Huber M 估計在CPIII 高程網平差中的抗差性分析

林 飛，史國強

（1.杭州市勘測設計研究院有限公司，浙江 杭州 310012）

CPIII 高程控制網是CPIII 三維控制網中的重要一環，相對精度很高，主要為了滿足高鐵及城市軌道交通對鋪軌施工的高要求，在高鐵CPIII高程網的外業施測中，目前采用最多的以及精度最高的方法主要是矩形法[1]。如圖1所示，圖中的實心箭頭主要表示高差的傳遞方向。通過對矩形法的精度估算，可以認為無論在縱向、橫向還是對角方向，其中任意相鄰CPIII高程點的高差中誤差均具有較高的精度，完全能夠滿足軌道控制網CPIII 建網精度的要求。而在城市軌道交通的CPIII 高程網外業施測中，目前主要用的方法是三角高程測量。傳統的水準網平差一般都是通過最小二乘法求取，然而因為最小二乘估計不具備抗粗差的能力，如果測量數據中存在粗差，則計算結果將會受到嚴重的影響，其估計值會因為粗差的影響而嚴重偏離正確值。因此本文研究的目的，主要是引入Huber 函數的穩健估計到CPIII 高程網平差中進行粗差探測，并結合數據探討調和系數的變化對Huber 法的具體影響。

圖1 矩形法示意圖

1 穩健估計原理

M 估計是穩健估計的一種，又叫做極大似然估計，穩健估計在測量中也被稱作抗差估計，其正是鑒于最小二乘法對粗差的敏感性而被提出的，主要用來消除或減弱粗差對參數估計的影響[2]。其核心思想是，在無法避免粗差影響的情況下，通過構造合理的估計方法來盡可能減少粗差對參數的估值的不良影響，得出最優或接近最優的參數估值[3-4]。穩健估計基本可以分為三類，即M估計、L估計和R估計[5]。它是經典的極大似然估計的推廣，易于程序實現，所以本文主要探討的是M估計。

設L1，L2，…，Ln為觀測樣本，且L1，L2，…，Ln之間相互獨立；X為待估參數。Li的分布密度為f(li，X^)，則其極大似然估計準則為：

通過選擇合適的ρ函數或φ函數，再利用式（3）或式（4）來計算參數X的估值，即M估計[6]。

由上述可知ρ函數的重要性，一個ρ函數就定義了一個M估計。為此，國內外的學者們提出了很多可供選擇的ρ函數，常用的ρ函數主要有Huber 法、L1-L2法、丹麥法、IGG方案以及Fair法等[7]，本文主要研究的是Huber法，其ρ函數為：

2 算例分析

2.1 概 況

選取某項目的一段CPIII高程網的實測數據如表1所示，其中153H21 點為線上水準已知點，起算高程為514.289 6 m，選取10 個CPIII 點，以測段距離來定權，取1 km為單位權觀測。

由水準觀測線路可先確定各CPIII 點的初始高程值，將表1 的數據及起算點高程值編輯到程序可以讀取的txt文本中，然后用所編程序進行解算。取未加粗差的經典最小二乘法的計算結果作為正確值。

表1 原始觀測數據

2.2 加入一個粗差時不同系數的影響

為方便討論問題，在原觀測數據的線路L4中加入10 mm（遠大于兩倍中誤差）的粗差，即觀測高差變成0.186 34 m，在一個粗差的情況下，分別取系數為1、1.5、1.8、2、2.5 時的計算結果進行對比。首先是不同系數下的Huber 法以及最小二乘法計算的殘差V的對比，如表2所示。

表2 不同系數情況下Huber法計算的殘差V的對比/mm

不同系數下的Huber 法以及最小二乘法計算的高程值與正確值之差如表3所示。

表3 不同系數Huber法計算的高程值與正確值之差的對比/mm

由表2和表3可以看出：

1）在加入一個粗差的情況下，系數取1.5、1.8和2的計算結果是一致的。

2）在系數不超過2的前提下，Huber法殘差V中所體現的粗差大小和位置，與實際所添加的粗差大小和位置十分吻合，充分說明穩健估計良好的粗差探測能力，而最小二乘法以及系數取為2.5時的Huber法的殘差陣無法看出實際添加的粗差的位置和大小。

3）當有一個粗差時，最小二乘法以及系數取為2.5時，Huber法的計算結果已偏離了正確值，而系數值取小于等于2 時，計算結果都與正確值相差很小，此時Huber法的抗粗差效果不受影響。

綜上可知，當加入一個粗差時，Huber 法的調和系數在小于等于2的情況下最優。

2.3 加入兩個粗差時不同系數的影響

為方便討論問題，再在原始數據線路L8 上加入10 mm的粗差（遠大于兩倍中誤差），然后分別取調和系數的值為0.5、1、1.5、1.8、2、2.5時的計算結果進行對比。

不同系數下的計算高程值與正確值之差如表4所示。

表4 不同系數Huber法計算的高程值與正確值之差的對比/mm

不同系數時所求得的殘差V如表5 所示。由表4和表5可以得出以下結論：

表5 不同系數情況下Huber法計算的殘差V 的對比/mm

1）在加入一個粗差的情況下，系數取1.8、2 和2.5的計算結果是一致的。

2）當系數取大于1.5 的時候，Huber 法的計算結果偏離了正確值，而系數值取小于等于1.5 時得計算結果都與正確值相差很小。

3）當系數不超過1.5 時，Huber 法的殘差V所體現出的粗差大小和位置，與實際所添加的粗差大小和位置十分吻合，而系數大于1.5時的Huber法的殘差陣無法看出實際添加的粗差的位置和大小

因此，當加入兩個粗差時，Huber 法的調和系數的取值在小于等于1.5的情況下最優。

3 結 論

綜合加入一個粗差和2 個粗差這2 種情況下的結果分析，可以得出結論，調和系數的取值范圍會極大的影響Huber 法的抗粗差性，且調和系數的取值在小于等于1.5 的情況下是最優的。在調和系數取值合適的情況下，Huber法具有優良的抗粗差性。

本文研究粗淺，相信在今后的發展中，以Huber法為代表的穩健估計各選權迭代法必將在測繪領域得到更加廣泛的應用。