利用等效法解答單擺的周期問題

徐 石

(安徽省宿州市第二中學)

等效法是通過對問題中的某些因素進行變換或直接利用相似性,移用某一規律進行分析而得到相同效果.利用等效法不僅可以使問題變得簡單易解,還有助于活躍學生的思維.

我們在學習單擺的過程中就可以利用等效法進行分析.如在利用單擺的周期公式解題時,由于題目背景不同,單擺的周期公式可以廣義地表示為,式中l′為等效擺長,g′為等效重力加速度.

1 等效單擺擺長

表1

例1如圖1所示,光滑絕緣圓弧軌道的半徑為R,最低點N點左側處于垂直紙面向外的勻強磁場中,現將一帶負電的小球(可視為質點)自最低點右側的M點由靜止釋放,M、N兩點間的距離遠小于軌道半徑R,小球到達最左側的位置為P點(圖中未畫出),小球運動過程中始終未脫離軌道,已知重力加速度為g,下列說法正確的是( ).

圖1

A.P點比M點高

B.小球向左經過N點后,對軌道的壓力立即變大

C.小球在P點和M點處對軌道的壓力大小不相等

解析

小球在軌道中運動時,由于只有重力做功,則機械能守恒,則P點與M點等高,選項A錯誤;小球向左經過N點后,因洛倫茲力方向向下,則對軌道的壓力立即變大,選項B正確;小球在P點和M點處速度為0,只受到重力和軌道的支持力,且P、M兩點關于最低點位置對稱,則對軌道的壓力大小相等,選項C 錯誤;因為洛倫茲力方向始終和速度方向垂直,且M、N兩點間的距離遠小于軌道半徑R,則小球的運動可看作單擺,小球運動的周期為T＝,選項D 正確.

例2如圖2 所示,傾角為θ的斜面MN上的B點固定一光滑圓弧槽AB(對應的圓心角小于10°),其圓心在B點正上方的O點,另外,光滑斜面OC和OD的下端亦在MN上,讓可視為質點的小球分別無初速度出發,從A點到達B點的時間為tB,從O點到達C點的時間為tC,從O點到達D點的時間為tD.比較這三段時間,正確的是( ).

圖2

A.tB＞tD＞tCB.tD＞tC＞tB

C.tB＝tC＝tDD.tB＞tC＝tD

解析

由單擺運動的等時性可以知道,從A點到達B點的時間以OB為 直徑作圓,由于OD垂直于MN,則點D在該圓上,利用等時圓的性質分析可知tC＜tD,由幾何關系可知,OD與豎直方向的夾角等于斜面傾角,則OD段為l＝

故選項A 正確,選項B、C、D 錯誤.

2 等效重力加速度

表2

例3如圖3所示為相同的小球(可看作質點)構成的單擺,所有的繩子長度都相同,在不同的條件下的周期分別為T1、T2、T3、T4,關于周期大小關系的判斷,正確的是( ).

圖3

A.T1＞T2＞T3＞T4

B.T4＜T1＝T3＜T2

C.T4＞T1＝T3＞T2

D.T1＜T2＜T3＜T4

解析

設繩長均為L,根據單擺的周期公式可得

則T4＞T1＝T3＞T2,故選項C正確.

例42021年5月15日,中國自主研發的火星探測器“天問一號”成功著陸火星.已知在火星表面一擺長為L的單擺完成n次全振動所用的時間為t.探測器在離開火星表面返回時,在離火星表面高度為h的圓軌道以速度v繞其運行一周所用時間為T.已知引力常量為G,火星可視為勻質球體,火星的密度為( ).

故選項A 正確.

(完)