多普勒現象及其拓展應用

王 軍 鄧靖武

(1.北京市第四中學 2.北京教育學院)

多普勒現象是波的重要規律,在高中階段僅限于定性了解,不做定量運算,但在強基計劃中經常會要求進行定量運算.本文介紹了多普勒現象的發現及其規律,推導了觀測頻率和固有頻率的公式,并明確了公式在介質靜止參考系中成立,對二維情形的多普勒公式進行了闡述,介紹了典型應用.

1 多普勒現象的發現及規律推導

由于波源和觀測者之間的相對運動,引起的觀測者接收頻率(記為f)與波源的頻率(記為f0)不相同的現象,稱為多普勒現象.1842年,奧地利數學和天文學家多普勒發表了《關于雙星座和某些星體的有色光波》的論文,首次描述了光的多普勒現象.1845年,荷蘭物理學家白貝羅在鐵路上用一節火車頭和一輛平板車來做實驗,發現聲音(聲波)中也存在多普勒現象.

1.1 多普勒現象規律表述及釋疑

對于觀測者和波源的運動是一維直線運動的情況,規律敘述如下:(1)當聲源A與觀測者B相互靠近時,f＝,其中u是聲波的速度大小,vB是觀測者的速度大小,vA是波源的速度大小;(2)當聲源A與觀測者B相互遠離時

面對多普勒現象的公式,不少同學經常會從對稱性角度對上述規律產生這樣的疑惑:聲源速度vA和觀測者速度vB為什么在公式中的地位不對稱? 比如針對情形(1),觀測者B靜止,波源A以速度v向著觀測者靠近,則;針對情形(2),波源A靜止,觀測者B以速度v向著波源A靠近,則f＝.(1)(2)兩個運動是對稱的,為什么接收頻率卻不同? 究其原因,是沒有弄清楚公式中的各個速度是在什么參考系中速度的值.上述公式是在相對介質(空氣)靜止的參考系才成立.因此,無論說誰是靜止的,都應該明確是指相對介質(空氣)靜止;并且,波速u是由介質決定,也是相對介質而言的.注意到這一點,就能在上面(1)(2)兩個頻率公式中,由其中一個推得另一個.

比如,對于(2),波源A相對介質靜止,觀測者B以速度v向著波源A靠近時,如果在觀測者B的平動系內,則變成:觀測者B靜止,波源A以速度v向著觀測者B靠近(即(1)的情形);在這個參考系內,波速大小也發生了變化,變為u＋v,記為u′,代入(1)中的公式為,就變成(2)中的接收頻率了.如圖1所示,圖中以圓弧代表聲波波面,表達波的速度.

圖1

聲音傳遞需要介質,因此波源相對介質的運動與觀測者相對介質的運動,將會產生不同的接收頻率改變效果.與聲音不同,光的傳播不需要介質,因此對于光的多普勒現象,不論是波源以速度v靠近觀測者,還是觀測者以速度v靠近波源,接收頻率都是相同的表達式,即,其中.遠離時,f＝光的多普勒現象規律的推導,需要用到相對論的知識,本文不再做分析.

1.2 多普勒現象規律推導

在介質靜止參考系內,以觀測者B靜止,波源A以速度v靠近觀測者這一情形為例進行公式推導.

設波源A在t1時刻發出的波面(記為甲)被觀測者B在t2時刻接收到;接下來發出的波面(記為乙),是波源A在t1＋T0時刻發出,被觀測者B在t2＋T時刻接收到.這里有4個事件:波源A發出波面甲;波源A發出波面乙;觀測者B接收到波面甲;觀測者B接收到波面乙.將這4個事件反映在下面的事件圖2中.

圖2

由圖2 反映出的幾何關系可知,u(t2－t1)＝u[(t2＋T)－(t1＋T0)]＋vT0,化簡為uT＝(u－v)T0.考慮到,T0是波源A發出波面甲和發出波面乙這兩個事件間隔,是波源的固有周期,對應了波源的固有頻率;T是觀測者B接收到波面甲和接收波面乙這兩個事件間隔,是觀測周期,對應了觀測者的觀測頻率f＝由此可得

其余情形,留給讀者們自己進行推導.

2 多普勒現象的典型應用

例1蝙蝠在洞穴中飛來飛去,能非常有效地用超聲波脈沖導航.假如蝙蝠發出的超聲波頻率為39 kHz,當它以聲速的的速度朝著表面平直的巖壁飛去時,試求它聽到的從巖壁反射回來的超聲波頻率.

分析此題可以看作發生了兩次多普勒現象.過程1:波源(蝙蝠)靠近靜止的觀測者(巖壁);過程2:巖壁反射超聲波時,將巖壁看作波源,是觀測者(蝙蝠)靠近波源(巖壁).

小結由上面的推導過程可見:反射回來的超聲波的頻率變化情況與波源的速度有關,因此如果得知了反射回來的超聲波的頻率,也可以反推波源的速度.超聲波測速儀就是根據此原理制作的,常用于交通警察對馬路上的移動車輛進行測速,判斷其是否超速.這一應用中,波源是靜止的,反射物(汽車)是運動的.

例2兩輛汽車A與B,在t＝0時從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進,如圖3 所示.汽車A持續地以固定的頻率f0鳴笛,已知聲速為u,且有u大于vA和vB.求:在任意時刻t,汽車B的司機所觀測到的笛聲頻率f.

圖3

分析本題為一道競賽測試中的原題,如果沒有注意到A、B本質上是一個共線的一維運動,直接套用波源和觀測者不共線情形的接收頻率公式,會導致計算量變大.

如果注意到本題中,A、B是從同一個點O出發的,就會發現B相對A的運動方向是不變的,二者本質上是一個一維運動,因此接收頻率是不隨時間變化的定值.從這個角度可以給出物理情境清晰、計算簡潔的解答.

解在介質(空氣)靜止的地面參考系中,B的接收頻率f是與接收時刻t無關的定值.若A在t1時刻發出的一個波面被B在t2時刻接收到,則可推知,A在t1＋T0時刻發出的一個波面必定被B在t2＋T時刻接收到;A在t1＋2T0時刻發出的一個波面必定被B在t2＋2T時刻接收到;A在t1＋3T0時刻發出的一個波面必定被B在t2＋3T時刻接收到……(其中如圖4所示,圖中各個斜線必定相互平行.

圖4

在△ABC中,有

根據幾何關系有

考慮T大于T0,所以舍去分子為減號的解.

化簡后,接收頻率為

3 多普勒現象規律的拓展——二維情形

對于二者運動不共線的二維情形,將公式中的觀測者、波源速度換成在連線方向的速度分量即可得到接收頻率與固有頻率的關系(如圖5),即

圖5

提醒讀者注意,即便波源和觀測者均保持勻速運動,但α、β是隨時間變化的,因此接收頻率將是一個隨時間變化的函數.不再像是一維情形中,接收頻率是一個與時間無關的數值.

例3飛機在地面上空以速度v＝200 m·s－1做水平飛行,發出頻率為f0＝2000 Hz的聲波.靜止在地面上的觀察者測定,當飛機在飛越觀察者上空時,觀察者在4s內測出的頻率從f1＝2400 Hz降為f2＝1600Hz.已知聲波在空氣中傳播的速度為u＝330m·s－1,求飛機的飛行高度.

分析需要明確的是題給“4s”是觀測者接收到某兩個波面的時間間隔,在觀測者接收到波面時,飛機已經離開發出相應波面的位置了.如圖6所示.

圖6

(完)