特殊圖形探路 極限思維求解
——對2022上海高考第16題的探究

方長林

上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué) (200434)

2022年上海高考數(shù)學(xué)卷第16題延續(xù)了上海卷一貫的命題風(fēng)格：對兩個(gè)命題真假性進(jìn)行判斷.題干表述語言簡潔明確，思維能力要求很高,題目設(shè)計(jì)富有創(chuàng)意.有不少優(yōu)秀的學(xué)生在此題上都馬失前蹄，痛失五分.但也有數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的學(xué)生直呼簡單，更多的考生則是束手無策，憑數(shù)學(xué)直覺，從“概率”的角度猜一個(gè)選項(xiàng)，碰碰運(yùn)氣.

1.原題呈現(xiàn)

設(shè)集合Ω={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,k∈Z}.①存在直線l，使得集合Ω中不存在點(diǎn)在l上，而存在點(diǎn)在l的兩側(cè)；②存在直線l，使得集合Ω中存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)在l上.則下列判斷正確的是( ).

A.①成立②成立 B.①成立②不成立

C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立

2.解法分析

解：∵Ω={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,k∈Z}.若k=0，則Ω={(0,0)}；若k=±1，則Ω={(x,y)|(x±1)2+(y-1)2=4}；若k=±2,則Ω={(x,y)|(x±2)2+(y-4)2=8}；…

圖1

圖2

3.解后思考

(2)本題兩個(gè)命題真假性的判斷含雙邏輯用語.存在性命題論證要舉出實(shí)例；不存在性命題論證，要從它的否定命題出發(fā)，證明一個(gè)任意性命題成立，這主要是考查學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).但因?yàn)槭沁x擇題，所以對于考生而言，有時(shí)會(huì)有“做不如猜”的想法，這有違于試題考查的意圖.

(3)對于結(jié)論②為假，要證明“任意直線l,集合Ω中不存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)在l上”，結(jié)合圖形，運(yùn)用極限的方法進(jìn)行論證，其實(shí)還是不夠嚴(yán)謹(jǐn).其本質(zhì)是直線與拋物線最多只要兩個(gè)交點(diǎn)，而直線與每個(gè)圓也最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，直線無論怎么變化，一旦與拋物線位置確定，隨著圓系中圓的圓心在拋物線上變化，總可以找到某個(gè)圓，使其后面的圓與直線再無交點(diǎn).

(4)極限思想方法在高考試題中的妙用.

4.相近試題

例2 有一系列圓Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4，其中k∈N*，下列命題：

①存在一條定直線與所有的圓都相切；

②存在一條定直線與所有的圓都相交；

③存在一條定直線與所有的圓都不相交；

④所有的圓都不經(jīng)過原點(diǎn).其中真命題是.

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④