魏晉時期著名計量學家劉徽

文/關增建

劉徽是魏晉時期著名的數學家，當時的數學主要是圍繞解決各類計量問題的計算展開的，所以劉徽也是著名的計量學家。

一、注解《九章算術》，發展傳統數學理論

劉徽對古代計量學的貢獻，主要體現在他對《九章算術》的注解上。《九章算術》是我國最重要的一部經典數學著作，對古代數學做了全面而完整的敘述，奠定了我國古代數學發展的基礎，還被歷朝歷代直接用于數學教學逾千年之久。不止如此，《九章算術》還被傳播到海外，日本、朝鮮都曾將它作為數學教科書。

計量需要數學的支撐，在漢代已經為人們所認識到。尤其是作為數學著作的《九章算術》，對解決計量問題具有非常重要的支撐作用。正是認識到這一點，一方面，漢代才有既是重要官員同時又是數學家的張蒼、耿壽昌等為之修訂編纂；另一方面，《九章算術》雖然經過了張蒼、耿壽昌等的修訂編纂，但到劉徽時，它仍然存在著一定的不足。《九章算術》全書以246 道算題的形式呈現，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術（解題步驟），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術。但對為什么是這樣的“術”，書中沒有給出證明。數學著作的靈魂在于其證明過程，沒有證明，就無法展示其正確性，對后人的學習是極為不利的。此外，《九章算術》中也存在不準確之處。雖然，漢魏時期，馬續、張衡、鄭玄、劉洪、徐岳、闞澤等多位學者通過努力，提高了《九章算術》的正確率，但到劉徽時，其中大多數難度較大的算法仍未得到嚴格證明，一些錯誤也沒有被指證出來。劉徽就是在這種情況下開始了對《九章算術》的注解。

劉徽在注解《九章算術》時，寫了一篇序言，表明了他對數學的理解及注解《九章算術》的初衷和做法。他在序言中寫道：

“算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至于以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳。”（《算經十書》，郭書春、劉鈍校點，《九章算術注》序言）

劉徽指出，算術雖然號稱只有“九數”，但它能夠“窮纖入微，探測無方”，探究萬事萬物的細微和深入之處，是人們認識事物非常重要的工具。數學看上去難學，但只要按照其內在規律傳授，就能夠像規矩準繩一樣，被人們掌握和使用。規矩是畫圓制方的工具，用以揭示事物的空間性質；度量是度量衡，用以揭示事物間的數量關系。劉徽將它們并列，揭示了中國古代數學的特點，即幾何與算術、代數的統一。他認為，只要掌握數學的這一特點，它就不難學，只是當時社會上喜歡數學的人少，雖然有學問的人不少，但他們對數學未必能夠融會貫通。為了使數學為更多的人掌握，劉徽覺得有必要對傳統數學著作《九章算術》進行注解。至于注解的具體方式，劉徽的做法是：

“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。”（《算經十書》，郭書春、劉鈍校點，《九章算術注》序言）

這即是說，事物紛繁復雜，但其本質是一致的，要善于抓住事物的緣起，即劉徽所謂的“知發其一端”。在討論數學問題時，劉徽認為要“析理以辭，解體用圖”，把道理講清楚，并用圖示的方法，把各種幾何問題清晰地展示出來。劉徽的話，清楚地闡明了繪圖對科技著作的重要性，這對中國古代科技著作的發展是很重要的。

劉徽運用他自己的這些規則，對《九章算術》做了詳盡的注解。他的注解，不但對《九章算術》缺乏證明的那些命題給出了證明，還提出了不少新的見解，豐富了中國古代的數學理論。劉徽在證明過程中，還提出了十進小數概念，并以之表示無理數的立方根。他對正負數概念及其運算法則的闡釋，在世界數學史上都是首次。他創新了線性方程組的解法，并在數學史上第一次提出“不定方程”問題。更重要的是，他提出了許多被公認正確的判斷作為證明的前提，在此基礎上展開推理和證明，其證明本身又合乎邏輯，十分嚴謹，從而確保了結論的正確性。這種做法，與古希臘幾何學的公理化方法頗有相似之處。

二、發明割圓術，解決計量標準器設計難題

在劉徽的諸多貢獻中，一個引人注目的亮點是割圓術的發明。他找到了正確計算圓周率的方法，解決了困惑計量學家多年的標準器設計難題。

我國古代的度量衡標準器設計始于戰國時期，主要是量器的設計。公元前344 年，秦國大良造商鞅了解到可以“用度數審其容”（《漢書》卷二十一上），即可以用長度單位將容積表示出來，由此設計出了被后世稱為“商鞅方升”的標準器，其容積為1 升。商鞅方升是長方體容器，是世界上現存最早的度量衡標準器。但中國古代度量衡標準器的主流不是像商鞅方升這樣具有簡單幾何形狀的容器，而是《考工記》中記載的以栗氏量為代表的復合標準器：

“栗氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然后權之，權之然后準之，準之然后量之，量之以為鬴。深尺，內方尺而圜其外，其實一鬴，其臀一寸，其實一豆；其耳三寸，其實一升。重一鈞。其聲中黃鐘之宮。槩而不稅。其銘曰：‘時文思索，允臻其極；嘉量既成，以觀四國；永啟厥后，茲器維則’。”（《考工記·栗氏為量》）

此段前面部分講的是栗氏量的制作過程，中間部分說的是栗氏量的形制，后面銘文部分談的是栗氏量的意義，講栗氏量制成以后，要到諸侯國巡回展示，流傳子孫，用它來維系度量衡的統一。就形制而言，栗氏量的主體是鬴（fǔ）量，鬴量是一個深1 尺（約0.23 m），口徑可以內接一個邊長為1 尺的正方形的圓筒，其容積為1 鬴（約20 L）。鬴底部開口向下的是豆量，豆量深1 寸（約0.023 m），容1 豆（約2 L）。鬴兩側是升量，深3 寸（約0.069 m），容1 升（約0.2 L）。栗氏量結構圖見圖1。

圖1 栗氏量結構圖

栗氏量有3 個計量單位：鬴、豆、升，形制均為圓筒狀。這樣的容器，在設計時，首先規定好鬴、豆、升的具體數值，即其容積，用長度單位的立方表示。當時人們已經知道圓筒形容器的容積=截面積×深，而鬴、豆、升每一個容器的深也都是規定好了的，這樣要設計這些量器，關鍵是算出其截面積的大小，最終落實到口徑的大小。截面積與口徑之間，存在著一個比例系數圓周率（π）。由此，π 值的精確與否，直接決定了標準器設計的精確與否。

在《考工記》乃至其后很長一段時間，人們認定的π 值是3，《考工記》中多處用“周三徑一”作為設計器物的依據。當時，普遍把π 等于3 作為引發勾股定理的前提，用直徑為1 的圓和邊長為1 的方就可以構造出勾股定理，這是當時最重要的發現。但是，π 等于3 畢竟是一個比較粗疏的結果，西漢末年，劉歆在助力王莽篡漢、為其設計度量衡標準器時，就發現了栗氏量設計上的錯誤。劉歆依據自己的發現設計了新的嘉量，并在嘉量上刻上了銘文：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，冪百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。”根據這些數據，我們可以計算出劉歆所采用的π 值為3.1547。該數值打破了傳統“周三徑一”為數學基礎的說法，使數學的發展突破了傳統觀念的約束，具有重要的歷史意義。

到了2 世紀，天文學家張衡在《靈憲》中采用的π 值為730/232，約為3.1466，他還在球體積公式中取用3.1622 為π 值。東漢末三國時期吳人王蕃（228 年—266 年）在渾儀論說中取π 值為142/45 ≈3.1556。這些π 值，都比傳統的“周三徑一”更精確，但它們究竟是怎么得到的，史書并未記載。而且從這些數據本身來看，迄東漢末年，古人并未找到科學的推算π 的方法。

劉徽打破了這一歷史僵局。《九章算術》卷一“方田”章有“半周半徑相乘得積步”這一命題，該命題給出的圓面積計算方法是正確的，里面蘊含了π。劉徽在注解該命題時提出了割圓術，給出了求解π 值的正確方法。劉徽指出，傳統所謂的“周三徑一”所得到的結果，實際上是圓內接正六邊形的邊長，而不是圓周長：

“以半周乘半徑而為圓冪，此以周、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環耳，以推圓規多少之覺（較），乃弓之與弦也。”（《算經十書》，郭書春、劉鈍校點，《九章算術注》）

這是說，圓面積等于圓周長的二分之一乘以半徑，這是完全正確的，但這并非說周三徑一的比例是對的。所謂周三徑一，得到的是圓內接正六邊形的周長，就像是弓的弦長與弓本身的長度關系一樣。如圖2 所示，采用周三徑一，得到的是由6 個等邊三角形組合成的六邊形邊長，相當于6 倍ACB 直線長度，而圓周長應該是6 倍ADB弧長，所以用周三徑一來計算圓周長，結果是不準確的，原因就在于π 值不準確。

圖2 劉徽割圓術示意圖

那么，該如何求得準確的π 值呢？劉徽提出，可以把圓內接正六邊形每個一分為二，分成十二邊形，相當于把圖2 中的等邊三角形AOB 分解成兩個等腰三角形AOD 和DOB；然后利用它們之間的關系，可以借助于等邊三角形AOB，把兩個等腰三角形的面積也計算出來。顯然，正十二邊形的面積比正六邊形的面積更接近其外接圓的面積。依照這樣的思路，還可以把正十二邊形進一步分割成正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形等。“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”即是說，圓內接正多邊形的邊數無限增加的時候，其周長的極限是圓周長，其面積的極限就是圓面積。已經知道了圓的直徑，又得出了圓周長，π 值自然也就能夠計算出來了。

劉徽根據割圓術，從圓內接正六邊形開始，邊數逐漸加倍，相繼算出正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形每邊的長，且求出正一百九十二邊形的面積。這相當于求得π=3.141024。在實際計算中，他采用了π=3.14的約值。劉徽求得的π值，是當時世界上最精確的。

劉徽發明的割圓術，在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明，解決了如何正確推算π 的方法問題，在計量史上意義重大。中國古代容積標準器的主流是圓筒形狀，其設計的準確與否直接取決于π 的取值精確與否。在此之前，劉歆設計新莽嘉量時，采用了π=3.1547 的數值，雖然該值的精確度遠勝于“周三徑一”，但劉歆并未找到正確求解π 的方法，其后的張衡、王蕃等人殫精竭慮，在π 推算上亦有進展，但始終未能找到正確的門徑。劉徽發明割圓術，使該問題一勞永逸得到解決。后人所要做的，無非是分割出更多的正多邊形，計算結果更精確而已。

三、編纂《海島算經》，建立測高望遠體系

劉徽對不能直接抵達的遠距離測量，例如海島上有一座山，站在岸邊，如何測量山的高度這樣的問題，特別感興趣。他在《九章算術注》序言中專門就此類問題做過詳細討論。劉徽指出：

“《周官· 大司徒》職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里，夫云爾者，以術推之。按：《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術，猶未足以博盡群數也。”（《算經十書》，郭書春、劉鈍校點，《九章算術注》序言）

這里引述的《周官·大司徒》之語，說的是我國古代傳統宇宙觀念。古人沒有地球觀念，認為地是平的，大小有限，這樣地表面必然有個幾何中心，古人把它稱為地中，認為從地中向南一萬五千里，就到了“南戴日下”，即今天所說的北回歸線。劉徽強調，這些數據是“以術推之”的結果，即運用數理方法推算出來的，不是信口開河。他感嘆，認為《九章算術》中的立四表測望遠近、借助于一棵樹測望山的高低的方法等，所測望的目標都在不遠之處，可以首尾相望，不像天地宇宙這樣遙遠渺茫。之所以如此，主要原因還在于張蒼等人所提出的方法還不足以涵蓋數學的方方面面。

那么，該如何處理類似問題呢？劉徽接著說道：

“徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、勾股，則必以重差為率，故曰重差也。”（《算經十書》，郭書春、劉鈍校點，《九章算術注》序言）

劉徽認為傳統的“九數”中有“重差”名目，推究其用途，就是用來解決類似問題的。凡是測望極高、極深同時還要知道其遠近這樣的問題的，一定要使用重差術和勾股術，以重差作為統一的比例數據，所以叫重差。接著，劉徽給出了利用重差術解決日之高遠、大小的具體方法：

“立兩表于洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也。”（《算經十書》，郭書春、劉鈍校點，《九章算術注》））

這段話一共介紹了4 種天文數據（日去地距離、南表至南戴日下的水平距離、南表到太陽的斜線距離和太陽的視直徑大小）的測量方法。測量前3 種數據的方法是：選擇洛陽南北平坦之處，立南北兩表，確定南北兩表之間的距離，同一天測量它們影子的長度，根據所得結果，即可得：日去地=[表間×表高/（北表影長–南表影長）]+表高；觀測者至南戴日下=表間×南表影長/（北表影長–南表影長）。

在得到日去地和觀測者至南戴日下兩個數據以后，觀測者到太陽的斜線距離直接運用勾股定理即可得出。

上述公式中諸數字的含義如圖3 所示。

圖3 劉徽測日高日遠圖

這樣，4 個天文數據中的3 個都得以解決，而太陽視直徑的大小則需要用另外的測量方法。

劉徽的方法在《周髀算經》中測量日高天遠之術中已經存在。《周髀算經》中有一個基本假設：地隔千里，影差一寸，即圖3 南表和北表之間距離是1 000 里（約345 km）的話，夏至之日，立8 尺（約1.84 m）之表，南表影長1 尺5 寸（約0.36 m），北表影長1 尺6 寸（約0.37 m），即其影差為1 寸（約0.023 m）。把這些數字代入上述公式，不難得出，從南表至南戴日下的水平距離為15 000（約5 175 km）里，太陽到南表的斜線距離為10 萬里（約34 500 km），太陽至地面的垂直距離為80 000 里（約27 600 km）+8 尺（約1.84 m）。《周髀算經》中的數據是80 000 里，因為《周髀算經》中忽略了要加上表高這一項。當然，對80 000 里這樣的距離來說，8 尺表高確實可以忽略的。

劉徽對太陽視直徑的測量方法，如圖4 所示。

圖4 劉徽測日徑圖

具體測量方法是，選擇一個孔直徑為1 寸的竹筒，對著太陽觀看，當太陽正好充滿竹筒孔徑時，確定竹筒的長度，以竹筒孔徑為勾，以竹筒長為股，這時太陽離開觀測者的距離為大股，太陽的直徑就是大股之勾。具體來說，筒長、筒徑、日去人的距離、日徑，這4 個數據滿足如下關系：筒徑/筒長=日徑/日去人。其中筒徑、筒長、日去人（太陽離人的距離）這3 個數據都是已知的，日徑自然就可以計算出來了。

劉徽的上述公式就幾何學來說是完全正確的，這一點很容易得到證明。但用他的公式進行日高天遠的實際測量，就會發現其結果是完全錯誤的。之所以如此，是因為在他的公式中隱藏了一個前提：大地是平的。當時的人們沒有地球觀念，在這個問題上不能苛求劉徽。

在介紹了這4 種天文數據測量方法之后，劉徽認為天地宇宙都可以測量，何況泰山之高、江海之廣，測量起來應該更無問題。劉徽提到，既然當今的史籍已經大略列舉了天地之物，那么，他就考察其數量關系，撰寫《重差》一卷，將其附在《九章算術注》的“勾股”章之后，以探究古人之意，闡釋人間算術之美。劉徽指出，重差術的核心在于，測量高要用兩個表，測量深要用重疊的矩，對遠處孤立物體的測量要用3 次測望，對孤立而又要求測量其他數值的則要用4 次測望。劉徽強調說，只要對這種方法觸類旁通，不斷增長知識，再幽隱神秘的東西都是可以測量的。

劉徽所著《重差》一卷，就是今天人們所說的《海島算經》。該卷成書之后，是附在《九章算術注》之后，以《九章算術注》第十章的形式存于世。同《九章算術注》其他部分體例一樣，該卷采用的也是應用問題集的形式，全卷共包括9 個問題，研究對象均為有關高遠測量問題。所有問題的解法都是利用兩次或多次測望所得的數據，來推算可望而不可即的目標的高、深、廣、遠。南北朝時期，著名數學家祖沖之曾為之做注。到了唐代，人們將《重差》從劉徽《九章算術注》中分離出來，單獨成書，以第一題“今有望海島”取名為《海島算經》。

《海島算經》介紹的多次測望方法具有很強的實用價值，為我國古代地圖測繪奠定了幾何學基礎。就這些測望方法本身而言，其水平也遠遠領先于同時期西方的測望技術。

劉徽對《九章算術》的注解以及他所撰寫的《海島算經》，不僅在中國數學史上占有重要地位，對世界數學的發展也有著重要的貢獻。2002 年，中國郵政發行第四套《中國古代科學家》紀念郵票，其中就包括了劉徽紀念郵票。2021 年5 月24 日，國際天文學聯合會（IAU）批準了中國在嫦娥五號月球降落地點附近地貌的命名，劉徽（Liu Hui）為八個地貌地名之一，以此表示對這位偉大數學家的紀念。