隨機環境中受控分枝過程的一致Gramer中偏差的上界

吳金華,魯展,唐鑫萍

(長沙理工大學數學與統計學院,湖南長沙,410114)

受控分枝過程(CBP)是經典分枝過程一個自然而又及其重要的推廣。1974 年,Sevast’yanov 等[1]首次引入該過程,它的參與繁衍粒子數是由被控制函數所決定。1977 年,隨機環境中的受控分枝過程(CBPRE)被Yanev 在文獻[2]中所提出。在這之后,學者們對它進行了深入且有意義的研究探討。其中,畢秋香等[3]研究了在平穩遍歷環境下CBPRE 的滅絕概率,并在做出合理的假設之下推出該過程是否滅絕的一個判別準則;M Gonzalez 等[4]研究了帶隨機控制函數的上臨界受控分枝過程的極限分布,給出了其概率母函數的建立,并證明了Wn收斂到一個非退化且有限的隨機變量;M Gonzalez 等[5]研究了帶隨機控制函數的受控分枝過程的L2收斂,證明了Wn是L2收斂到一個非退化極限;Hung C M 等[6]研究了隨機環境中分枝過程的大偏差和中偏差原理,同時也討論了調和矩的存在性;Grama 等[7]研究了在淬火情形下,隨機環境中上臨界分枝過程logZn的Gramer 大偏差展式; 方亮等[8]則考慮了有關變化環境中的一些問題,深入研究帶隨機控制函數的受控分枝過程(CBPRVE),證明了CBPRVE 中規范化過程Wn的收斂速率; 李應求等[9]研究了CBPRE 中Zn的極限定理,并給出規范化過程收斂的幾個充分條件;Fan X Q 等[10]為了給出的一致Gramer 中偏差和Berry-Esseen 界,考慮了可觀測數據,當前種群粒子數量以及代數的增量n,并通過推廣文獻[6]已經研究的logZn的一致Gramer中偏差和Berry-Esseen 界建立了相對應的一些定理; 譚珂等[11]利用Jensen’s 不等式,研究了CBPRE 的矩和調和矩,證明了Zn矩的漸近性以及調和矩的存在性;M Gonzalez 等[12]引入了一類具有連續時間的受控分枝過程,并得出臨界情況下的一些極限分布,同時也考慮了它相應的漸近性質;M Ramtirthkar 等[13]研究了在上臨界情形且Zn≠0時關于帶有隨機控制函數(φn(k))的受控分枝過程的局部漸近正態性。

本文在文獻[4]的研究基礎上,探討了隨機環境中受控分枝過程的Gramer 一致中偏差的上界。

1 模型的引入

首先給出模型的定義。令(Ω,F,P)為概率空間,(Θ,B)為可測空間,N={0,1,2...},N+={1,2...}。令{Zn:n∈N+}是(Ω,F,P)上取值于N+的隨機變量序列,ξ=(ξ0,ξ1,…)是(Ω,F,P)上取值于(Θ,B)的隨機變量序列,{Xn,i:n∈N,i∈N+}是定義在N+上的一族隨機序列,對n≥0對應的分布為p(ξn)。{φn(k):n,k∈N+}是定義在N+上的一族隨機函數,它表示在第n代粒子繁衍后代的過程中對這些粒子進行控制,即φn(Zn)=k時,則表明當第n代的粒子數為Zn時,參與繁衍機制的粒子數為k,它具有概率分布Q(ξn;k,i)=Pξ(φn(k)=i)。且滿足給定ξ,{φn(k):n,k∈N} 與{φn(k):n,k∈N} 條件獨立,則稱{Zn:n∈N} 是隨機環境ξ中受控分枝過程(CBPRE)。其中Xni是一個非負的隨機變量(i.i.d.),表示第n代第i個粒子所繁衍的粒子數,對n≥0時所對應的分布為{pnk}k≥0。Zn+1表示第n+ 1代的粒子數。

下面簡記X0=X0,1,記(Γ,Pξ)為給定環境ξ下受控分枝過程所處的概率空間,其中稱Pξ為淬火分布。隨機環境ξn的狀態空間記為Θ?？偟母怕士臻g可以看作乘積空間（?！罰N,P),其中P(dx,dξ)=Pξ(dx)τ(dξ),即對任意可測的正函數g,有

此處τ為隨機環境ξ的分布,稱P為退火分布。同時Pξ可以看作是給定環境ξ時的條件概率分布,而對于Pξ和P的數學期望分別記為Eξ和E。

對任意的n,k≥0,p≥1,定義那么易知是關于(Fn)可測的非負上鞅,故存在非負隨機變量,且有EW≤ 1。

在本文中始終假設p0(ξ0)=0。在研究過程中將用到如下分解

這里Xi=logm(ξi-1)τ(ξi-1)(i≥1)是依賴于環境ξ的獨立同分布隨機變量。logZn的漸近性質是受相關隨機游動的影響。

記μ=EX,σ2=E(X-μ)2,假設μ＞0和σ2∈(0,∞)有μ=EX＞0,σ2=E(X-μ)2∈(0,∞)。這意味著隨機游動{Qn,n＞0}是非退化的。

對于相關的隨機游動,需要Gramer 條件:(A1)隨機變量X=logm(ξ0)τ(ξ0)有指數矩,也就是說,存在一個常數λ＞0,使得Eeλ0X=E(m(ξ0)τ(ξ0))λ0＜∞。

2 主要結果及其證明

為了得到最后定理的證明,下面首先給出幾個引理。

引理1[9]對n=0,1...,E(Zn+1|Fn)=Znm(ξn)ε(ξn;Zn),a.s.。特別地,。

引理2序列在Pξ下對所有ξ是一個非負上鞅,(Wn)a.s.收斂到一個非負有限的隨機變量W, 且EW＜∞,

證明由引理1 有

而由文獻[9]的定理3.1 可知,(Wn,Fn)是一個非負上鞅且Eξ W＜∞,那么對兩邊同時取期望有EW＜∞。

定理1(logZn的中心極限定理)假設成立σ2=Var(logτ(ξ0)m(ξ0))∈(0,∞),那么

證明首先進行分解,對任意的ω,可得

再由引理2,有Wn→W＜∞,此外,由于p0=0 ,則

因此

另一方面,由獨立同分布隨機變量的經典中心極限定理有

令ω→0,就得到了上界。那么對于下界,顯然有

對式(7)取下極限,并令ω→0,可得定理1 得證。

下面給出Gramer 一致中偏差的上界,其中

推論1的中心極限定理)假設成立1),其中表示依分布收斂。

為了證明該結論,下面將充分利用式(4)。

證明由式(8)以及式(1),可得

定理2假設條件(A1)成立,當0n∈N,對n≥2 和時,下列式子是一致成立的并且對于n≥2 和

證明下面給出式(10)的證明。

接下來,給出H1和H2的估計。注意是一列獨立隨機變量的和。由獨立隨機變量和的Gramer 中偏差的上界,對

接下來,給出式(9)的證明。通過類似于式(11)的討論,對于x∈R,則有

并且

再一次類似于式(11)的討論方法,當x∈R,可得

當0≤x＜1,則有

并且由引理2 有

結合式(17)～(19),對于0≤x＜1,可得成立。