廣義Fibonacci和Lucas四元數(shù)矩陣的行列式

楊衍婷

（咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西咸陽(yáng) 712000）

Fibonacci 數(shù)是最著名的數(shù)列之一，它具有許多有趣的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。關(guān)于Fibonacci 數(shù)，有許多推廣的定義和性質(zhì)。在文獻(xiàn)[1]中，Kalman 通過(guò)下面的遞推關(guān)系引入了m階廣義Fibonacci數(shù)

因此，對(duì)于所有的整數(shù)n，遞推關(guān)系式（1）總成立。類(lèi)似地，對(duì)于任意的整數(shù)n，m階廣義Lucas序列是

1843 年，Hamilton 引入了四元數(shù)。作為復(fù)數(shù)的一種擴(kuò)展，它是實(shí)數(shù)? 上的一個(gè)4維結(jié)合但非交換代數(shù)。四元數(shù)廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、微分幾何，量子物理和純代數(shù)等領(lǐng)域。四元數(shù)q定義為如下形式q=q0+q1i+q2j+q3k,其中，1,i,j,k是?4中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，滿(mǎn)足四元數(shù)乘法規(guī)則

i2=j2=k2=ijk=-1,ij=k=-ji,

jk=i=-kj,ki=j=-ik。

許多組成是整數(shù)序列的四元數(shù)被定義。例如，Horadam[2]定義了n階Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)：

Qn=Fn+Fn+1i+Fn+2j+Fn+3k，

Kn=Ln+Ln+1i+Ln+2j+Ln+3k，

其中：Fn與Ln分別是n階Fibonacci和Lucas數(shù)。關(guān)于Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)，有許多研究[3-6]。例如，Halici[3-4]研究了Fibonacci,Lucas 和復(fù)Fibonacci 四元數(shù)，給出了它們的生成函數(shù)和Binet公式,導(dǎo)出了一些求和公式和矩陣表示。Halici[5]引入了新的四元數(shù)序列，指出新的四元數(shù)序列包括之前介紹的Fibonacci,Lucas,Pell,Pell-Lucas，Jacobsthal 和Jacobsthal-Lucas四元數(shù)序列，得到了Binet公式，并給出了該新四元數(shù)序列的Cassini 恒等式、求和公式和范數(shù)值。Tan[6]對(duì)經(jīng)典Fibonacci 四元數(shù)，Pell 四元數(shù),k-Fibonacci 四元數(shù)等文獻(xiàn)中最著名的四元數(shù)進(jìn)行了推廣，給出了這些推廣的四元數(shù)的生成函數(shù)和Binet公式，并利用Binet公式得到了一些著名的結(jié)果。

四元數(shù)矩陣的行列式在四元數(shù)上的線(xiàn)性代數(shù)中起著重要的作用。Li[7]給出了八元數(shù)矩陣行列式的一個(gè)定義，并令其滿(mǎn)足盡可能多的性質(zhì)。類(lèi)似于八元數(shù)矩陣行列式的定義[7]，四元數(shù)矩陣行列式如下。

為了探討廣義Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)矩陣的行列式，首先給出m階廣義Fibonacci和Lucas四元數(shù)的定義。

定義2對(duì)于任意的整數(shù)n，m階廣義Fibonacci 和Lucas四元數(shù)定義為

根據(jù)四元數(shù)矩陣行列式的定義1，研究了m階元素為m階廣義Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)的矩陣的行列式。首先，當(dāng)m=2,3,4 時(shí)，計(jì)算了廣義Fibonacci和Lucas 四元數(shù)矩陣的行列式的取值。然后，對(duì)于任意m≥2 的整數(shù)，將結(jié)果一般化。最后，對(duì)于某些特殊情況，即c1=c2=…=cm=1 且m=2,3,4 時(shí)給出了具體的行列式的值。

2 廣義Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)矩陣的行列式的計(jì)算

為了計(jì)算行列式，首先給出Binet型公式。

定理1對(duì)于任意的整數(shù)n,m階廣義Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)的Binet型公式如下

證明根據(jù)等式(2)(3)(4)(5)(6),結(jié)論成立。

為了得到行列式的值，給出下面的引理1。

引理1對(duì)于四元數(shù)矩陣行列式，有

證明根據(jù)四元數(shù)矩陣行列式的定義和性質(zhì)，即交換行列式的兩行或兩列，行列式的值反號(hào)，可得

定理2對(duì)于任意整數(shù)n，可得

證明根據(jù)Lucas 四元數(shù)矩陣的行列式的定義和性質(zhì)以及Binet型公式，可得

根據(jù)Fibonacci四元數(shù)矩陣的行列式的定義和性質(zhì)以及Binet型公式，可得

證明根據(jù)Lucas 四元數(shù)矩陣行列式的定義和性質(zhì)以及Binet型公式，借助于引理1，有

根據(jù)Fibonacci四元數(shù)矩陣行列式的定義和性質(zhì)以及Binet型公式，借助于引理1，有

證明類(lèi)似于定理2與定理3的證明，可得結(jié)論。

一般地，定理2,3,4的結(jié)論可擴(kuò)展如下。

定理5對(duì)于任意整數(shù)n，可得

證明通過(guò)對(duì)行列式進(jìn)行拆項(xiàng)，并交換行列式的行和列，借助于引理1，可得