基于大小交路的城軌列車開行頻率與票價綜合優化方法

陳治亞，蘇慧杰，徐光明，歐陽灝

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

城市公共交通系統中包含多種運輸方式，其中城市軌道交通以能耗低、運量大、換乘便捷等優勢成為城市公共交通的重要支撐和旅客出行的優先選擇，承擔了大量旅客運輸工作，截止到2020年底，城市軌道交通近五年來共輸送旅客約971.5億人次。但隨著城軌線網的不斷完善，部分線路客流出現時空分布不均衡現象，具體表現為高峰時段與其他時段出行客流量差異性較大和線路部分區間斷面客流量突變等。針對上述客流分布特征，為緩解高峰時段客流壓力，提升列車運輸能力利用率，當前學者主要對城市軌道交通列車開行方案優化、城市軌道交通票價優化及兩者的綜合優化展開研究。HASSANNAYEBI等[1]在考慮客流出行需求和列車發車時間不固定的基礎上，設計兩階段模擬方法生成列車發車時刻表。CANCA等[2]通過分析開行小交路列車對滿載率和乘客平均等待時間的影響，構建以小交路列車分擔客流最大化為目標的開行方案優化模型。TIRACHINI等[3]以企業運輸成本和乘客出行成本最小為目標，以區間車折返站位置和發車頻率為決策變量，構建開行區間車的優化模型。DELLE等[4]以運輸乘客最大化和運營企業收益最大化為目標，構建開行區間車的公交優化調度模型。代存杰等[5]通過分析乘客出行需求的時空特征，考慮動態客流需求及大、小交路開行模式，從乘客、列車和企業3個角度構建列車開行方案的多目標混合整數非線性優化模型。姚恩建等[6]從城市軌道交通服務的效率和公平特性出發，提出面向列車運能利用和乘客延誤度均衡的城市軌道交通大小交路開行方案優化方法。鄧連波等[7]從乘客彈性出行需求角度考慮，構建基于彈性需求的多目標雙層規劃模型，并設計模擬退火算法進行求解，得到線路各運營時段大小交路開行頻率、列車編組數量和運營時段時長。ARMSTRONG等[8-9]基于旅客的出行行為，對旅客在不同票價水平下對票價升高或降低的敏感程度展開研究。馬芳[10]在計算高峰期阻抗函數時考慮了擁擠效應和換乘延誤時間，完善了乘客高峰時期出行的出行費用。周文梁等[11]通過對OD間服務列車進行聚類分級，構造價格-需求彈性函數，構建以客票票價收益最大化為目標的協同優化模型。楊文靜[12]在匯總分析國內城市軌道交通客流特征、票制和票價優惠現狀基礎上，引入需求彈性理論，重點研究北京市軌道交通不同類型乘客的票價敏感性，并提出3種適用的分時票價策略。禹丹丹等[13]基于地鐵峰前折扣政策，研究其對乘客出發時間的影響，并測定了不同類別乘客出行發時間對票價變動的敏感程度。鄒慶茹等[14]基于票價變動對高峰客流的影響，在考慮了運營企業可承擔的收益損失外，構建以列車運力運量最大化為目標的峰前折扣定價方案編制模型。劉文馳等[15]在充分考慮城市公交定價及其發車頻率對乘客需求和路徑選擇影響的情況下，通過構建雙層規劃模型并對具有彈性需求的城市公交網絡進行了票價結構和發車頻率的組合優化。在現有研究基礎上，本文對城市軌道交通票價和線路大小交路列車開行頻率進行綜合優化，考慮旅客彈性出行需求，結合旅客的出行時段選擇行為，分析不同運營時段內的旅客出行需求，構建雙層規劃模型，并設計算法進行求解。

1 問題分析

1.1 符號定義

為便于描述城市軌道交通不同運營時段內旅客出行需求，鑒于城市軌道交通線路上下行客流分布特征的相似性，本文僅考慮線路上行方向出行旅客。如圖1所示，將城市軌道交通線路記為(N，A)，N和A分別表示線路節點集和區間集，其中N={1，2，…，n}表示沿上行方向進行排列的車站。設定線路開行大小交路，Nˉ為小交路列車運行區間節點集，n1，n2為小交路列車折返站，n1，n2∈Nˉ∈N，Aˉ為小交路列車運行區間集，Aˉ∈A。定義W為旅客出行需求的OD對集合，Wˉ表示小交路區段內旅客出行需求的OD對集合，Wˉ∈W，其中rs表示起點為r終點為s的對OD，rs∈W，且1＜r＜s＜n。

圖1 城軌線路多時段開行方案示意圖Fig. 1 Schematic diagram of multi- period operation scheme of urban rail line

根據旅客出行需求隨時間的變化規律，將城市軌道交通總運營時間劃分為若干個運營時段，城市軌道交通列車全日總運營時間為[ts，te]，定義T={t=1，2，…，m}為運營時段集合，其中m表示劃分時段個數，每個時段時長為例如Δt取值為1，表示設定1 h為一個時段，并將每個運營時段內首輛車在始發站的發車時間定義為該運營時段的起始時間。為使優化方案與各運營時段旅客出行規律更加吻合，本文以時段為基本單位，研究城市軌道交通列車全日總運營時長范圍內多個時段內的列車開行頻率及OD出行票價。

定義flt表示t運營時段內l交路的列車開行頻率，其中l=1表示大交路列車，l=2表示小交路列車。如圖1中所示，不同運營時段內根據實際客流情況確定列車開行方案。每個時段內列車開行頻率等于發車時間位于該時段內的所有列車數，例如f11，f12，f13表示發車時間位于1，2，3時段內的大交路列車開行數量，同理f21，f22，f23表示發車時間位于1，2，3時段內的小交路列車開行數量。

對城軌線路客流進行分析，將OD對rs的潛在出行需求記為Qrs，基于OD對rs的期望最小出行費用及客流的彈性需求系數，將OD對rs的彈性出行需求記為qrs，基于不同運營時段內OD對rs的出行費用的差異性，將OD對rs在t運營時段內的出行需求記為。

為便于闡述問題模型，現對本文中優化問題做出相關基本假設：

1) 研究線路各OD之間潛在客流需求已知，不考慮旅客換乘情況。

2) 線路開行大小交路列車車型相同、編組數量相同，列車運行過程中均為站站停。

1.2 旅客出行費用分析

旅客在進行出行時段選擇時，通常以出行費用作為選擇依據。旅客整個出行過程中，出行費用包括時段固定費用、車票費用、候車時間費用、在車時間費用和旅客在車擁擠費用5個部分。

在城市軌道交通運營時段內，由于不同運營時段對旅客出發的吸引程度存在差異，從而出行客流具有明顯的時段特征，即時段固定費用。用量化表達時段t中OD對rs的時段出行固定費用，該費用與旅客出行客流量多少無直接聯系，與出行人群類別、出行者職業及出行者不同出行目的分布相關。

旅客車票費用采用票價率和基礎票價進行量化表達，t運營時段內OD對rs的車票費用為

式中：pt為t運營時段內票價率；Prs為OD對rs基礎票價。

旅客車站候車時間是候車時間費用的具體表現形式，既有研究表明，乘客到達車站的過程可以看作是一個獨立于列車到發車站的過程，且到達過程呈均勻分布，乘客的平均候車時間取發車間隔的一半。所以，在t運營時段內出發的OD對rs的候車時長為

旅客的在車時間費用以列車純運行時間Irs進行量化表達，本文中列車運行速度為固定值，即旅客的在車時間費用僅與出行距離有關。

當運營時段內區間斷面客流量大于列車運輸能力時，會產生擁擠費用。本文以時段為單位，計算時段內所有旅客的平均在車擁擠感知費用，旅客在車擁擠感知費用由區間擁擠度進行量化表示。

在t運營時段內，區間(k，k+1)的斷面客流量為

表示在t運營時段內從k站上車經過區間(k，k+1)的旅客數，計算公式如下

在t運營時段內，區間(k，k+1)的擁擠度可以表示為

式中：α和τ分別表示車廂擁擠系數；tk表示區間(k，k+1)的列車純運行時間。

綜上所述，運營時段t內OD對rs的出行費用為

式中：σ為時間轉移參數。

2 雙層規劃模型構建

城軌線路客流時空分布情況與列車開行頻率和票價密切相關，為保證各運營時段內線路列車運輸能力和票價與旅客出行需求相匹配，本文構建雙層規劃模型。上層模型為多時段大小交路列車開行頻率及票價綜合優化模型，下層模型為基于彈性需求的多時段隨機客流分配模型，上層模型對大小交路列車開行頻率和票價進行合理優化，下層模型中客流分配結果評價大小交路列車開行頻率和票價優化效果，并將優化效果反饋至上層模型，上層模型根據下層模型的反饋信息調整優化方案，最終實現城軌線路多時段下大小交路列車開行頻率和票價綜合優化。

2.1 基于彈性需求的多時段隨機客流分配模型

旅客出行費用大小直接影響乘客的出行行為選擇，通過對不同運營時段內出行費用的比較，旅客出行選擇可在不同運營時段之間發生轉移。以旅客不同時段內的出行費用作為效用函數，表示OD對rs選擇時段t出行的效用，采用Logit模型，OD對rs在運營時段t內的出行概率可以表示為：

式中：θ為正標度參數。

當OD對rs在所有時段的出行費用相等時，即所有時段出行費用均為最小出行費用，所有時段被選擇的概率均等。記為OD對rs的期望最小出行費用，可以表達為

通過構造旅客彈性出行需求函數描述OD出行需求量與旅客出行費用之間的關系，引入彈性系數，采用指數函數形式對客流需求進行量化表達，OD對rs的可以表示為如下形式：

結合旅客彈性出行需求，線路中多時段間的客流分配過程可由Logit模型進行確定，則OD對rs的旅客在運營時段t內的出行需求可以表示為

基于彈性需求的多時段隨機客流分配模型由公式(1)～(14)表示，構造非線性互補問題模型如下：

2.2 多時段大小交路列車開行頻率及票價綜合優化模型

針對城市軌道交通特性，本文綜合優化方案的服務對象為旅客，所以企業效益應從服務旅客效益和企業運營成本支出兩方面進行綜合考慮，即本文中企業效益通過服務旅客效益和運營成本之差進行表示。其中，以所有旅客的票價成本表示企業的票價收益，表示企業的車票收入，以所有旅客人車公里數表示企業所實行列車開行方案所能提供的客流服務水平，以企業運營成本表示企業維持列車正常運轉及服務更多旅客所需的費用成本。

在城市軌道交通列車全日總運營時長范圍內，運營企業的票價收益可以表示為

在城市軌道交通列車全日總運營時長范圍內，所有旅客人車公里可以表示為

企業運營成本由列車費用和人工費用組成，其中列車費用由列車走行公里數進行量化，人工成本由列車運行時間進行量化，在城市軌道交通列車全日總運營時長范圍內，企業運營成本可以表示為

綜上所述，多時段大小交路列車開行頻率及票價綜合優化模型可以表示為

式中：通過下層模型中的客流分配方法求得；drs表示r站與s站之間站間距，km；μ表示每列車公里費用，元/km；ε表示單列車運營費用，元/列；?為費用轉換參數；fmax為線路最大發車頻率，列/h；fmin為線路最小發車頻率，列/h；pˉ和p?分別表示票價率最小、最大取值。式(19)～(21)為發車頻率約束；式(22)為票價率約束，防止票價倒掛。

3 算法設計

雙層規劃模型是一個NP-Hard問題，一般采取啟發式算法進行求解，作為啟發式算法之一的遺傳算法是模擬自然進化過程搜索最優解的方法，具有較強的適應性，較多研究將其應用于求解列車開行方案問題，因此，本文根據模型特征，設計嵌套Logit隨機用戶客流分配方法的遺傳算法對模型進行求解。主體算法為遺傳算法，基于Logit的隨機用戶客流分配算法用來求解給定列車開行頻率和票價下的多時段客流分配問題，同時下層模型得到的客流分配結果作為參數反饋至上層模型，通過上下層模型的反復迭代調整，最終得到最優的大小交路列車開行頻率和票價。

3.1 基于Logit的隨機用戶客流分配算法

輸入：城市軌道交通線路(N，A)，OD對rs的潛在出行需求Qrs，小交路運行車站集，小交路列車運行區間集，運營時段集合T，時段固定費用ΔCrst，列車標準載客量M，擁擠度校正系數α，τ，時間轉移參數σ，彈性需求系數ωrs，正標度參數θ，收斂精度ε，迭代次數N。t∈T，rs∈W。

輸出：OD對rs在t運營時段內的出行需求，OD對rs的彈性出行需求qrs。

步驟1：初始化，n=1；

當t∈T，rs∈W，初始化OD對rs在t運營時段內的出行需求(n)=0；

當rs∈W，初始化OD對rs的彈性出行需求qrs(n)=0；

步驟2：Logit隨機用戶均衡分配

利用式(1)～(5)計算OD對rs在t時段的出行費用(n)；

利用式(8)計算OD對rs在t時段出行的期望最小出行效用；

利用式(9)得到OD對rs的彈性出行需求(n)；

利用式(7)計算OD對rs的旅客在運營時段t內的出行比例(n)；

利用式(10)計算OD對rs的旅客在運營時段t內的出行需求(n)；

步驟3：MSA流量更新

步驟4：檢查收斂性

如果迭代次數n＞N或1＜n＜N滿足精度要求

算法停止迭代；

否則n=n+1；進入步驟2。

3.2 遺傳算法

染色體編碼、解碼過程

編碼：上層模型決策變量為多時段大、小交路列車開行頻率f1t，f2t及多時段票價率pt，均為離散變量，因此，本文采用0-1二進制編碼方式對染色體進行編碼。

大交路列車開行頻率取值范圍為(fmin，fmax)，區間長度為d1=fmax-fmin，設定區間精度為m，則區間共包含(d1/m)個取值。二進制串長度n滿足2n-1＜(d1/m)＜2n-1，即大交路列車開行頻率二進制串長度n1=[log2(d1/m)]+1。同理，小交路列車開行頻率二進制串長度n2=[log2(fmax/m)+1]，票價率二進制字符串長度

解碼：將二進制字符串轉化為十進制的過程為染色體解碼過程，即利用區間占比完成該步驟，轉換公式可表示如下：

式中：mi，ki，ui分別為大列車開行頻率基因、小交路列車開行頻率基因和票價率基因對應二進制字符串。

受模型約束(19)～(21)限制，隨機生成的初始解可能不滿足約束條件，為避免產生不可行解，盡快達到最優解，提出初始染色體生成方案：

步驟1：根據染色體中各基因編碼長度隨機生成各時段大、小交路列車開行頻率f1t，f2t及票價率pt。

步驟2：對隨機生成的大、小交路列車開行頻率進行判斷，若f1t+f2t≤fmax?t∈T，則滿足初始解生成需求，否則令f2t=fmax-f1t，即生成初始解。

遺傳算法流程

步驟1：初始化。設定種群規模N，變異概率Pm，交叉概率Pc，迭代次數Lmax。從初始解中選取N個染色體作為父代種群，令初始迭代次數L=0；

步驟2：適應度函數計算。本文中直接將目標函數值作為適應度函數值；

步驟3：選擇操作。根據各染色體適應度函數值及輪盤賭策略從父代中選擇N個個體構成子代種群，迭代次數L=1；

步驟4：交叉操作。選擇單點交叉，給定交叉概率Pc，從子代種群中隨機選擇2個染色體，生成隨 機 數δ∈(0，1)，若δ≤Pc，隨 機 產 生 整 數φ∈[1，|φ|]，將2染色體的第φ位至第|φ|位基因進行互換，產生2個新的子代染色體。若δ＞Pc，則不進行交叉操作；

步驟5：變異操作。給定變異概率Pm，產生隨機數τ∈(0，1)，若τ≤Pm，則執行變異操作。隨機選取種群中某個個體中的某些基因進行二進制等位替換，從而形成新的個體。判斷變異后染色體是否滿足約束(19)～(21)，若變異后染色體滿足相應約束條件且適應度值優于父代，則可直接進入下一次迭代。若不滿足約束條件，則對變異后染色體中相應基因位進行調整，如果大、小交路開行頻率之和不滿足線路最大開行頻率，則保持大交路開行頻率f1t不變，令小交路列車開行頻率f2t=fmax-f1t。調整后的染色體進入下一次迭代；

步驟6：算法終止判斷。令L=L+1，若L＞Lmax，停止計算；否則，轉入步驟3。

4 算例分析

4.1 算例參數設置

以某條城市軌道交通線路為例，以線路工作日出行客流為基礎，線路全長23.1 km，共20個車站，其中小交路區段為第5～15站，小交路區間長度為10.6 km。線路站間距如表1所示，線路運營時間為6:00～23:00，以1 h為時間間隔劃分運營時段，共劃分17個運營時段，其中2和3時段為早高峰時段，12和13時段為晚高峰時段。

表1 站間距Table 1 Station spacing

基于旅客出行距離對彈性需求系數進行研究，對于短途出行旅客，其可選出行方式較多，公交的可代替性更強，彈性系數值相應較大。而對于長途旅客，依托公交完成整個出行過程通常需要多次換乘且換乘等待時間不穩定，此種情形下城市軌道交通的被替代性較低，彈性系數值相應較小。模型其他參數取值見表2。

表2 模型相關參數設置Table 2 Parameter setting

4.2 優化結果分析

運用Matlab2021a進行編程求解，目標函數取得最優值時，對應得到每個OD對在不同時段的出行需求，得出各個運營時段對應的大、小交路列車開行頻率和各個運營時段票價優化率，各運營時段大小交路列車開行頻率優化結果見表3，各運營時段票價率優化結果見圖2。以OD對 (7, 10)為例，對比模型優化前后同一OD對在不同運營時段內的客流分配情況，對比結果見圖3。

圖2 各運營時段票價率優化結果Fig. 2 Optimization results of fare rate in each operating period

表3 各運營時段大小交路列車開行頻率Table 3 Operation frequency of full-length and short-turn routing trains in different operating hours

顯然，從圖2票價率優化結果圖中可以看出，優化后時段2，3，12和13票價率均在1.5左右，時段7，8和9票價率在1.0附近波動，其余時段票價率均小于0.8，結合圖3可以看出，優化后各運營時段內客流增降情況與各運營時段內票價增降趨勢相反。從圖3中可以看出，優化后，時段2，3，12和13票價提升，使得該時段中部分潛在出行旅客向其他低票價時段轉移，有效降低了該時段內的出行客流量。時段7，8和9內票價基本保持不變，因為該時段內旅客出行群體較為固定，客流出行穩定，受票價浮動影響程度較小，所以票價調整前后客流在該時段內的分布浮動較小。其余時段通過降低票價吸引更多旅客選擇該時段出行，使得該時段內客流量均有所上升。通過OD對在不同時段間的客流分配情況可以看出，通過調節票價在一定程度上能夠起到降低高峰運營時段內出行客流，均衡其他運營時段內出行客流的作用。

圖3 OD對(7,10)優化前后各運營時段客流分配情況對比圖Fig. 3 Comparison chart of passenger flow distribution in each operation period before and after optimization

為驗證線路開行大小交路列車能夠充分滿足線路大客流區段的旅客出行需求，對優化前后各運營時段內區段客流量與列車運輸能力進行對比，對比結果見圖4和圖5。從圖4可以看出，線路客流時空分布不均衡，高峰運營時段內線路實行最大列車發車頻率仍無法完全滿足該時段內的旅客出行需求，造成高峰運營時段客流量過大，而其他運營時段內列車運輸能力遠大于旅客出行需求，造成列車運力浪費。從圖5可以看出，通過優化票價調節不同運營時段內的客流分布，有效降低各運營時段內最大斷面客流量，均衡各運營時段內區段客流量，且通過優化各運營時段大小交路列車開行頻率，使列車運輸能力與各運營時段內OD對出行需求相匹配。由此可以看出，線路開行大小交路列車能夠在充分滿足旅客出行需求的基礎上，使列車運輸能力利用更加合理，調節線路客流在時空方面的分布不均衡。

圖4 斷面客流量與列車運輸能力關系圖(優化前)Fig. 4 Section passenger flow and train transport capacity relationship diagram (before optimization)

圖5 斷面客流量與列車運輸能力關系圖(優化后)Fig. 5 Section passenger flow and train transport capacity relationship diagram (after optimization)

對求解得到的優化方案與初始方案就行對比，對比結果見表4。其中列車總開行數量增加8.18%，企業票價收益增加18.98%，旅客人車公里增加4.86%，企業運營成本減少16.49%，目標函數值增加10.42%。通過優化前后結果對比可以看出，對城軌線路進行票價綜合優化能夠在一定程度上吸引更多旅客選擇城市軌道交通，有效提升了企業票價收益，提高了旅客人車公里數，同時開行大小交路列車能夠在充分滿足旅客出行需求的基礎上，避免了線路兩端區間的列車運輸能力浪費，有效降低了企業運營成本。

表4 優化方案與原始方案對比結果分析Table 4 Analysis of comparison results between the optimized scheme and the original scheme

遺傳算法迭代收斂圖見圖6。從圖6可以看出，目標函數隨迭代次數增長而不斷改善，優化目標函數值在迭代150次左右時開始收斂，表明優化算法具備較好的收斂性能。

圖6 遺傳算法收斂圖Fig. 6 Convergence diagram of genetic algorithm

目標函數中?的取值影響運營企業效益和城市軌道旅客輸送能力之間的平衡，體現了企業和旅客雙方之間的博弈關系，對比?的不同取值對旅客出行總成本和企業收益變化趨勢的影響，對比結果圖見圖7。

從圖7可以看出，隨著?值的不斷增大，旅客出行總成本和企業運行效益均呈下降趨勢，?值的不斷增大意味著旅客人車公里數在目標函數值中所占比重不斷增大，即城軌線路開行列車數量增加。隨著城軌線路開行列車數量的不斷增加，旅客的出行服務質量得到提升，出行總成本下降，同理，企業的運營成本也逐漸提高，企業運營收益不斷降低。

圖7 ?值對旅客出行總成本和企業收益的影響Fig. 7 Influence of ? value on the total cost of passenger travel and enterprise income

5 結論

1) 本文構建雙層規劃模型對多時段大小交路列車開行頻率和票價進行綜合優化，優化結果表明，列車開行頻率優化結果與客流分配結果得到較好吻合，能夠充分滿足旅客的出行需求，降低高峰時段最大斷面客流量，緩解城軌線路客流時空分布不均衡現狀。

2) 由于不同運營時段內旅客出行費用不同，旅客基于廣義出行費用函數進行時段選擇時會趨向于費用較低的時段出行。分時段優化票價，能夠降低高峰運營時段客流量，使OD對在不同運營時段的出行需求分布更為均衡，在一定程度上能夠緩解城軌線路客流在時間層面上的分布不均衡現象。

3) 相較于開行單一交路，城軌線路分時段開行大小交路列車能夠充分滿足不同運營時段內各區段的旅客出行需求，使列車運能與客流需求更加匹配，在一定程度上能夠緩解城軌線路客流在空間層面上的分布不均衡現象，起到合理利用列車運能，避免資源浪費的作用。

4) 本文雖然構建了大小交路列車開行頻率與票價的綜合優化模型，并分析了開行大小交路和進行票價優化對線路客流時空分布的影響，但目前研究僅局限于非換乘客流，沒有考慮不同線路間的換乘客流，可將其作為之后的研究內容。