由一道2022年全國甲卷高考題引發(fā)的探究
——談?wù)勲x散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望

苗本彩

(山東省沂源縣第二中學(xué))

本文對2022年全國甲卷理科第19題進行展示和剖析,以問題為導(dǎo)向,厘清離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望問題的求解思路和方法,然后通過幾個類似的典型題目的訓(xùn)練提高學(xué)生對這類問題的處理能力,并探討高考數(shù)學(xué)中概率解答題的命題趨勢.

1 2022年高考題再現(xiàn)

題目(2022年全國甲卷理19)甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.

分析本題目主要考查了離散型隨機變量及其分布列,以及離散型隨機變量的期望與方差.這類題型考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).要解答這道高考題,首先要根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式,求出甲學(xué)校獲勝2場或3場的概率,由此可以得到甲學(xué)校獲得冠軍的概率;然后再去思考乙學(xué)校的總得分X的可能取值,分別求出X取上述值時的概率,由此求得分布列與數(shù)學(xué)期望.

2 解法探究

(1)甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,則兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如表1所示.

表1

甲學(xué)校要獲得冠軍,需要在3場比賽中至少獲勝2場.甲學(xué)校3場全勝的概率為

甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場的概率為

所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P＝P1＋P2＝0.6.

(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為

則X的分布列如表2所示.

表2

3 離散型隨機變量分布列的求解策略

對離散型隨機變量分布列的考查是概率考查的主要形式,那么準(zhǔn)確地列出分布列顯得至關(guān)重要,下面探討如何準(zhǔn)確求解離散型隨機變量的分布列.

1)弄清“隨機變量的可能取值”

弄清“隨機變量的可能取值”是第一步,確定隨機變量的取值時,要做到準(zhǔn)確無誤,同時需要注意隨機變量是從幾開始取值,每種取值對應(yīng)幾種情況.

2)弄清事件類型

計算概率前要確定事件的類型,同時正確運用排列與組合知識求出相應(yīng)事件的概率.

3)注意驗證隨機變量的概率之和是否為1

通過驗證概率之和是否為1,可以檢驗所求概率是否正確,還可以檢驗隨機變量的可能取值是否重復(fù)或遺漏.

4 針對性訓(xùn)練

練習(xí)1為響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號召,小李畢業(yè)后開了水果店,水果店每天以每個5元的價格從農(nóng)場購進若干西瓜,然后以每個10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的西瓜作贈品處理.

(1)若水果店一天購進16個西瓜,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:個,n∈N)的函數(shù)解析式.

(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量(單位:個),整理得到表3.

表3

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

(ⅰ)若水果店一天購進16個西瓜,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差;

(ⅱ)若水果店計劃一天購進16個或17個西瓜,你認(rèn)為應(yīng)購進16個還是17個? 請說明理由.

(2)(ⅰ)依題意可得X的可能取值為60,70,80,則P(X＝60)＝0.1,P(X＝70)＝0.2,P(X＝80)＝0.7,所以X的分布列如表4所示.

表4

(ⅱ)購進17個時,當(dāng)天的利潤為

因為76.4＞76,所以應(yīng)購進17個.

練習(xí)2某企業(yè)生產(chǎn)一種如圖1所示的電路系統(tǒng):要求三個不同位置1,2,3 接入三種不同類型的電子元件,且備選電子元件為A,B,C型,它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.6.假設(shè)接入三個位置的電子元件能否正常工作相互獨立,當(dāng)且僅當(dāng)1號位元件正常工作,同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時,電路系統(tǒng)才能正常工作.

圖1

(1)共可組裝出多少種不同的電路系統(tǒng)?

(2)求出A在1號位,B在2號位,C在3號位時該電路系統(tǒng)正常工作的概率,并指出組裝出的不同的電路系統(tǒng)中能正常工作概率的最大值,說明理由.

(3)若以每件5元、3元、2元的價格分別購進A,B,C型元件各100件,組裝成100套電路系統(tǒng)出售,設(shè)每套系統(tǒng)組裝費為20 元.每套系統(tǒng)的售價為150元,但每售出1套不能正常工作的系統(tǒng),除了退還購買款,還將支付售價的3倍作為賠償金,求生產(chǎn)銷售100套電路系統(tǒng)的最大期望利潤.

6種電路系統(tǒng)正常工作的概率只有下面不同三類:用A,B,C分別表示事件“1號位接A,B,C型元件時,電路系統(tǒng)能正常工作”,則

因為P(A)＞P(B)＞P(C),所以當(dāng)1號位接入A型元件時,電路系統(tǒng)正常工作的概率最大,最大值為0.828.

(3)電路系統(tǒng)正常工作的概率越大,期望利潤會越高,應(yīng)把A型元件接入1號位,設(shè)每套電路系統(tǒng)的利潤為X,若能正常工作,則X＝150－20－10＝120元;若不能正常工作,則X＝－20－10－450＝－480元,所以X的分布列如表5所示.

表5

E(X)＝120×0.828—480×0.172＝16.8元,故生產(chǎn)100套電路系統(tǒng)的最大期望利潤為100×16.8＝1680元.

(完)