在做中深入理解概念的本質
——對青島版數學教材六年級上冊“圓的認識”教學的思考

山東德州市平原縣王杲鋪鎮中心小學 （253105） 李林環

教學“圓的認識”一課，教師圍繞圓設計一系列的“做數學”活動，如看圓、做圓、畫圓、欣賞圓等。通過不同的實踐活動，可以讓學生深入地理解圓的構成，掌握圓這一知識點，并能較好地理解圓的要義——它是一個完全封閉的曲線圖形，是一個從定點到曲線上任意點同長的圖形。下面，筆者結合不同的實踐活動，就如何在活動中引導學生較好地感悟圓的構造、理解圓的本質，簡略談談幾點做法。

一、用實物拓畫圓，感知圓是曲線圖形

圓在小學階段是一個特殊的知識點，因為它有別于學生經驗中早就存在的長方形、正方形、梯形等圖形。盡管在一年級的“認識圖形”中，學生初步認識了圓、圓柱和球，但對這些知識點僅僅處于了解層面，并沒有真正觸及知識的內核。為此，筆者在教學中通過具體的實物，引導學生更好地感知圓的存在，并通過用實物拓畫圓的活動，幫助學生體會圓是“由曲線圍成的圖形”這一知識要點。

師：我們觀察了這么多的圖形，也說出了很多身邊的圓，想不想利用自己準備好的學具，創造出一個漂亮的圓？

（學生對此充滿興趣，迫不及待地想要嘗試）

生1：沿著茶杯蓋子畫一圈，就能得到一個圓。

生2：我用一元的硬幣畫出了一個圓。

生3：我用膠帶中間的那個硬紙板圓圈，也畫出了一個圓。

生4：我用圓形的學具畫出了一個漂亮的圓。

生5：我可以用一根硬鐵絲拴住一支鉛筆轉一圈，畫出一個圓。

師：回憶自己畫圓的過程，思考一下，圓是一個什么樣的圖形？它給你最明顯的感覺是什么？

生6：圓的邊不像長方形、正方形那樣是直直的，而是一條彎彎的線。

生7：圓的邊是彎曲的，但畫出來后感覺蠻圓滑的，整個圖形很漂亮。

生8：畫圓時要仔細、認真，不然就會畫歪曲。

生9：我怎么感覺圓有點怪怪的。你們看，它沒有頂點，也看不到角。

師：經過討論交流，結合自己的思考，誰能比較簡潔地說出自己對圓的理解？

生10：圓是一個曲線圖形。

生11：圓的邊不是直線，而是彎曲的。

師：看來，同學們對圓的認識還是蠻豐富的。大家想不想結合以前認識長方形、三角形、平行四邊形等平面圖形的經驗，對圓做一個較為合理的解釋或歸納呢？

……

“數學源于生活，用于生活，高于生活”，所以數學教學應該貼近學生的生活現實、已有的知識經驗。上述教學，筆者緊扣用實物拓畫圓這一主旨，一方面，激活學生對圓的已有認知；另一方面，讓學生在具體的用實物拓畫圓中，感受圓的邊不是直線構成的，而是彎曲的，幫助他們初步形成圓是曲線圖形的感知。通過用實物拓畫圓的活動，能夠幫助學生更好地理解圓的構造：它不像三角形、梯形、正方形等平面圖形，邊是一條直直的線段，有頂點；圓是沒有直的邊，也沒有頂點的。這樣教學，能使學生更好地聯系舊知進行探究性學習，體會圓的特殊之處，對幾何初步知識的學習更加理智。

二、用拉繩試畫圓，掌握圓的基本要點

圓在中國古代數學文獻中是這樣描述的：“一中同長。”何為“一中同長”？“一中”就是指一個圓的圓心是唯一的，也是確定圓的位置的根本要素；“同長”就是指圓心到圓上任意點的距離都是相等的。為此，筆者在教學中設計了一個體驗活動——用拉繩試畫圓，即讓學生在拉繩、定位等具體翔實的活動中，初步感知“一中同長”的基本要義。這樣能讓學生較好地掌握圓的基本要點，為建構圓的數學模型提供認知支持，進一步拓展思考空間。

師：剛才是用具體的圓形物品來拓畫圓的，你在生活中還見過這樣的畫圓方法嗎？

課件呈現：體育老師在操場上用一條較長的繩子，畫出了一個大大的圓。

生1：見過，我們體育老師也這樣畫過圓。

生2：園林工人在修剪草坪時，也先用繩子畫出一個圓，再修剪草坪，這樣可以修剪出漂亮的圓形圖案。

師：你認為在這樣的畫圓活動中，哪些材料是必備的？

生3：固定繩子用的木樁，還有一定長度的繩子。

師：是不是給這樣的材料，你就能畫出圓來呢？材料袋中就有相關的材料 （有圖釘、棉線等），你們能用這些材料畫出一個圓來嗎？小組合作試一試。

（學生進行畫圓，并把自己的思考和操作過程在小組中交流）

生4：我先用圖釘把棉線的一端固定在小木板上，再在棉線的另一端捆綁好一支紅筆，然后拉動紅筆在木板上轉一圈，就得到了一個圓。不過，這個圓不是很漂亮。

師：方法基本正確。可為什么有的同學畫出的圓比較圓潤、光滑，而有的同學畫出的圓卻是歪歪扭扭的呢？先看一下視頻，再進行分析。

（課件播放用圖釘畫圓的具體過程）

生5：我發現要畫好一個圓，首先要把圖釘固定牢，不能晃動，不然圖釘一晃動，畫出的線就會歪曲；其次，一定要把棉線拉緊、繃直，不然一會兒畫的短些，一會兒畫的長些。

師：你的分析很透徹。可為什么要這樣做呢？

生6：將圖釘固定牢，就是保證圓心的位置不會發生變化。

生7：繩子不能松，就是保證紅筆與圖釘之間的距離是固定不變的，要不然就會時長時短了。

師：你們真是一群愛觀察、愛動腦筋，更會動手實踐的聰明孩子！那你們知道這些注意點，在數學上又是怎樣表述的嗎？請仔細觀察視頻，并認真閱讀相應的解說詞。

（課件播放拉繩畫圓的視頻，呈現圓的基本要素）

……

用拉繩法畫圓，遠比用實物拓畫圓要復雜得多，能讓學生體會到圖釘的具體作用，發現圖釘的位置決定了整個圓的位置。同時，學生感悟到筆與圖釘之間的距離越大，畫出的圓就會越大；反之，就會變小。這樣的活動還能幫助學生較好地感知圓的圓心、半徑等基本要素，明白這些要素與拉繩畫圓之間的內在聯系。通過具體的操作、反思與交流等活動，讓圓的定點、定長變得不再神秘，而是清清楚楚地呈現在學生的眼前，使學生獲得最為真切的學習體驗。

三、用圓規試畫圓，感悟圓的本質屬性

用圓規畫圓是一種最直觀，也是最有效的畫圓方法。這樣既能呈現拓畫圓的圓潤與完美，又能呈現拉繩畫圓的基本原理，更好地展現圓的基本屬性，從而最大限度地豐富學生對圓的認識。同時，還能在具體的畫圓活動中孕伏圓的諸多屬性，對學生建構圓的數學模型大有裨益。

師：如何克服拓畫圓、拉繩畫圓等方法中的不足呢？該如何選擇畫圓的工具呢？

生1：用圓規，它能更好地畫出圓來。

師：是嗎？你會使用圓規畫圓嗎？自己試試，并把畫圓的過程和想法告訴你的同伴。

（學生用圓規試著畫出不同的圓）

生2：先把圓規的釘腳固定在一點，再叉開另一只鉛筆腳，將它在紙上旋轉一周，就能畫出一個圓。

師：你的描述很精彩。圓規有兩只腳，分工不同，作用也不一樣。

生3：是的。圓規的釘腳是固定用的，鉛筆腳是畫圓用的。

生4：圓規的釘腳是不動的，鉛筆腳會走路。

生5：圓規兩腳之間的距離決定了圓的大小，這也是圓的半徑。

師：不錯！圓的半徑在哪里？有幾條？它們的長度關系又是怎樣的？

生6：圓心到曲線上的連接線段，就是圓的半徑；一個圓中，半徑有無數條，它們都是圓規兩腳之間的距離，是一樣長的。

師：你能畫出一個半徑是2厘米的圓嗎？

（學生嘗試用圓規畫圓）

生7：先把圓規兩只腳的距離調整為2 厘米，再畫圓，這樣就能畫出半徑是2厘米的圓了。

生8：我明白了。圓規兩腳之間是幾厘米，畫出的圓的半徑就是幾厘米。

……

指導學生用圓規畫圓，不只是為了完成教學任務，還要幫助學生掌握重要的數學技能，豐富他們的數學活動經驗。為此，在教學中，筆者首先組織學生開展自主使用圓規的活動，讓學生在練習紙上用圓規畫出自己認可的圓。通過觀察圓規、使用圓規畫圓的活動，幫助學生更加直觀地認識圓，學會用自己的方式去解讀圓的構成。其次，組織畫圓的交流活動，讓學生的感性經驗、活動經驗得以豐富，較好地幫助學生理解圓的本質。最后，引導學生畫出指定的圓，讓整個學習活動躍升為學以致用的境界，顯得自然、高效，富含智慧。

四、自主選擇畫圓，促進圓的認知構建

教師需要深入鉆研數學教材和課程標準，精心打磨教學細節，創設具有探究性的問題情境，促使學生積極開動腦筋，在思維碰撞中迸發出靈感，在獲得解決問題方法的同時，實現有效學習的構建。如在本課的畫圓活動中，筆者開展自主選擇畫圓活動，讓學生在具體的操作中感悟圓的本質，建立圓的表象。

師：學習了這么多的畫圓方法，你最喜歡哪一種，或是你還有什么不一樣的畫圓方法？

生1：我有一種新的方法。就是用一條細細的小木條，將它的一端用圖釘固定在紙上，另一端綁好一支鉛筆，這樣旋轉一圈，也可以畫出一個圓。

師：是有這樣的方法。那你能根據自己的畫法，以及工具的使用，解釋一下有關圓的知識點嗎？

生2：那個圖釘固定的點就是圓的圓心，圖釘與鉛筆之間的距離就是圓的半徑，一圈的曲線就是圓的周長。

生3：看來，使用圓規畫圓最方便，要大要小都可以，比用木條畫圓方便。

生4：是的，圓規是畫圓的最好工具。當圓規的釘腳確定下來，圓心也就定下來了，把鉛筆腳調整一下，就可以畫出大小不一樣的圓了。

生5：圓規兩腳之間的距離就是圓的半徑。

生6：從圓心開始畫一條線段，另一個端點在圓上，它就是圓的半徑。

生7：這樣的線段有無數條，所以圓的半徑有無數條，且它們的長度都是相等的。

生8：如果把這條線段向另一邊延長，也把端點落在圓上，就變成了圓的直徑。同樣，這樣的線段也有很多條，長度也是相等的。

生9：我們在折疊的過程中發現，圓的直徑就是圓的對稱軸，這說明圓是軸對稱圖形。

生10：圓有無數條對稱軸，它們都是圓的直徑。

……

有效的認知建構需要豐富的學習經驗來支持，這樣的數學學習才是智慧的、富有生機的。結合上述教學可以看出，教師引導學生進一步探究不一樣的畫圓方法，并給予學生自由探究的空間，他們就能夠迸發出個性化的思維火花，讓整個教學活動變得有靈性、厚實。同時，這也為學生的認知建構奠定了堅實的基礎，使學生對圓的認知更加清晰，相應的認知表象建立也愈發牢固。

綜上所述，基于不同畫圓活動的開展，以及學生的自主探究活動，不僅能幫助學生更有效地感知圓、感悟圓的構成元素以及圓的本質屬性，還有利于學生把畫圓的活動體驗與圓的學習緊密聯系起來，使得整個教學活動層層遞進，不斷深化學生的感悟。特別是不同的畫圓活動，能夠幫助學生借助可視的、可觸摸的實物，提煉出有價值的數學信息，并在交流討論中促進思考的深入，最終讓學生積累更加有意義的數學活動經驗，提升他們的數學核心素養。