再評(píng)時(shí)鐘佯謬的現(xiàn)代解

孟廣達(dá), 霍瑞云, 王瑞華

(1.鄭州大學(xué),河南 鄭州 450001; 2.河南財(cái)政金融學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

相對(duì)論方面的一些專家學(xué)者,對(duì)時(shí)鐘佯謬的現(xiàn)代解贊賞到幾乎無以復(fù)加的地步,不僅徹底解決了時(shí)鐘佯謬,而且精彩到難以言表。試舉幾例,“我沒有忽悠諸位,它的要點(diǎn)確實(shí)只有一句話,那就是,時(shí)鐘記錄的是自己的世界線長(zhǎng)度。……迄今為止除上述現(xiàn)代解釋外,對(duì)時(shí)鐘佯謬的任何其他解釋都是針對(duì)特例或近似的。……與之相比,時(shí)鐘佯謬的現(xiàn)代解釋完全不受那些特例或近似的約束,從而有極大的普適性。哪怕兩個(gè)時(shí)鐘都作任意復(fù)雜的類時(shí)運(yùn)動(dòng),現(xiàn)代解釋依然適用(傳統(tǒng)解釋則會(huì)變得苦不堪言)”[1]。“TORRETTI曾經(jīng)感慨道:相對(duì)論時(shí)鐘是類時(shí)世界線上的里程表,假如人們對(duì)這一事實(shí)有過更多關(guān)注,那么在所謂時(shí)鐘佯謬上付出過的很多努力就可以省掉了。”[1]“以上就是雙子效應(yīng)全部實(shí)質(zhì)性內(nèi)容。……國(guó)際相對(duì)論界的有識(shí)之士對(duì)雙子問題的實(shí)質(zhì)早已取得如上所述的共識(shí)[2-4]。雙子問題的實(shí)質(zhì)是如此簡(jiǎn)單,以致這些文獻(xiàn)中的論述都很短,文獻(xiàn)[4]僅僅只放在習(xí)題中。”[2]

時(shí)鐘佯謬的現(xiàn)代解果真好到如此的地步嗎?文獻(xiàn)[3]已用兩人對(duì)話的方式把現(xiàn)代解與愛因斯坦的傳統(tǒng)解作了比較,結(jié)果是:前者不僅不比后者好,反而遜色于后者。現(xiàn)代解連一個(gè)特例都作不出,還如何談“普適性”?文獻(xiàn)[3]中的圖2,筆者畫不完整,贊賞現(xiàn)代解的學(xué)者如果感興趣,可把沒畫出的部分補(bǔ)上(圖中如果有錯(cuò)也請(qǐng)不吝指正),讓我們能了解時(shí)鐘B參照系中兩個(gè)時(shí)鐘的世界線究竟是什么樣,時(shí)鐘A的世界線仍然比時(shí)鐘B的世界線長(zhǎng)表現(xiàn)在什么地方。如果贊賞現(xiàn)代解的學(xué)者也不能把時(shí)鐘B參照系中兩個(gè)時(shí)鐘的世界線完整畫出,那么所謂現(xiàn)代解有極大的普適性,無疑是空談。

其實(shí),“有極大的普適性”的時(shí)鐘佯謬解不只是現(xiàn)代解,例如根據(jù)時(shí)鐘的讀數(shù)與參照系無關(guān)作出的解也“有極大的普適性”,而且普適性更是顯而易見。如果“有極大的普適性”的解就能徹底解決時(shí)鐘佯謬,可能時(shí)鐘佯謬早已解決了,甚至它根本不可能作為一個(gè)問題而存在。

1 時(shí)鐘讀數(shù)等于其世界線長(zhǎng)度的由來

時(shí)鐘佯謬現(xiàn)代解的要點(diǎn)之一——時(shí)鐘讀數(shù)等于其世界線長(zhǎng)度。這一重要關(guān)系有著不同的表述,例如“時(shí)鐘記錄的是自己的世界線長(zhǎng)度”[1]“……線上任一段的線長(zhǎng)等于該段起止點(diǎn)的固有時(shí)之差”[4]“粒子的固有時(shí)是其時(shí)間徑跡的量度”[5]101等,而這個(gè)極其重要的關(guān)系是怎么得出的?說法不一,查找到的來源有3種:①認(rèn)為這個(gè)關(guān)系是個(gè)事實(shí),例如“TORRETTI感慨道:相對(duì)論時(shí)鐘是類時(shí)世界線上的里程表,假如人們對(duì)這一事實(shí)有過更多的關(guān)注……”[1]。②認(rèn)為這個(gè)關(guān)系是“狹義相對(duì)論的基本假定(已為實(shí)驗(yàn)證實(shí))”[4]。③認(rèn)為這個(gè)關(guān)系是推導(dǎo)出的[5]101。為了表述方便,把上述3種來源分別稱為“事實(shí)說”“假設(shè)說”和“推導(dǎo)說”。這3種來源截然不同,究竟哪一個(gè)正確?以下逐一進(jìn)行分析。

1)事實(shí)說。顯然不正確。首先不可能有這樣的事實(shí),除非“事實(shí)”另有含義。再者,如果有這個(gè)事實(shí),就根本不可能出現(xiàn)“推導(dǎo)說”和“假設(shè)說”。即使這個(gè)“事實(shí)”被發(fā)現(xiàn)是在有了“推導(dǎo)說”和“假設(shè)說”之后,一旦發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí),“推導(dǎo)說”和“假設(shè)說”也早已消逝了,但是沒有見到“推導(dǎo)說”和“假設(shè)說”被這個(gè)事實(shí)否定的任何信息。

2)假設(shè)說。難以置信人們會(huì)提出一個(gè)假設(shè)去確定兩個(gè)本來不相干的物理量之間的定量關(guān)系。或者簡(jiǎn)言之,我們不相信相對(duì)論中會(huì)有文獻(xiàn)[4]所謂的這個(gè)“基本假定”。根據(jù)是:①如果狹義相對(duì)論需要作出一個(gè)“基本假定”把時(shí)鐘的讀數(shù)與其世界線長(zhǎng)度定量地聯(lián)系起來,那么相對(duì)論的缺陷就太大了;②文獻(xiàn)[4]應(yīng)該交代清楚這個(gè)“基本假定”的出處,但卻沒作任何交代,更沒說明該假定被哪個(gè)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了;③查不出這個(gè)“基本假定”是哪位學(xué)者在哪個(gè)場(chǎng)合提出的。

3)推導(dǎo)說。這個(gè)關(guān)系大概率推導(dǎo)不出來,根據(jù)是:①文獻(xiàn)[5]中的推導(dǎo)相當(dāng)混亂,含糊不清,也沒有見到過文獻(xiàn)[5]中的推導(dǎo)被引用過;②如果這個(gè)關(guān)系能夠被推導(dǎo)出來,只有MΦLLER C一個(gè)人能推出來的可能性不大,但是沒見到過其他人的推導(dǎo);③提出假設(shè)說者,肯定是在判定推導(dǎo)不出這個(gè)關(guān)系之后才會(huì)提出假設(shè)的,所以假設(shè)說的存在就說明這個(gè)關(guān)系推導(dǎo)不出。

由以上分析可見,上述3個(gè)來源沒有一個(gè)是可靠的。那么時(shí)鐘佯謬現(xiàn)代解的要點(diǎn)——“時(shí)鐘的讀數(shù)等于其世界線長(zhǎng)度”這個(gè)定量關(guān)系,究竟是怎么得出的?我們只能推斷它的由來可能如下。

(1)

時(shí)鐘的速度連續(xù)變化時(shí),處理的辦法顯然使用積分,即無限小時(shí)間內(nèi)的dτ,

(2)

式(2)中,v為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度,用積分求出t=T時(shí)刻時(shí)鐘的讀數(shù)

(3)

乍一看,這樣處理沒有什么毛病,其實(shí)并沒有依據(jù),因?yàn)椴皇峭茖?dǎo)得到的結(jié)果。為了使這樣的處理有據(jù)可查,作出了如下的假設(shè)[5]49:①時(shí)鐘相對(duì)于慣性系的加速度不影響時(shí)鐘的速率;②任一時(shí)刻時(shí)鐘固有時(shí)的增量,都與該時(shí)鐘在其中瞬間靜止的參照系中的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘的固有時(shí)增量相同。增加了這兩點(diǎn)假設(shè)后,上述的處理有了依據(jù),但是依據(jù)并不充分[7]。無論依據(jù)是否充分,式(3)都是建立在假設(shè)之上的,都是依賴假設(shè)的。一個(gè)重要的公式不能由狹義相對(duì)論的基本原理推出,而必須依賴假設(shè),這不能不說是件憾事。更重要的是,既然該公式建立在假設(shè)之上,那么它是否正確還是未知的,何況它的依據(jù)并不充分。

式(3)可以進(jìn)行變形,

(4)

式(4)中的ds可解釋為dt時(shí)間內(nèi)的世界線長(zhǎng)度,于是S自然就是T時(shí)刻世界線的長(zhǎng)度。在c=1的單位制中,式(4)化可為

τ=S,

(5)

即時(shí)鐘讀數(shù)等于其世界線長(zhǎng)。

這是筆者推斷出的這個(gè)關(guān)系的由來——它既不是事實(shí),又不是假設(shè),也不能由狹義相對(duì)的基本原理推導(dǎo)出來,而是借助假設(shè)而得出的。可以得出的結(jié)論是,時(shí)鐘佯謬現(xiàn)代解的要點(diǎn)之一不是由狹義相對(duì)論的基本原理得出的,而是建立在假設(shè)之上的。依賴于假設(shè)的這個(gè)要點(diǎn)是不正確的。時(shí)鐘讀數(shù)與幾何量之間的關(guān)系可以推導(dǎo)出來,根本不需要涉及假設(shè),推得的結(jié)果否定了這個(gè)要點(diǎn),下面進(jìn)行證明。

2 時(shí)鐘讀數(shù)與幾何量的關(guān)系

文獻(xiàn)[7]已經(jīng)指出依賴于假設(shè)的式(3)導(dǎo)致出一些不合理的結(jié)果,因而該式不可取。根據(jù)時(shí)鐘延緩的表觀性質(zhì)選取另一個(gè)公式取代式(3),得到了適用于任意運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的新公式,使得不合理的結(jié)果不再出現(xiàn)。進(jìn)一步的探討表明,這個(gè)公式可以很簡(jiǎn)單地推導(dǎo)出來。為了表述方便,下面的推導(dǎo)只討論時(shí)鐘沿x軸運(yùn)動(dòng)的情況。

在慣性參照系中,t=0時(shí),一時(shí)鐘從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸任意運(yùn)動(dòng)。t時(shí)刻位于x(t)處,在閔可夫斯基四維時(shí)空(x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict)中,這兩個(gè)事件的坐標(biāo)分別為(0,0,0,0)和(x(t),0,0,ict),二者的間隔(或者說二者之間距離的平方)為

(6)

在該時(shí)鐘靜止的參照系中,由于該時(shí)鐘靜止于原點(diǎn),所以這兩個(gè)事件的間隔為

(7)

由間隔不變性S′2=S2,得

(8)

這就是文獻(xiàn)[7]基于時(shí)鐘延緩的表觀性質(zhì)提出的新公式,現(xiàn)在不涉及任何假設(shè),在閔可夫斯基四維時(shí)空中很容易推出了。將此式稍作變形就可清楚地看出,時(shí)鐘讀數(shù)τ與幾何量之間的關(guān)系

(9)

式(9)中的S與式(5)中的S不同,不是時(shí)鐘的世界線長(zhǎng)度,而是t時(shí)刻時(shí)鐘到原點(diǎn)的距離。在c=1的單位制中式(9)變?yōu)?/p>

τ=S,

(10)

其文字表述是,任一時(shí)刻時(shí)鐘的讀數(shù)等于該時(shí)刻時(shí)鐘到原點(diǎn)的距離。這就是文獻(xiàn)[3]已經(jīng)指出的結(jié)論:“時(shí)鐘記錄的并不是自己的世界線長(zhǎng)度而是自己與原點(diǎn)之間間隔的數(shù)值;相對(duì)論時(shí)鐘并不是類時(shí)世界線上的里程表而是它到原點(diǎn)距離的顯示器。”

時(shí)鐘佯謬現(xiàn)代解(幾何解)的這一個(gè)要點(diǎn)是建立在假設(shè)之上的,是不可取的。至于文獻(xiàn)[4]把此要點(diǎn)宣稱為相對(duì)論的“基本假設(shè)”顯然是不可取的,相對(duì)論中不會(huì)有這樣的“基本假設(shè)”。所謂該假設(shè)“已為實(shí)驗(yàn)證實(shí)”,大概也是人云亦云而已。

3 任意運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的讀數(shù)增量(任意運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的速率)

長(zhǎng)期以來,式(2)(式(3))被假設(shè)為(或由假設(shè)可得)適用于任意運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘。現(xiàn)已證明這是不對(duì)的。適用于計(jì)算任意運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘讀數(shù)的公式不是式(3)而是式(8)。再給出取代式(2)的公式,即計(jì)算dt時(shí)間內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的讀數(shù)增量(或稱為任意運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的速率)的公式。

由式(8)很容易得到取代式(2)的公式為

(11)

時(shí)鐘以速度u作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),式(11)化為

(12)

這是時(shí)鐘延緩公式的變形。既然公式(2)應(yīng)由公式(11)取代,由公式(2)得到的結(jié)果當(dāng)然就無效了。

4 時(shí)鐘佯謬現(xiàn)代解的結(jié)論是錯(cuò)誤的

文獻(xiàn)[3]已經(jīng)指出了“再者,時(shí)鐘返回到原點(diǎn)時(shí)不是τB<τA,而是τB=τA”。這很容易說明,時(shí)鐘佯謬現(xiàn)代解的結(jié)論τB<τA是根據(jù)時(shí)鐘讀數(shù)等于其世界線長(zhǎng)度而得出的,所以是錯(cuò)誤的;時(shí)鐘讀數(shù)應(yīng)該等于其到原點(diǎn)的距離,由于時(shí)鐘B返后與時(shí)鐘A再相遇時(shí),它到原點(diǎn)的距離與時(shí)鐘A到原點(diǎn)的距離相同,所以二者的讀數(shù)相同,即τB=τA。

在慣性參照系中,時(shí)鐘B返回后與時(shí)鐘A相見時(shí),它們的讀數(shù)也可以由(11)式算得,

結(jié)果是τB=τA[6]。

在慣性參照系中,時(shí)鐘B返回后與時(shí)鐘A相見時(shí),它們的讀數(shù)更容易由式(8)算得。由于對(duì)二者來講,它們的t和x都相同,所以τB=τA。