單元整體設(shè)計，提高思維能力
——以《四邊形——矩形》設(shè)計為例

樓立煥

一、單元設(shè)計的意義與作用

課堂教學(xué)中會碰到教師課堂教學(xué)目標(biāo)不明確，學(xué)生參與度低的情況，原因主要是教師對教學(xué)的整體把握欠缺，筆者在對教材的整體研究過程中，更深刻地體會到單元整體教學(xué)的重要。從系統(tǒng)角度把握單元知識，找到單元核心知識、核心技能是關(guān)鍵，以核心知識(技能)統(tǒng)籌單元所學(xué)知識，從而實現(xiàn)從單個知識到整體單元的跨越，這也是進(jìn)行“思維課堂”的必經(jīng)之路。明確了這一點之后，就不難進(jìn)行單元的統(tǒng)整設(shè)計了。首先要進(jìn)行的就是單元核心知識的羅列，從而明確單元主題，后續(xù)的分步教學(xué)、活動設(shè)計、單課目標(biāo)都圍繞這一主題及單元核心知識展開。

二、以四邊形為例的單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

在單元設(shè)計中考慮到學(xué)生們對平行四邊形有一定的掌握，因此，在平行四邊形的演示環(huán)節(jié)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，便于學(xué)生們理解平行四邊形與矩形之間的聯(lián)系，根據(jù)演示結(jié)果來試著總結(jié)矩形的定義；在學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)時，從軸對稱角度分析矩形性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生們對知識運用的質(zhì)量得到有效提升；同時，在教學(xué)過程中積極引入現(xiàn)實案例，從學(xué)生們身邊挖掘數(shù)學(xué)抽象問題，并在課堂上加以詳細(xì)解析，使學(xué)生們能夠在課堂上感受到數(shù)學(xué)源于生活并可以服務(wù)生活的作用，有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四邊形是三角形后第二個學(xué)習(xí)的直線型的幾何圖形，因此其學(xué)習(xí)模式可遵循三角形學(xué)習(xí)的一般模式，比如從概念、性質(zhì)、判定、應(yīng)用等方面進(jìn)行研究，從一般到特殊的方向進(jìn)行延伸；并且四邊形作為多邊形內(nèi)容的具體實例來講為后續(xù)的多邊形學(xué)習(xí)提供了學(xué)習(xí)依據(jù)。但同時我們也需要關(guān)注四邊形與三角形之間的差異性，這種差異性往往就是四邊形最為重要的特質(zhì)所在，而對特殊四邊形的學(xué)習(xí)，我們需聚焦到各四邊形內(nèi)部的聯(lián)系與各自的特征，從單元整體的角度去進(jìn)一步感知其特性與具體問題之間的聯(lián)系(圖1)。

圖1

本節(jié)課為四邊形的第二課，在平行四邊形基礎(chǔ)上抓住矩形的特征，也就是直角所帶來的相關(guān)性質(zhì)、判定以及結(jié)構(gòu)特征，矩形的復(fù)習(xí)將為后續(xù)復(fù)習(xí)菱形和正方形提供參照模板和對比對象，而直角所構(gòu)建的軸對稱模型和直角三角形正是我們定性研究和定量運算的優(yōu)良載體。對矩形的學(xué)習(xí)是建立在平行四邊形的基礎(chǔ)上研究的第一個特殊平行四邊形。這樣的結(jié)構(gòu)設(shè)置就決定了矩形的教學(xué)價值有三個。

1.傳承了三角形從一般到特殊的研究形式，通過強(qiáng)化條件，得到新圖形研究新的性質(zhì)。

2.強(qiáng)化研究幾何圖形的幾個維度，以及概念、性質(zhì)、判定之間的聯(lián)系。

3.為研究菱形、正方形提供堅實的探究基礎(chǔ)。

因此，我們的復(fù)習(xí)模式應(yīng)遵循幾何研究的一般思路，讓幾何復(fù)習(xí)形成完整并且相互聯(lián)系的單元結(jié)構(gòu)。而作為特殊平行四邊形的典型代表，突破矩形的方式主要有兩種：第一，軸對稱背景下的定性研究；第二，依托于直角的定理計算，所以在復(fù)習(xí)時應(yīng)從高視角深入地再認(rèn)識矩形，取得以一破百的效果。

【單元目標(biāo)和目標(biāo)解析】

1.單元目標(biāo)

(1)通過單元整體復(fù)習(xí)，理解各類四邊形的內(nèi)在聯(lián)系，提升對四邊形整體架構(gòu)的認(rèn)識。

(2)通過區(qū)分四邊形的差異，進(jìn)一步體會各四邊形的結(jié)構(gòu)特征，加深對四邊形特性的理解。

(3)以四邊形特征為切入點，通過解決具體問題，理解四邊形的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征。

2.目標(biāo)解析

本節(jié)課的內(nèi)容建立在單元目標(biāo)的基礎(chǔ)下，通過對整體框圖的再認(rèn)識，進(jìn)一步理解四邊形的內(nèi)在聯(lián)系，從而在解決問題時能合理選擇突破口，抓住問題核心。通過對矩形結(jié)構(gòu)特征的進(jìn)一步認(rèn)識，解決具體問題，加深對矩形特性的理解。解決問題之后及時進(jìn)行總結(jié)歸納，理解矩形的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征在解決問題中的具體作用。

【單元教學(xué)問題診斷分析】

對單元整體復(fù)習(xí)來說，存在的障礙主要有以下幾點。

1.對整體理解的差異性。

2.對方法選擇的不確定性。

3.對基本結(jié)構(gòu)與基本方法總結(jié)提煉的困難性。因此本節(jié)單元的內(nèi)容重點在理解四邊形之間的聯(lián)系，難點在各圖形的特征結(jié)構(gòu)。

【單元教學(xué)支持條件分析】

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問題診斷的要求，決定采用幾何畫板進(jìn)行變化與歸納，采用同頻技術(shù)及時反饋學(xué)習(xí)成果，精準(zhǔn)地解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，探尋數(shù)學(xué)規(guī)律。

【單元教學(xué)過程設(shè)計】

環(huán)節(jié)一：課時框架梳理

問題1：四邊形基本研究思路是怎樣的？

解析：在研究四邊形時，在轉(zhuǎn)化思想的引導(dǎo)下，可以將其看做兩個三角形的組合來進(jìn)行研究。其輔助線可以取對角線，利用對角線來將四邊形分割為兩個三角形，同時結(jié)合三角形的性質(zhì)去判斷四邊形的性質(zhì)。在實際教學(xué)當(dāng)中，要注重引導(dǎo)學(xué)生輔助線的畫法與思路，幫助學(xué)生們培養(yǎng)問題研究能力與分析總結(jié)能力，同時在合理掌握演繹推理當(dāng)中運用所學(xué)知識來解決新問題，是教學(xué)中體現(xiàn)出以生為本育人思想的重要過程。

問題2：這個直角為矩形整體性質(zhì)與結(jié)構(gòu)特征提供哪些作用？

解析：矩形四個角均為直角，實際上在平行四邊形中，只要一個角為直角，均屬于矩形，與此同時，由于內(nèi)角為直角，所以矩形的對角線性質(zhì)與平行四邊形的對角線性質(zhì)并不相同。平行四邊形的對角線可以不相同，但是矩形的對角線一定相同，在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生們來證明矩形對角線相同，即以角相同為性質(zhì)可判斷其線相同。

問題3：對直角你又會產(chǎn)生什么想法？

解析：在幾何學(xué)當(dāng)中，直角屬于角度為90°的角，從矩形中來看，四個內(nèi)角均為直角，而從三角形來看，當(dāng)三角形含有直角時，均為直角三角形，即一角為90°，另外兩角和為90°。而對平行四邊形來講，當(dāng)一角滿足直角的要求，即可將其視為矩形。

環(huán)節(jié)二：例題精講

【例1】下列命題判斷正確的是

(B)

A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形

B.順次連接菱形四邊中點所得的四邊形是矩形

C.有一個角是直角的四邊形是矩形

D.一組對邊平行且相等的四邊形是矩形

解析：該題考查的是學(xué)生對矩形性質(zhì)的理解與掌握，從A選項來看，“有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形”，從矩形性質(zhì)來看，假設(shè)平行四邊形的鄰邊角為90°，平行四邊形可以為矩形，而選項并未說明鄰邊角為90°，所以排除A選項；從B選項來看，結(jié)合菱形性質(zhì)與三角形中位線性質(zhì)來看，B選項正確；從C選項來看，當(dāng)四邊形一角為直角時，四邊形為矩形，并不滿足矩形性質(zhì)，當(dāng)四邊形非平行四邊形時且滿足一角為直角時，此時的四邊形未必為矩形，所以排除C選項；D選項當(dāng)中“對邊平行且相等的四邊形是矩形”，可以聯(lián)系平行四邊形性質(zhì)來看，平行四邊形也滿足對邊平行且相等，但是平行四邊形并不等于矩形，所以排除D選項。綜合所述，該題答案選B。

【例2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)EB，EC，DB。添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是

(C)

A.AB=BEB.BE⊥DC

C.∠ADB=90° D.CE⊥DE

問題1：矩形的判定可以從哪些起點出發(fā)，需要何種條件？

解析：在判定矩形時，需要滿足該圖形為平行四邊形的前提，即對邊平行且相等，而題目已知四邊形ABCD為平行四邊形，此時可以利用對角線相等或內(nèi)角為直角的思路去判定，所以在確定是否滿足對角線相等或內(nèi)角為直角時，需要利用輔助線證明。

問題2：矩形和菱形的判定方式存在哪些聯(lián)系與差異？

解析：矩形和菱形均屬于特殊的平行四邊形，但是矩形的鄰邊不一定相同，而菱形的鄰邊一定相同；從對角線上來看，矩形的兩條對角線相同，而菱形的兩條對角線不一定相同，矩形的兩條對角線不一定相互垂直，而菱形的兩條對角線一定相互垂直。從相同點來看，矩形與菱形均具備平行四邊形的基本性質(zhì)，且為軸對稱圖形。

【例3】如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點O，∠AOD=120°，AB=4cm，

(1)判斷△AOB的形狀。

解析：由題目條件可知四邊形ABCD為矩形，而∠AOD=120°，根據(jù)三角形性質(zhì)可判斷∠AOB=180°-∠AOD=60°，且再聯(lián)系矩形對角線性質(zhì)可得知OB=OA，所以再聯(lián)系三角形性質(zhì)，當(dāng)∠AOB=60°且OA=OB時，OB=OA=AB，即△AOB為等邊三角形。

(2)求矩形對角線的長。

解析：由于△AOB為等邊三角形，所以該矩形的寬為對角線的一半，而根據(jù)題目條件得知AB=4cm，所以在求解時可得知AC=BD=2AB=2×4cm=8cm。

(3)點P是AD上任意一點(點P不與點A，D重合)，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，求PE+PF的值。

【例4】如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，則∠AEO=30°。

解析：聯(lián)系已知條件得知∠BAE=45°，而∠CAE=15°，所以∠BAC=45°+15°=60°，可知△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=60°，同理△ABE為等腰三角形，AB=BE=OB，所以此時可得知△BOE為等腰三角形，根據(jù)已知條件得知∠OBE=30°，因此∠BOE=∠BEO=75°，由于∠AOB=60°，所以∠AOE=60°+75°=135°，又已知∠CAE=∠OAE=15°，因此可得出∠AEO=180°-15°-135°=30°。

【例5】如圖，在矩形ABCD中，將∠C沿著BF折疊，使點C落在AD上，點C的對應(yīng)點為點E，若AB=6，BC=10，求AE，DF的長。

問題1：矩形中的直角在解決此類問題中扮演何種角色？

解析：在解決這類問題當(dāng)中，直角三角形不僅可以利用勾股定理計算邊長，同時可以在三角形相似中進(jìn)行推理與計算，從而能夠幫助求解。在初中數(shù)學(xué)圖形證明題當(dāng)中，關(guān)于矩形證明題的應(yīng)用十分常見，學(xué)生要能在這其中熟練掌握矩形性質(zhì)，方能在解題中游刃有余。

問題2：能否體會矩形在定量運算中作為良好載體的作用？

解析：矩形屬于比較特殊的平行四邊形，其中內(nèi)角為直角，所以在圖形邊長定量計算當(dāng)中，矩形可在其中體現(xiàn)出良好的載體作用。

提煉：體會利用矩形中的直角得到直角三角形，利用勾股定理解決求具體線段長度的作用。

環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)

1.總結(jié)矩形的基本性質(zhì)與判定方法。

2.羅列本節(jié)課所學(xué)到的矩形的基本結(jié)構(gòu)。

3.分析利用矩形解決具體問題的思路。

【單元整體設(shè)計思考】

矩形在初中數(shù)學(xué)板塊中占據(jù)著重要的地位，矩形的教學(xué)工作涉及大量的邏輯推理方法，而這些需要在學(xué)生已有的直觀感知基礎(chǔ)上充分研究矩形命題，使學(xué)生們能夠從中逐漸認(rèn)識幾何研究中邏輯推理的重要性。而本節(jié)課單元教學(xué)整體效果良好，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，且突出了教學(xué)重難點，但是在課后反思中發(fā)現(xiàn)仍舊有一些不足之處：①在例題精講中，名為精講，實則講解未透徹。事實上，在幾何習(xí)題中，對學(xué)生們的邏輯思維能力考查較多，而發(fā)散性思維的有效體現(xiàn)則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，但是筆者在講解例題時忽略了激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維的重要目標(biāo)，從某種程度上來講，不利于實現(xiàn)活學(xué)活用的目的。②學(xué)生們在課堂上出現(xiàn)思維性錯誤屬于比較常見的現(xiàn)象，而此刻作為教師，應(yīng)當(dāng)及時引導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)其思維能力，但是事實上筆者并沒有對學(xué)生做好積極的引導(dǎo)，多以講解題思路來代替思維引導(dǎo)，對學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性有一定的負(fù)面影響。而初中幾何教學(xué)十分考驗數(shù)學(xué)教師的教學(xué)基本功，所以綜合本節(jié)課教學(xué)，筆者覺得在教學(xué)工作中，還有很多有待提升之處，希望在以后教學(xué)中要對這些問題加以重視和關(guān)注。

三、結(jié)語

綜合文章研究結(jié)果可以看到，在單元整體教學(xué)設(shè)計中，教師需要兼顧整體教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)各子單元教學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系在學(xué)生們學(xué)習(xí)認(rèn)知中得到有效提升，取得良好的效果。文章以矩形單元教學(xué)內(nèi)容為例，在開展案例分析與例題精講中，幫助學(xué)生們提升自身數(shù)學(xué)知識認(rèn)知能力，實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生思維能力與數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的整體單元教學(xué)目標(biāo)。