明思想之道，優解題之術
——基于數學思想的2022年新高考全國Ⅰ卷部分試題的求解

何 燈 王少光

福建省福清東張中學 (350305) 福建省福清第三中學 (350315)

“取勢、明道、優術”是中國古代的哲學思想，就是指“明確方向，把握規律，辦事有方”.它闡明了做任何事情都應遵循的基本道理，是中華優秀傳統文化中的瑰寶，可以成為我們在深化教育領域綜合改革的新形勢下做好數學教育的指導思想[1].

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次[2].在日常教學中，教師往往注重知識的講解，方法的傳授，卻將數學思想的滲透丟棄一旁.為什么很多學生數學的學習僅僅停留在最初級的模仿階段？題目變一下，就不會了呢？究其原因，絕大多數學生是不懂得站在思想的高度來思考和引領方法，或者是思維混亂導致想不起來用什么方法來求解問題.顯然，在教學中滲透數學思想方法尤為重要.

本文以2022年新高考全國Ⅰ卷部分試題為例，就數學基本思想方法的解題策略作一探析，以饗讀者.

1.分類與整合思想——分類策略

分類策略是“分類與整合思想”在數學解題中的應用，它是指根據所研究對象的性質差異，區分不同的情況予以分析解決.此類問題有利用考查學生對數學基礎知識和基本技能的理解，有助于學生理性思維能力的提高.

分析：本題需要考生利用二項式定理將(x+y)8展開，再利用分類策略討論第一個括號中取某一項時，第二個括號中需要取哪一項，相乘才能出現與x2y6有關的項.

2.函數思想——函數策略

函數策略是“函數思想”在數學解題中的應用，是指在解題中充分考慮對應、相依關系，以及運動變化過程，通過假設變量，構造函數，運用函數概念以及函數性質進行分析與轉化，進而達到解決數學問題的策略.在高中數學教學的具體內容中，很多問題的求解離不開函數思想的應用，如比大小、方程根的個數判定、含參不等式問題等.

A.a

分析：本題需要考生根據三個數的形式特征，構造適當的函數，利用導數工具進行比較分析.

3.化歸與轉化思想——轉化策略

轉化策略是“化歸與轉化思想”在數學解題中的應用，它是指在研究解決數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，使問題變得熟悉或易于解決的一種策略.

題11 已知O為坐標原點，點A(1,1)在拋物線C：x2=2py(p>0)上，過點B(0,-1)的直線交C于P，Q兩點，則( ).

A.C的準線為y=-1 B.直線AB與C相切

C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2

分析：本題A、B選項的判定較為容易，C、D選項的判定需要求解出|OP|·|OQ|與|BP|·|BQ|的具體形式，要求考生有一定運算求解能力.若采用轉化策略對|OP|·|OQ|與|BP|·|BQ|的表達式進行適當的轉化，就可以避免繁雜的計算，將問題輕松解決.

4.數形結合思想——圖形策略

圖形策略是“數形結合思想”在數學解題中的應用，它是指利用圖象，將數與形之間的對應關系與相互轉化來解決問題的策略.“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用圖形策略有利于分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力[3].

題14 寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

圖1

分析：本題符合條件的直線有三條，考生只要能夠較為準確的畫出兩個圓，即可通過觀察得到直線x=-1符合要求.命題者的考查意圖是希望考生在數形結合思想的引領下，畫出圖形如圖1、觀察圖形、利用圖形、求解問題，而不是通過設直線，聯立方程等繁雜的方法來求解問題.

圖2

分析：本題若分別求出△ADE三邊的長，計算量比較龐大，命題者的考查意圖是希望考生對題設條件的數量關系作感知，以發掘條件的隱含信息，借助圖形，如圖2，觀察得出圖形的關鍵特征，對所求問題進行轉換，以有效解決問題.

5.特殊與一般思想——特殊化策略

特殊化策略是“特殊與一般思想方法”在數學解題中的應用，是指通過選取特殊元素，依據問題在一般情況下真，則在特殊情況下亦真，反之，在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真.高考中對它的考查方式主要有：通過尋求特殊值、特殊點、特殊數列、特殊函數、特殊的位置關系等來研究解決不確定問題、運動變化問題、抽象問題等.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

6.結語

日本數學家、教育家米山國藏說過這樣一段話：“學生們在學校學到的數學知識，在進入社會后很快就忘掉了，但是，只有深深銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發揮作用，使他們受益終生.”教師在教學中要充分發掘教材中的知識點和典型例子中所蘊含的數學思想和方法，依靠數學思想指導數學思維、數學問題求解，讓學生在潛移默化中去領悟、運用并逐步內化為思維品質，促進學生能力的提升.