數學理解:小學數學課堂教學的核心指向

作者簡介：李秋琳（1980—），本科學歷，小學一級，從事小學數學教學工作。

[摘? 要] 數學理解是學生憑借既有的數學知識和數學經驗，自覺地將數學新知識融入數學認知結構中，構建新知識、形成新經驗和掌握新技能的認知活動過程。在這一過程中，教師要注重關聯生活，促進經驗性理解，實現知識遷移;巧用比較，強化概念性理解，完善數學認知;依托活動，提升操作性理解，完善理解層級，從而實現學生真正的數學理解。

[關鍵詞] 數學理解;小學數學;深度學習

數學理解是學生憑借既有的數學知識和數學經驗，自覺地將數學新知識融入數學認知結構，構建新知識、形成新經驗和掌握新技能的認知活動過程[1]。數學理解在新舊知識、經驗之間建立起關聯性，改變了碎片化知識建構現狀，能促進學生深度理解數學知識與概念，對學生形成系統化的認知結構具有重要意義。因此，教學中教師應從課堂教學各要素入手，對數學教學進行變革和改造，注重對接學生經驗，指向數學本質，凸顯知識聯系，實現學生真正的數學理解[2]。

一、關聯生活，促進經驗性理解，實現知識遷移

學生數學認知發展水平和認知需求存在一定的不對稱性，教師應善于借助數學和生活之間的關系，在關聯生活中促進學生經驗性理解，彌補學生認知水平和認知需求之間的不對稱性。具體操作層面，教師可以通過聯系學生生活和應用于學生生活兩種途徑，讓生活經驗成為促進學生數學理解的資源，促進學生經驗性理解能力的發展。

1. 運用生活現象，輔助理解

數學和生活密切相關，生活中處處、時時可見數學運用的現象，這就給教師運用生活現象促進學生經驗性理解創造機遇。教師應基于學生生活閱歷，充分解讀學生生活經驗，強化學生生活經驗開發意識。教師要通過在數學教學中運用生活現象，讓學生生活經驗轉變為數學理解的動力，輔助學生數學理解。

比如，對“升和毫升”一課學生要理解容量單位，要理解容量概念。容量是指物體的容積的大小，這一概念中的“容積”又造成新的理解難度。在概念教學中，為了幫助學生更好地理解“容積”，筆者給學生提供兩種飲料的實物。此外，筆者結合多媒體展示生活中各種液體的實物，包括大小不同的容量，比如水、果汁、汽油等。

借助生活中常見的現象，學生對“容積”獲得直觀理解，通過各種飲料、水等生活經驗，認識到“容積”是計量液體的體積。借助生活現象，學生對數學概念的理解從表象走向深入，直擊數學概念的本質，為自身運用數學概念解決問題進行有效的鋪墊。同時，生活現象大大降低數學理解的難度，生活現象充分地調動學生的生活經驗，成為數學理解的動力。

2. 構建生活場景，深化理解

數學理解作為一項認知活動，需要經歷從建構到鞏固的反復性過程。教師應基于學生數學理解能力發展特點，重視構建生活場景。教師要通過構建生活場景，給學生創造運用數學知識解決實際問題的機會[3]。學生在運用數學知識和概念過程中，能進一步深化數學理解，通過數學理解助力發展數學素養。

比如，“簡單的周期”的教學重點是引導學生運用語言描述周期現象中的規律。為幫助學生更好地理解規律，在練習診斷環節，筆者構建了這樣的場景：建校10周年，學校門口插著許多彩旗，請學生仔細觀察一共有多少種顏色的彩旗？根據彩旗排列的特點（周期性），用自己的語言說說彩旗排列的規律是什么？試著畫出后面三種顏色的彩旗。

該環節結合學生實際構建生活場景，給學生練習提供生活化運用場景，能較好地激發學生的練習興趣。借助生活化場景，學生積極調用生活經驗，發現彩旗排列的規律，進而認識“簡單的周期”。這樣， 構建生活經驗的情境，促進學生將生活素材和數學經驗“有效對接”，有效地激活了學生數學經驗性理解，從而實現對已有數學經驗的改造與重組。

二、巧用比較，強化概念性理解，完善數學認知

數學概念是學生學習數學的理論基礎，學生如果對數學概念理解不透徹將直接影響學生的數學學習進程。因此，教師應將概念教學作為數學理解的重點任務，強化概念性理解，完善學生的數學認知。概念性理解需要學生透過概念現象，深入概念本質。比較是引領學生深入把握概念的有效途徑，透過易混淆概念比較、相關概念比較，能幫助學生建立起精準的數學概念。

1. 比較易混淆概念，建立聯系和區別

數學學習是一個由淺入深、從簡到繁的過程，隨著數學學習不斷走向深入，學生接觸的概念越來越多，類型更加復雜。繁多的數學概念容易造成混淆，不利于學生把握數學概念之間的聯系和區別。教師可以引導學生對容易混淆的概念進行比較，幫助學生從本質上把握概念之間的聯系和區別，形成清晰的數學概念。

比如，三位數教學中涉及數位、位數和計數單位三個基本概念，學生容易造成混淆。筆者采用比較教學法，先讓學生隨意舉出自己認為有意思、有趣的1個三位數，比如111、234、520等數字。然后從學生舉出的三位數中選出234讓學生用算珠表示，百位是2，2所在的數位就是百位，2代表2個百，計數單位是百;十位是3，那么3所在的數位就是十位，計數單位是十;個位是4，4所在的位置就是個位，計數單位是個。234由三位數構成，它就是三位數。借助筆者搭建的支架，學生按照這樣的方式進行交流。筆者再結合數學語言表達活動，讓學生說說對數位、位數和計數單位的理解。

在對容易混淆的數位、位數和計數三個基本概念進行比較的過程中，學生自然而然地感受到了它們的區別和聯系，從而形成清晰的數學概念。

2. 比較相關概念，聯通數學知識點

數學知識之間存在密切的關系，基于不同的關系形成了嚴謹的知識網絡。因為數學知識之間的關聯性，數學概念之間也有著千絲萬縷的關系。學生要深入理解概念之間的關系，要把握知識點之間的關聯性。比較無疑是一種有效的方式，教師可以進行相關概念比較教學，強化學生的概念性理解，通過聯通數學知識，引領學生把握不同概念之間的本質特征。

比如教學“正數”和“負數”時，首先，筆者結合具體的場景引導學生進行比較，水面上10米記作10，水面以下10米記作（? ），向前走5米記作5，向后走5米記作（? ）;其次，在筆者列舉基礎上，學生根據正數和負數概念進行自主列舉;再次，筆者要求學生根據自己對正數和負數的理解，說一說正數和負數之間的關系;最后，筆者給學生提供幾組正負數，比如11、-11，20、-20，讓學生結合具體的場景說說它們表示的意義。通過概念比較教學，學生認識到正數和負數是表示意義相反的量。

通過相關概念比較教學，概念之間的關系變得宜于觀察，學生能夠在最短時間內發現相關概念之間的關聯性。這樣，數學概念就從碎片化走向結構化，助力學生形成系統化的概念網絡。學生掌握了概念之間的關聯性后，其運用數學概念指導生活的能力得到有效發展。這是典型的將數學概念轉變為數學技能，充分發展了學生的數學素養。

三、依托活動，提升操作性理解，完善理解層級

數學理解具有自身的層級，教師應基于小學生的認知特點，重視在數學活動中提升學生操作性理解。教師要通過數學活動，讓學生經歷數學概念、數學原理和數學公式形成的過程，強化正向理解、變式理解、反省理解的意識。

1. 在常規操作中強化正向理解

數學操作活動是幫助學生建立直觀體驗的重要手段，教師應發揮數學操作在發展學生正向理解中的作用，開展常規操作活動，引導學生按照常規思維去分析與理解數學概念、數學原理和數學公式等。教師要通過操作活動，引導學生從已知走向未知，透過數學現象深入數學本質。

比如建構“平移”概念，筆者引導學生根據平移概念，抓住“同一個平面”“直線方向”“移動距離”等關鍵詞進行操作。學生先在方格紙上畫出自己喜歡的一個圖形，再選擇一個移動方向，按照直線方向將該圖形上的所有點進行同距離移動，理解“平移”的概念。

通過常規的操作活動，學生借助活動經驗對“平移”的幾個關鍵要素獲得直觀的認識：平移不改變圖形的大小和形狀，平移后的圖形與原來的圖形存在相等關系，比如對應線段相等、對應角相等。抓住關鍵詞和相等關系，學生就抓住了理解的關鍵。在這一過程中，學生的正向理解能力得到較好發展。

2. 在變式操作中強化變式理解

教師在培養學生數學理解能力時，既要善于運用常規操作活動引導學生進行正向理解，又應基于學生思維進階需要重視變式操作，改變觀察的角度、方法等，讓隱蔽的要素得以浮現出來[4]。這有助于學生把握數學的本質和規律，促進學生思維進階。

比如，建構“圖形的旋轉”概念時，不少學生受既有概念影響，容易對“旋轉”形成片面性認識，將“旋轉”和“轉動”混為一談。為促進學生深度理解圖形的旋轉，筆者設計了兩項比較實驗：第一項實驗是運用學生常玩的陀螺，讓學生通過抽打陀螺產生轉動;第二項是利用手動電風扇，讓學生通過操作使電風扇轉動起來。基于學生的操作活動，筆者引導學生進行觀察和比較，分析這兩項運動是否相同。

通過操作活動，學生發現陀螺和電風扇都發出轉動動作，但陀螺在不斷地改變位置，而電風扇葉子則圍繞固定的一個點進行轉動。通過變式操作活動，學生感受到兩者一個顯著的區別是有無固定的旋轉點。旋轉與轉動的不同在于是否圍繞固定的點旋轉，但圖形形狀和大小沒有改變。通過變式操作，學生抓住旋轉的關鍵要素，對旋轉的理解更加深刻。無論環境怎樣變化，只要抓住關鍵要素，學生對旋轉現象的理解就不會出現偏差。

3. 在多樣操作中強化反省理解

操作活動中，實際的成效與學生操作活動過程體驗有關。操作過程體驗越豐富，取得的實際成效越顯著。因此，教師在設計操作活動時應重視設計多樣化操作活動，讓活動形式從單一走向多樣。通過不同的操作活動，幫助學生形成豐富的活動體驗，能促進學生反省和理解，讓學生思維開動起來。

比如“圖形的旋轉”理解性教學，在學生比較操作基礎上，為了進一步深化學生的體驗，筆者設計了以下幾項操作活動：畫一畫，學生根據圖形旋轉概念，聯系日常生活中的旋轉現象，在方格紙上畫出旋轉的軌跡;做一做，學生根據生活中的旋轉現象，自主設計一個模型演示旋轉現象。筆者還結合畫圖和模型建構活動引導學生思考旋轉的本質特點，通過辨誤活動提高學生對旋轉現象的辨識力。

多種多樣的數學活動設計，能有效促使學生在積極探索、發現、經歷數學知識的形成過程中，獲得對旋轉本質的深刻認識，形成豐富的活動體驗，發展數學學習的反思和理解能力。

總之，數學理解是學生建構數學概念、數學原理和數學公式的基本能力，對于幫助學生建立完善的理論體系具有重要意義。教師應基于學生數學理解能力發展的需求，優化數學課堂教學設計，通過結構化、多樣化活動循序漸進地發展學生的經驗性理解能力、概念性理解能力和操作性理解能力。完善數學理解能力能較好地促進學生將數學知識向數學技能、數學方法和數學經驗轉化，助力學生發展數學核心素養。

參考文獻：

[1] （美）格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格. 追求理解的教學設計（第二版）[M]. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學出版社，2017.

[2] 吳存明. 為“理解”而教——以小學數學為例[J].教育研究與評論，2021（04）：69-73.

[3] 鄭毓信. 數學深度教學的理論與實踐[M]. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[4] 任玲. 數學理解：基于核心素養的教學追求[J]. 數學教學通訊，2019（25）：8-9.