基于線性方程組整體消元過程的行列式知識構建

王永革,馬 健

(北京航空航天大學 數學科學學院,北京 102206)

0 引言

在行列式知識體系里,有幾個核心概念常常成為學生學習中的疑點,同時也是教學的難點,因此被多數教師反復探討[1]。這些疑難點主要包括:①行列式定義。應該怎樣定義行列式,為什么這樣定義行列式,為什么要引入逆序數。目前的文獻給出了行列式定義的3種方法,但每種方法都有其“缺憾”之處[2-3]。②行列式展開定理。為什么會提出展開定理,展開定理為什么成立,為什么要引入代數余子式,目前的文獻多是從低維類比,探討定理的證明方法,對定理如何提出為何提出涉及較少[4]。③克萊姆法則。克萊姆法則怎么來的,為什么會成立等,文獻涉及較少[5]。

反映在教學中,一方面這些疑難點的引入大多較為牽強,甚至常常讓學生感到突兀;另一方面,這些疑難點常被作為背景較為孤立的知識,沒有作為一個有機的整體呈現。為此,本文從線性代數最基本的背景——線性方程組出發[6],首先探索線性方程組整體消元求解的方法,其次將各疑難點作為消元過程中陸續出現的結果,自然引入相關概念,揭示上述疑難點直觀意義的同時,也讓學生較容易的理解這些疑難點的含義及本質,理解其在統一背景中的內在聯系。

1 線性方程組的整體消元求解

1.1 二元線性方程組消元求解

用消元法解二元線性方程組

保留未知數x1而消去未知數x2,將方程(A1)×a22+(A2)×(-a12),得

(a11a22-a21a12)x1=b1a22-b2a12。

1.2 三元線性方程組整體消元求解及啟示

用消元法解三元線性方程組

不失一般性,只保留未知數x1而消去其余所有未知數,即x2,x3,并將此消元方法稱為整體消元。為此將方程(B1)×k1+(B2)×k2+(B3)×k3,得合并方程

(a11k1+a21k2+a31k3)x1+(a12k1+a22k2+a32k3)x2+(a13k1+a23k2+a33k3)x3=b1k1+b2k2+b3k3。

令a12k1+a22k2+a32k3=0,a13k1+a23k2+a33k3=0,得其中一解

將k1,k2,k3的該解帶入,可同時消去x2,x3,只保留未知數x1,從而得到x1的解,同樣的方法可以得到x2,x3的解。

將方程(B2)、(B3)分別乘以上述各項后再相加。為消去x2,x3,如果這些項中a22a33的符號為正,則a12a33的符號需要為負,這樣乘積為a12a22a33的兩項符號相反,相加后未知數x2的系數才能為零;a13a22的符號也為負,相加后才可以消去未知數x3的對應系數項a13a22a33。同樣的分析可知,a13a32的符號為正,a23a32的符號為負,a12a23的符號為正。

1.3 n元線性方程組整體消元求解過程

類比三元線性方程組的整體消元過程,對n元方程組進行消元求解。

1.3.1 整體消元中方程所乘項因子的確定

對n元線性方程組

采用整體消元。不失一般性,只保留未知數x1而消去其他未知數x2,x3,…,xn。類比三元線性方程組的整體消元可知,需要每一個方程乘以其余方程中x2,x3,…,xn(即除x1外)的系數矩陣的不同行不同列的乘積項,共(n-1)!項,即需要對方程組作如下消元運算

這樣未知數x2,x3,…,xn中每個未知數的系數共有n×(n-1)!=n!個乘積項,且乘積項中總有兩項絕對值相同,這兩項可以通過設計相反的符號使得相加為零,以實現整體消去x2,x3,…,xn的目的。如運算后x2的系數為

消去x2需要 (-1)τ(pqj1j2…jp-1jp+1…jq-1jq+1…jn)+(-1)τ(qpj1j2…jp-1jp+1…jq-1jq+1…jn)=0。此時x1的系數為

再分別考慮保留未知數xp(p=2,3,…,n),消去x1,x2,…xp-1,xp+1,…,xn時xq(q≠p)的系數,可知對?q≠p,有(-1)τ(j1…jp…jq…jn)aj11…ajpq…ajqq…ajnn與(-1)τ(j1…jq…jp…jn)aj11…ajqq…ajpq…ajnn符號相反,故τ(j1…jp…jq…jn)與τ(j1…jq…jp…jn)奇偶性不同。

即若交換排列j1…jp…jq…jn中jp,jq的位置,得到新的排列j1…jq…jp…jn,則函數τ(j1…jp…jq…jn)與τ(j1…jq…jp…jn)的奇偶性將發生變化,且可以設定τ(123…n)為偶數。故任一排列j1…jp…jq…jn對應函數τ(j1…jp…jq…jn)的奇偶性,可以由j1…jp…jq…jn中元素交換到12…n時,交換次數的奇偶性確定。

1.3.2 整體消元中方程所乘項符號的確定

先考慮排列j1…jp…jq…jn中元素1的位置,不失一般性,設為j1…jp…1…jq…jn,將1依次與它前面的元素交換,交換的次數記為τ(1),其值為排在1前面且比1大的數字的個數,即由1產生的逆序數,交換后的排列為1j1…jp…jq…jn;再考慮元素2,不失一般性設為1j1…jp…2…jq…jn,將2依次與它前面的元素交換,交換的次數記為τ(2),其值為排在2前面且比2大的數字的個數,即由2產生的逆序數,交換后的排列為12j1…jp…jq…jn;再依次考慮元素3,4,…,n,分別再經過τ(3),τ(4),…,τ(n)次的交換,變換為排列123…n。這樣共通過τ(1)+τ(2)+…+τ(n)次的交換,排列j1…jp…jq…jn變為123…n。

若τ(1)+τ(2)+…+τ(n)為偶,則通過偶數次交換,排列j1…jp…jq…jn變為123…n,即對應的乘積項(-1)τ(j1…p…q…jn)aj11…apip…aqiq…ajnn經過偶數次變號,結果為正,故其原值也為正,故τ(j1…jp…jq…jn)必為偶數;若τ(1)+τ(2)+…+τ(n)為奇,則通過奇數次對換,排列j1…jp…jq…jn變為123…n,即對應的乘積項(-1)τ(j1…p…q…jn)aj11…apip…aqiq…ajnn經過奇數次變號,結果為正,故其原值為負,故τ(j1…jp…jq…jn)必為奇數。即τ(j1…jp…jq…jn)與τ(1)+τ(2)+…+τ(n)的奇偶性總是保持一致。故可設τ(j1…jp…jq…jn)=τ(1)+τ(2)+…+τ(n),并將其定義為排列j1…jp…jq…jn的逆序數,則每個乘積項及其符號可表示為(-1)τ(j1j2…jn),aj11aj22…ajnn,其中τ(j1j2…jn)為排列j1j2…jn的逆序數。

1.3.3n元線性方程組的解

通過確定每個方程所乘項的因子和符號,實現只保留其中一個未知數而整體消去其他所有的未知數。不失一般性,設保留未知數x1,而整體消去x2,x3,…,xn,由前述分析可知,此時未知數x1的系數為

即方程組系數矩陣中所有不同行不同列元素乘積的代數和,其中乘積項aj11aj22…ajnn的符號為(-1)τ(j1j2…jn)。而每個方程等號右邊的常數經過上述消元操作后,常數項為

……

2 基于整體消元過程的行列式知識構建

上述n元線性方程組的整體消元過程,包含了行列式知識體系的主要疑難點,提供了這些概念產生的共同背景。基于該過程,可以較容易地理解這些疑難點的含義以及它們之間的內在聯系。

2.1 行列式定義

此定義即線性代數教材中的代數和定義[7],從方程組整體消元過程可以很容易理解,為什么行列式要定義為不同行不同列的項的代數和。目前大多數教材按該方式定義行列式時,通常是在歸納二階、三階行列式為不同行不同列的乘積項代數和這一特點后,直接以一句話“將這一結果推廣到n階”,隨后給出n階行列式的上述定義,但這樣引入的定義給學生留下諸多疑問,如二階、三階行列式為什么有這樣的特點,是否可以推廣到n階,為什么要推廣到n階等,這些疑問在上述線性方程組整體消元過程中都可以得到清晰自然的解釋。

2.2 逆序數

在行列式定義中,逆序數往往讓學生感到突兀,學生不理解行列式與逆序數有什么聯系,不理解為何會想到用逆序數來定義行列式。

由消元過程可以看到,若只保留未知數x1,而整體消去其他的未知數x2,x3,…,xn,乘積項(-1)τ(j1…jp…jq…jn)aj11…ajpq…ajqq…ajnn與(-1)τ(j1…jq…jp…jn)aj11…ajqq…ajpq…ajnn符號須相反,即τ(j1…jp…jq…jn)與τ(j1…jq…jp…jn)奇偶性不同。故若交換排列j1…jp…jq…jn中jp,jq的位置,得到新的排列j1…jq…jp…jn,則函數τ(j1…jp…jq…jn)與τ(j1…jq…jp…jn)的奇偶性將發生變化,另外假設τ(123…n)為偶數,由前述分析知可設τ(j1…jp…jq…jn)=τ(1)+τ(2)+…+τ(n),其中τ(i),i=1,2,…,n為排列中在i前面且比i大的數字的個數,此即為排列的逆序數定義。

即排列的逆序數是為消去未知數而設計的一種確定符號的方法。利用排列的逆序數的奇偶性對應每一個不同行不同列乘積項的正負,可以整體消去除保留的未知數外的其他所有未知數。事實上,由上述確定符號的過程可以知道,逆序數不是唯一的確定符號方法,只要滿足交換排列中兩個數的順序,該排列對應的乘積項符號就能改變的任何函數都可以,但逆序數是一種規律簡單使用方便的函數,于是通常用逆序數確定乘積項的符號。

有了上述行列式整體消元的背景,學生就不難理解為什么要學習逆序數以及行列式定義中為什么要使用逆序數了。

2.3 代數余子式

在保留x1消去其他未知數的整體消元過程中,將第i個方程所乘的項,即ai1所乘的項

定義為元素ai1的代數余子式。為形式上更直觀清晰,可將該項變形為

其中Mi1為系數矩陣去掉第一列和第i行之后的元素組成的行列式,稱為ai1的余子式。

同樣,只保留xp消去其他未知數的整體消元過程中,第i個方程所乘的項,即aip所乘的項

稱為aip的代數余子式,其中τ(j1…ji-1ji+1…i…jn)中的排列,i排在第p個位置。為形式上簡單直觀,可變形為

稱為aip的代數余子式,其中Mip為系數矩陣去掉第p列和第i行之后的元素組成的行列式,稱為aip的余子式。

可以看出,aip的代數余子式是在只保留xp而消去其他未知數的整體消元過程中,第i個方程所要乘的項,這樣在線性方程組整體消元的背景中,很容易地理解了為什么要引入代數余子式這一概念。

2.4 行列式展開定理

在保留x1消去其他未知數的整體消元過程中,其他未知數的系數都將合并為零,如x2的系數

結果為零。由前面關于代數余子式的討論可知,該式等于a12×A11+a22×A21+…+an2×An1,即系數矩陣中第二列的元素分別乘以同一行中第一列元素的代數余子式之和,結果為零。

同樣的分析可知,保留xp消去其他未知數的整體消元過程中,xi(i≠p)的系數a1i×A1p+a2i×A2p+…+ani×Anp=0,此即第i列的元素乘以第p列對應元素的代數余子式之和為零。xp的系數a1p×A1p+a2p×A2p+…+anp×Anp=D,即第p列的元素分別乘以該元素的代數余子式之和,為系數矩陣行列式的值,此即行列式按列展開的定理。

由上分析可知,行列式的展開定理,其實是在線性方程組整體消元中,保留的未知數的系數,按前述行列式定義,該系數自然為系數矩陣行列式的值。而其他消去的未知數的系數為零,其實是某一列乘以另外一列的代數余子式之和為零。這樣在線性方程組整體消元背景下,行列式展開定理成了一個自然成立的結論,容易理解甚至無需證明。

2.5 克萊姆法則

在保留x1消去其他未知數的整體消元過程中,保留的未知數x1的系數,即行列式的值D,而方程組等號右邊常數項進行相應的變形后,結果是

由上可知,線性方程組整體消元求解的結果即為克萊姆法則,故在此背景下,克萊姆法則也自然成立。

3 總結及結論

對n元線性方程組給出了一個整體消元求解的方法,基于該消元求解過程,展示了行列式定義、逆序數、代數余子式、行列式展開定理及克萊姆法則等行列式核心概念,從一個共同的背景中構建了行列式的主要知識,闡釋了行列式的主要疑難點。

線性方程組整體消元過程表明,行列式主要知識和疑難點,都是在整體消元中某一步驟或操作中需要用到的對象,都是方程組消元求解中某一方面的結果呈現。該過程也揭示了這些概念之間內在的聯系,它們存在于求解過程的不同階段或不同角度,共同構成了線性方程組的整體消元求解場景。