在30次運行下的結果較為一致，400代進化后所有個體基本已集中于最優值附近，算法穩定性良好。綜上比較可知，相比于單一策略改進形式，基于雙策略改進后的IGWO算法性能得到大幅度提升，能有效跳出多峰函數的局部極值，完成目標函數的尋優。

2 IGWO-SVM組合優化模型

2.1 SVM原理

SVM是一種定義在特征空間上的最大線性分類器，其基本原理是通過統計學習將樣本數據在特征空間上進行劃分以求取分離超平面的過程。相較于常用預測模型，SVM預測模型引入核函數將非線性數據映射至高維數據空間進行回歸分析，有效解決了機器學習預測模型在高維空間的計算問題。

假設存在非線性數據樣本集合為 {(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)}， 為實現數據樣本x到y的映射關系，SVM將輸入向量X映射至高維空間D中進行線性回歸，引入損失函數f(x)=ωφ(x)+b求解回歸問題，其中ω為權向量，b為

擬合偏差，如式(8)所示建立求解關于損失函數最大超平面的優化問題

(8)

引入朗格朗日乘子αi和βi，同時引入核函數k(u,v)=φ(u)φ(v) 將非線性的數據樣本映射至高維數據空間，改造后的優化問題描述如式(9)所示

(9)

本文預測模型核函數采用RBF徑向基函數，RBF徑向基函數在對于非線性數據映射具有較高的擬合和預測精度，其表達式如下

(10)

2.2 IGWO-SVM組合優化模型

傳統工程問題的優化模型往往存在一定的局限性，優化程序調用有限元軟件進行反復計算會消耗大量的時間成本，為解決這一問題，本文采用IGWO算法分別建立SVM線形預測的關鍵參數優化模型和考慮線形控制的索力優化模型。首先使用有限元軟件建立一定的數據樣本供SVM模型進行學習，采用IGWO算法對樣本數據下的SVM參數進行優化，直至建立起樣本數據的最佳映射關系。其次建立實際工程問題的數學優化模型，以某大跨徑鋼管混凝土拱橋的索力優化問題為例，建立考慮線形控制的目標函數，將永久扣索力作為待優化參數，使用IGWO算法進行迭代尋優，將每一代進化后輸出的索力組合作為SVM的輸入向量進行線形預測，輸出當前索力下的種群適應度值，如此反復降低優化模型進行適應度評價時的時間成本，實現基于IGWO的組合優化效果。

優化模型1：SVM核函數的參數(c,g)取值對SVM預測模型的精度影響很大，通常情況下核函數參數根據測試經驗取值，十分影響預測結果，因此需要對SVM內部的(c,g)參數取值進行優化。將待優化向量機參數(c,g)轉化為灰狼個體在搜索空間中的坐標，在設計扣索張拉力的合理上下限區間隨機生成50組索力組合數據，代入拱橋有限元程序計算得到各標高控制點拱肋節段的計算標高。對索力—線形訓練樣本進行預處理后形成樣本集輸入SVM模型進行學習，以索力組合作為輸入向量，如式(11)所示使用預測線形與計算線形偏差的均方誤差對灰狼種群的尋優結果進行評價，最終得到IGWO迭代下的SVM最優參數組合

(11)

優化模型2：為得到考慮線形控制下的最優索力組合，采用IGWO算法建立拱橋的索力優化模型，優化問題的描述如式(12)所示。將扣索力組合X=(x1,x2,…,xj) 轉化為灰狼個體在搜索空間中的坐標形成初始種群，利用優化SVM的預測值計算狼群適應度，判斷IGWO算法是否達到最大迭代次數，若達到則輸出IGWO迭代下的最優索力組合。索力優化問題的數學模型如式(12)所示

(12)

式中：X表示待優化的索力輸入向量；ui表示第i個樣本的理論標高設計值；Δ為索力均勻度評價閾值；xmin和xmax表示扣索張拉力的上下限。

基于IGWO-SVM的索力優化流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖3 IGWO-SVM組合優化模型

步驟1 初始化SVM參數優化模型1的IGWO參數，設定灰狼種群規模為n=100，最大迭代次數為tmax=300，將待優化參數(c,g)編譯為狼群坐標，根據式(6)混沌映射公式將灰狼種群均勻分布至搜索空間內；

步驟2 根據式(7)更新收斂因子，計算灰狼種群適應度值，并將最優適應度賦予α狼；

步驟3 判斷算法是否達到最大迭代次數，若未達到則返回步驟2，若達到則輸出SVM最優參數組合，使用索力-線形訓練樣本測試更新參數后的SVM預測精度；

步驟4 判斷更新參數后的SVM是否滿足精度要求，若未達到則返回步驟1重新尋優，若達到則完成SVM線形預測模型優化；

步驟5 初始化優化模型2的IGWO參數，待優化參數為數學模型式(12)中的索力組合X，設定灰狼種群規模為n=100，最大迭代次數為tmax=300，將索力組合X編譯為狼群坐標，并對灰狼種群設置索力的約束條件，根據式(6)將灰狼種群混沌映射至搜索空間內；

步驟6 根據式(7)更新余弦收斂因子，根據式(4)、式(5)更新狼群在搜索空間中的位置；

步驟7 反編譯狼群坐標，并作為SVM輸入向量進行線形預測，將預測線形結果按式(12)中目標函數的計算方式返回優化模型2更新灰狼種群適應度值；

步驟8 判斷算法是否達到終止條件，算法終止條件為達到最大迭代次數，當算法未達到最大迭代次數時返回步驟6，以達到最大迭代次數時輸出α狼坐標并反編譯為索力組合X。

3 工程算例

3.1 工程背景與實驗參數

以某大跨徑鋼管混凝土拱橋為工程背景，主拱采用計算跨徑450 m的上承式鋼管混凝土變截面桁架拱，拱軸線系數為1.55，矢高100 m，矢跨比為1/4.5。拱圈采取斜拉扣掛纜索吊裝系統施工，主拱圈節段安裝采用兩岸對稱懸拼，共分14個吊裝節段，全橋僅保留5個正式扣段。采用有限元軟件對結構進行全施工階段建模，根據各施工節段的實際工況激活對應扣索?？鬯魇┕て矫娌贾萌?所示，有限元模型如圖5所示。

圖4 拱橋施工平面布置

圖5 有限元模型

實驗采用IGWO算法、SVM與有限元計算聯合仿真形式，數值計算平臺采用Midas Civil 2019，IGWO算法和SVM平臺采用Matlab 2019a，計算環境基本配置如下：操作系統為Windows10，CPU為i7-8700U，內存16 GB。建立兩個聯合仿真的子程序如下：

程序1：根據優化模型1在Matlab中編寫該大跨度鋼管混凝土拱橋的SVM線形預測模型參數優化程序，通過該鋼管拱的有限元模型樣本數據對SVM最佳參數組合(c,g)尋優；

程序2：根據優化模型2在Matlab中編寫該大跨度鋼管混凝土拱橋的索力優化程序，調用程序1作為索力尋優的適應度求解器，求解最優索力組合。

改進灰狼算法與支持向量機的初始參數設置見表2。

表2 初始實驗參數

3.2 SVM優化結果

為驗證SVM參數優化的效果，取一組新的樣本數據分別使用未優化參數的SVM、基于IGWO優化參數的SVM、基于粒子群算法(PSO)優化參數的SVM和基于遺傳算法(GA)優化參數的SVM分別進行學習預測，并計算線形預測結果與有限元仿真結果的線形偏差，取半結構進行分析。不同算法的優化的SVM線形預測結果如圖6所示，由圖可知，經過群體智能算法優化參數后的SVM預測精度明顯高于未經參數優化的原始SVM，原始SVM主拱拱肋第8、9、11、12節段線形預測偏差均大于10 mm，超過拱圈吊裝偏差的工程允許限值，而基于不同算法優化后的SVM所有節段線形預測偏差均小于10 mm。優化后的SVM主拱圈各階段的預測線形偏差均低于未優化的SVM，說明對核函數參數進行優化調整后可以有效提高SVM的預測精度。

圖6 預測精度對比

對比基于不同算法參數優化后的SVM預測結果可知，基于IGWO參數優化后的SVM線形預測精度明顯優于基于PSO和GA優化的SVM?；贗GWO優化的SVM預測偏差最大值出現在拱肋第4節段，為4.62 mm，最小值出現在第6節段，為0.65 mm，預測方差為1.08；基于PSO優化的SVM預測偏差最大值出現在拱肋第8節段，為7.32 mm，最小值出現在第4節段，為1.45 mm，預測方差為1.59；基于GA優化的SVM預測偏差最大值出現在拱肋第9節段，為7.27 mm，最小值出現在第3節段，為3.22 mm，預測方差為1.16。相較于原始SVM，基于IGWO優化后的SVM平均預測誤差下降69.2%，基于PSO優化后的SVM平均預測誤差下降48.7%，基于GA優化后的SVM平均預測誤差下降40.3%，由不同算法優化后的SVM預測結果精度可知，基于IGWO優化參數后的SVM相較于PSO和GA優化后的SVM具有更高的預測精度，預測誤差的方差最小，具有最高的預測精度和穩定性，對于樣本數據的泛化能力更強。

3.3 索力優化結果

圖7給出了IGWO在進行索力尋優過程中的適應度與迭代次數之間的關系曲線，由圖可知，灰狼種群進化到第100代左右時收斂速度明顯降低，至第225代左右時已基本收斂至最優解附近，并在最優解局部呈現出一定的抖動，說明改進后的灰狼優化算法在灰狼種群在收斂至最優解附近時仍然保留著一定的種群多樣性，維持算法在局部范圍內一定的開發能力。

圖7 適應度曲線

圖8給出了永久扣索優化結果，由圖可知，相較于永久扣索的原設計索力，基于IGWO優化后的永久扣索索力在1號索和5號索有小幅度的提升，分別為107 kN和80 kN；2號索和3號索有小幅度的降低，分別為46 kN和43 kN，其中4號索索力降幅最大，由1860 kN降低至1669 kN，降幅約10.3%。優化后的永久扣索索力分布均勻度得到了一定幅度的提升，在保證計算線形逼近目標線形的前提下，結構整體受力更為合理。

圖8 索力優化結果

圖9給出了索力優化前后的線形偏差計算結果，對比設計索力與優化索力的線形計算結果可知，基于IGWO優化后的索力組合大幅降低了拱肋各控制節段與理論標高的線形偏差，各控制節段計算線形與目標線形的相對偏差平均下降了5.25 mm，其中，拱頂處線形偏差平均降幅約為77%，驗證了IGWO-SVM組合優化模型的有效性。對比IGWO-SVM優化結果與有限元優化結果(FEM)可知，考慮到索力-線形為高度復雜的非線性映射關系，IGWO-SVM對優化后的索力組合適應性良好，預測結果與FEM計算結果保持了較高的一致性，平均相對誤差僅為9%。

圖9 線形偏差結果

傳統有限元法和IGWO-SVM組合優化模型的計算耗時見表3，從兩種方法的總優化耗時可以看出，在保證了優化效果的前提下，相較于傳統有限元優化方法，IGWO-SVM組合優化模型利用機器學習算法替代了有限元計算，極大縮短了優化程序的計算時間，大幅度提升了結構的優化效率，驗證了IGWO-SVM組合優化模型在工程優化問題上的有效性。

表3 計算時間對比

4 結束語

(1)基于混沌映射初始化種群和余弦收斂因子改進的IGWO算法相較于標準GWO算法性能得到大幅度提升，有效避免了算法陷入早熟，在4個測試函數中均收斂至理論最優解；

(2)相較于PSO算法和GA算法，基于IGWO算法優化后的SVM線形預測模型可以準確模擬大跨徑拱橋索力與線形的非線性映射關系，預測誤差最小，具有較強的學習泛化能力；

(3)基于IGWO-SVM建立的組合優化模型可以有效解決斜拉扣掛法施工的拱橋索力優化問題，相較于傳統有限元優化方法，大幅縮短了時間成本，提高了優化效率；

(4)本文提到的組合優化方法不一定對所有工程都具備良好的適應性，針對其它工程問題，未來可對SVM的核參數做出針對性的調整與改進，以達到對特定工程最佳的優化效果。