人船模型及拓展

韓元華

(山東省濟南市章丘區第四中學)

人船模型,不僅是動量守恒問題中典型的物理模型,也是最重要的力學綜合模型之一.利用人船模型及其典型變形,通過類比和等效方法,可以使許多動量守恒問題解答變得簡單便捷.

模型構建在平靜的湖面上停泊著一條長為L,質量為M的船,如果有一質量為m的人從船的一端走到另一端,求船和人相對水面的位移各為多少?

模型剖析設人從船的一端走到另一端所用時間為t,人、船的速度分別為v人、v船,由人、船整個系統在水平方向上滿足動量守恒定律,有mv人－Mv船＝0,即

圖1

模型拓展1由船上一個人的運動拓展為多個人的同時運動,同時停止:由模型特征可知,船后退的距離,分式中的分子m為船上一端移到另一端的“凈質量”.要正確理解“凈質量”的含義.

示例1如圖2所示,在光滑的水平地面上有一輛平板車,車的兩端分別站著人A和B,A的質量為ma,B的質量為mb,ma＞mb.最初人和車都處于靜止狀態.兩人同時由靜止開始相向而行,車的質量為M,A和B同時到達車的另一端后停止.求車后退的距離.

圖2

模型拓展2由船上一個人的運動拓展為多物體的先后運動:由模型特征可知,船后退的距離s船＝,只和從船的一端移動到另一端的“凈質量”有關,和“凈質量”移動的時間無關.

示例2在冰面上靜止著質量為M、長為L的車,車的一端由一名士兵用實彈射擊在車另一端的靶子,已知士兵與其武器裝備的質量為m,每顆子彈的質量為m1,當士兵發射了n1顆子彈后稍作休息,又發射了n2顆子彈,并全部擊中靶子,求車后退的距離.

答案

模型拓展3把水平方向的問題拓展為豎直方向:由可知,知道了船或人的一方的位移,就知道了另一方的位移.

示例3總質量為M的氣球下端懸著質量為m的人,靜止于高度為h的空中,欲使人能完全著地,繩長至少應為多長? (人可視為質點)

答案L＝(h是人相對于地的位移).

模型拓展4把水平方向的直線運動問題拓展為水平方向的曲線問題:小球下滑過程中整體動量并不守恒,但整體在水平方向上動量守恒.

示例4質量為M的物體靜止在光滑水平面上,其上有一個半徑為R的光滑半圓形凹面軌道,把質量為m的小球自軌道右側與球心等高處由靜止釋放,求M向右運動的最大距離.

答案

例1如圖3所示,質量為M的滑塊可在水平放置的光滑固定導軌上自由滑動,質量為m的小球與滑塊上的懸點O由一不可伸長的輕繩相連,繩長為L.開始時,輕繩處于水平拉直狀態,小球和滑塊均靜止.現將小球由靜止釋放,當小球到達最低點時,滑塊剛好被一表面涂有黏性物質的固定擋板粘住,在極短的時間內速度減為零,小球繼續向左擺動到繩與豎直方向的夾角為60°時達到最高點.滑塊與小球均視為質點,空氣阻力不計,重力加速度為g,則以下說法正確的是( ).

圖3

A.繩的拉力對小球始終不做功

B.滑塊與小球的質量關系為M＝2m

例2如圖4所示,將一質量為M、半徑為R內壁光滑的半圓槽置于光滑的水平面上,現從半圓槽右端入口處由靜止釋放一質量為m(M＞m)的小球,則小球釋放后,以下說法正確的是( ).

圖4

A.小球能滑至半圓槽左端槽口處

C.若開始時小球在半圓槽最低點且小球有方向向左大小為v0的初速度,則小球再次回到半圓槽最低點時的速度大小為

D.若開始時小球在半圓槽最低點且小球有方向向左大小為v0的初速度,如果小球能從左側槽口飛出,則離開槽口后還能上升的最大高度為H＝

小球和半圓槽組成的系統水平方向不受外力,水平方向動量守恒且總動量為零,當小球到半圓槽左端最高處時,小球和半圓槽速度相等,由動量守恒定律知,速度為零,結合機械能守恒定律可知小球能滑至半圓槽左端槽口處,故選項A 正確.

設小球滑至半圓槽最低點時半圓槽的位移大小為x,取向左為正方向,由系統水平方向動量守恒可得,故選項B錯誤.

若開始時小球在半圓槽最低點且小球有方向向左大小為v0的初速度,設小球再次回到軌道最低點的速度大小為v1,槽的速度大小為v2,取向左為正方向,根據動量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2.根據機械能守恒定律可得,聯立解得,另一解為v0舍去,故選項C正確.

若開始時小球在半圓槽最低點且小球有方向向左大小為v0的初速度,如果小球能從左側槽口飛出,取向左為正方向,根據動量守恒定律可得mv0＝(m＋M)vx.

總之,人船模型是一個重要的物理模型,在學習過程中要熟練掌握模型特征的推導、模型特征的推論和拓展,這樣才能在解題中高效應用.

(完)