可降階的高階微分方程的課程思政

劉文斌，崔學英

(1.晉中信息學院數理教學部，山西太谷 030800；2.太原科技大學應用科學學院，山西太原 030024)

2018 年9 月10 日，習近平總書記在全國教育大會上強調“黨的十八大以來，我們圍繞培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人這一根本問題，全面加強黨對教育工作的領導”。其中，“培養什么人”是教育的首要問題[1-3]。思政元素的融入讓課堂變得更和諧、有意義，在傳授知識的同時引導學生樹立科學的世界觀、人生觀與價值觀。課程思政的融入[4-6]，不僅是傳授知識的過程，教師同樣能夠可以在教學點滴中提升自我，與學生更深入地交流，發現學生的閃光點，挖掘優秀人才，為國家培養人才，亦可以培養更深刻的師生情，幫助學生更快更好地成長。將以高等數學課程中的“可降階的高階微分方程”這一小節知識為實例，探索思政元素在實際課堂教學中的體現。具體的教學進程安排如下：

1 引入

案例一：一只新組裝好的小鐘放在了兩只舊鐘當中。兩只舊鐘滴答、滴答一分一秒地走著。

其中一只舊鐘對小鐘說：來吧，你也該工作了?？墒俏矣悬c擔心，你走完3 200 萬次以后，恐怕就吃不消了。

天哪！3 200萬次。小鐘吃驚不已。要我做這么大的事？辦不到，辦不到。

另一只舊鐘說：別聽他胡說八道。不用害怕，你只要每秒滴答擺一下就行了。

天下哪有這樣簡單的事情。小鐘將信將疑。如果這樣，我就試試吧。小鐘很輕松地每秒鐘滴答擺下，不知不覺中，一年過去了，它擺了3 200萬次。

案例體現了“化繁為簡”的思想。很多問題表面看似很難，其實只要把它分解開來，將變得簡單而直觀。

案例二：西晉史學家陳壽所著《三國志》中的“曹沖稱象”：沖少聰察，生五六歲，智意所及，有若成人之智。時孫權曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則?？芍??！碧娲髳?，即施行焉。

2 可降階的高階微分方程[7]

二階及二階以上的微分方程即為高階微分方程。

2.1 y(n)= f (x)型的微分方程

特點：微分方程右端是只含有變量x的函數.

解法：逐次積分求n-1、n-2、n-3、…、2、1，連續n次積分即可求得方程的通解。

例1 求方程ym=e2x-cosx的通解。

解：對所給方程接連積分三次得：

這就是所求通解。

例2 質量為m的質點受水平力F的作用沿力F的方向作直線運動，力F的大小為時間t的函數F(t)=sint。設開始時(t=0)質點位于原點，且初始速度為零，求這質點的運動規律。

纖維單元模型：分別沿拱軸與截面將鋼管混凝土拱肋劃分為縱向節段分布的纖維梁單元，通過截面積分求截面剛度與單元剛度，其克服了上述雙單元法兩點不足，但仍需編寫專用分析程序。

解：設s=s(t)表示在時刻t時質點的位置，由牛頓第二定律，質點的運動方程為

練習1 求方程ym=sinx+cosx的通解。

2.2 y″= f (x,y')型的微分方程

特點：不顯含未知函數y。

求解：做變換y'=p，則y"=p'，故原方程可化為關于變量x，p的一階微分方程

設其通解為p=φ(x,C1)，則有

積分得原方程的通解為：

例3 求微分方程(1+x2)y″=2xy'滿足初值條件y|x=0=1，y'|x=0=3的特解。

解：所給方程是y"=f(x,y')型的。設y'=p，代入方程并分離變量，得兩邊積分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即y'=p=C1(1+x2)，其中C1=±eC，將初值條件y'|x=0=3代入得C1=3，故y'=3(1+x2)，再積分得y=x3+3x+C2，再將初值條件y|x=0=1代入得C2=1，因此所求特解為y=x3+3x+1。

練習2 求方程xy"+y'=0的通解。

2.3 y″= f (y,y')型的微分方程

特點：不顯含自變量x。

求解：令y'=p，把p當做新的未知函數，把y當做自變量，此時故原方程可化為：

3 結語

介紹了y(n)=f(x) 型、y″=f(x,y') 型、y″=f(y,y')型，三種類型的高階微分方程的特點及其解法“降階法”。體現了化繁為簡、化整為零的思想。通過例題講解和練習鞏固，培養學生的分析問題、解決問題的能力。

以高等數學微分方程中的“可降階的高階微分方程”內容作為實例，通過兩個案例分析，引出遇見困難時也應有“化繁為簡”“化整為零”的思想去攻堅克難融入課程思政，引入課程新內容的解法。這種方法契合高等數學的教學大綱，符合課程的教學要求，遵循學生學習的特點和認知規律，通過案例分析、提出問題、問題分析吸引學生注意力，將思政元素不突兀地融入到課堂教學中去，貫徹教書育人、立德樹人的教學理念。