星下點構型對目標定位精度的影響分析*

屈 瑞 宋 友 李國賓 劉志江 鄧 麗 段 然

1. 北京航空航天大學軟件學院，北京 100191 2. 中國科學院國家空間科學中心復雜航天系統電子信息技術重點實驗室，北京 100190

0 引言

無源定位是一種在自身不發射電磁波的情況下，利用被探測目標自身所發出的信號進行定位的目標探測技術。目前基于多星系統的無源定位已廣泛應用于軍事和民用領域[1-3]，包括無線通信[2]、布站[4]、雷達[5]、導航等[6-8]。隨著大規模衛星星座網絡的發展，開展多星聯合定位，有效提升定位精度越來越重要。

多星定位可以利用的參數包括到達角(Angel of Arrival，AOA)、到達時間(Time of Arrival，TOA)、到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)、到達頻率差(Frequency Difference of Arrival，FDOA)等。聯合多種測量參數的定位體制可以融合不同參數的優勢，提升對目標輻射源信號類型的適應能力，并在一定程度上提高定位精度。

HO等首次提出TDOA/FDOA算法是對運動目標進行定位的經典兩階加權的最小二乘(weighted least squares, WLS)算法[9]并推導了多星TDOA/FDOA聯合定位的誤差CRLB，通過此方法計算出了無偏估計器中最優無偏估計器能夠產生的最小的定位誤差[10]。CHOU等計算了雙星聯合定位的幾何精度因子(geometric dilution of precision, GDOP)和方差，得出TDOA/FDOA定位曲面與地球表面夾角為直角時定位誤差最小的結論[11]。常新亞等根據雙星時差/頻差(TDOA/FDOA)的定位原理，推導了目標定位精度模型，分析了目標定位精度與誤差源之間的關系，且通過分析得知FDOA測量精度和衛星速度測量精度是影響雙星定位的關鍵因素之一[12]。豐澤斌等在應用GPS、北斗等系統進行定位時，使用通過信號質量、仰角的選擇并結合模糊綜合評判的一系列選星策略，來高效選取最佳衛星組合[13]?？祰A等提出了一種基于M-W組合觀測值進行自適應估計觀測噪聲的方法，通過對觀測噪聲統計實時估計觀測噪聲[14]。任凱強等針對三星時差定位系統中，由星歷誤差和時間同步誤差導致無法精確定位的問題，提出一種基于正交投影的兩步迭代有源校正算法[15]。

上述研究側重于定位算法的改進和優化，對星座構型特別是星下點構型對定位精度的影響分析研究較少。本文基于TDOA/FDOA對地面輻射源目標的定位原理，建立了多星TDOA/FDOA聯合定位模型和定位精度分析模型。針對三星和四星系統的不同星下點構型，仿真分析了5種三星系統星下點構型和4種四星系統星下點構型的目標定位精度。

1 多星TDOA/FDOA定位的基本原理

多星TDOA/FDOA定位是通過配置有接收和處理模塊的多顆衛星同時接收運動的目標輻射源的發射信號，根據信號到達不同衛星的時間差、多普勒頻移差來確定目標的位置。

設地面輻射源目標的位置坐標為u。衛星的位置坐標為si，i為衛星序號，假設選取1號衛星為主參考星(以下簡稱“主星”)，其他星為副星，在計算TDOA與FDOA時副星均以主星為參考，衛星與目標的相對位置為ri，相對運動速度為vi。TDOA/FDOA定位原理表示如式(1)。

(1)

式中：TDOAi為主星與i號副星的到達時間差，FDOAi為主星與i號副星的到達頻率差。f為探測頻率，c為光速。通過衛星探測數據得到的兩星之間的時差和頻差，聯合求解非線性方程組，計算出目標位置。該方程屬于非線性的三元高次方程，一般通過數值迭代和多維搜索取得一定精度下的近似解。國內外學者提出了很多進行解算的方法，包括降元法、基于泰勒級數法的求解法、牛頓迭代求解法等。本文不對其求解方法進行討論，主要對該方法的定位精度進行分析。

2 多星構型的定位精度分析

目標的定位精度受多種因素影響，包括星座構型、測量因素和目標輻射源本身特性，如圖1所示。星下點構型主要影響基線長度和基線方向。

圖1 目標定位精度影響因素

這里以三星定位為例，基于多星TDOA/FDOA定位原理，可以進一步推導出目標定位精度模型。由式(1)可知，

(2)

利用全微分法對其影響因素對定位精度的影響進行建模。對式(2)中的變量TDOA2,TDOA3,FDOA2,FDOA3,(x,y,z),(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),(vx1,vy1,vz1),(vx2,vy2,vz2),(vx3,vy3,vz3)進行一階線性近似展開，可得其定位精度評定模型。

(3)

將式(3)改寫為：

(4)

(5)

設K1=B1+B2+B3,K2=B2,K3=B3,K4=B4,K5=B5,K6=B6, 并認為兩顆衛星的位置測量精度、速度測量精度、TDOA測量精度、FDOA測量精度互不相關，則利用矩陣相關運算得到：

(6)

式中：M為TDOA和FDOA測量精度的相關矩陣；Ei為位置測量精度和速度測量精度的相關矩陣。從上面的分析結果可以看出，計算定位精度需要計算TDOA和FDOA測量精度相關矩陣M、位置測量精度及速度測量精度相關矩陣Ei。

假設信號TDOA和FDOA的測量精度均值為0，且互不相關，則TDOA和FDOA的測量精度相關矩陣為：

(7)

這里認為絕對位置測量精度分量 dxi, dyi,dzi是各自獨立的隨機變量，因此衛星不同時刻的絕對位置測量精度相關矩陣為

(8)

式中:σas為主星的絕對位置測量精度。2號副星及3號副星相對于1號主星的相對位置測量精度相關矩陣為

(9)

式中:σrs為相對位置測量精度。三星的速度測量精度相關矩陣表示為

Ei=diag(D(dvxj),D(dvyj),D(dvzj)),
i=4,5,6,j=1,2,3

(10)

式中：D(dvxj),D(dvyj),D(dvzj)分別表示1號主星、2號副星和3號副星在x、y、z方向上的速度測量精度。

目標定位精度σ用式(8)計算出的3個正交方向上的測量精度σx,σy,σz表示，即：

(11)

以上為三星定位系統的目標定位精度模型，四星定位系統的目標定位精度模型與之同理，這里就不再贅述。

3 仿真校驗

3.1 仿真輸入

仿真軌道高度600km圓軌道，波束角40°，探測區域1000km，多顆衛星近似在同一軌道面內。

各項測量精度指標為：目標輻射信號頻率為3GHz，TDOA測量精度為100ns，FDOA測量精度為20Hz，速度測量精度為10m/s，絕對位置測量精度為100m，相對位置測量精度為10m。各個測量量彼此相互獨立。

有效定位區域：滿足目標定位精度小于或等于10km的區域。定位因子：有效定位區域占探測區域的比值。

3.2 三星構型的目標定位精度分析

對比5種典型的衛星星下點構型的定位精度分布情況，每種構型中的最長基線均為900km。5種構型星下點分布分別為直線型、頂角為30°的等腰銳角三角形、等邊三角形、頂角為90°的等腰直角三角形、頂角為120°的等腰鈍角三角形。

探測區域為三星定位系統中心星下點為中心，經仿真分析，其探測區域內的定位精度如圖2所示，其中圓圈代表衛星的星下點位置分布，箭頭表示各衛星的速度。

圖2 三星不同星下點構型時探測區域的GDOP圖

3.3 四星構型的定位精度分析

對比4種典型的衛星星下點構型的定位精度分布情況，每種構型中的最長基線均為900km。4種典型構型的星下點分布為：直線型、近似等腰直角三角形、等邊三角形和凸四邊形。仿真分析，探測區域的定位精度如圖3所示，其中圓圈代表衛星的星下點位置分布，箭頭表示各衛星的速度。

圖3 四星不同星下點構型時探測區域的GDOP圖

3.4 數據分析

經仿真計算得到的三星構型和四星構型的定位精度和定位因子如表1所示：

表1 不同構型的定位精度均值及定位因子

三星定位系統中，星下點等邊三角形構型的定位精度分布最優，在定位區域內的定位有效區域達到100%，且在定位區域內的平均定位精度達到6.1m。直線型構型定位精度最差。三星星下點位置越分散，目標區域內的定位精度越高。

四星定位系統中，星下點凹四邊形構型的定位精度分布最優，在定位區域內的定位有效區域達到100%，且在定位區域內的平均定位精度達到5.9m；其次是星下點凸四邊形構型，在定位區域內的定位有效區域同樣達到100%，在定位區域內的平均定位精度為6.3m，構型2的定位精度相對構型3和構型4較低，定位精度為7.8m。構型1直線型，存在定位盲區，且定位精度較差，有效定位區域內的定位精度為639.5m。同樣可以看出，四星星下點位置越分散，目標區域內的定位精度越高。

對比四星定位和三星定位，衛星數量的增減，能提升定位精度。三星及四星定位系統中，當衛星構型為非直線型時，其定位精度能達到米級左右。在觀測范圍內，星下點位置越分散，目標區域內的定位精度越高。

因此，為了獲得更高的精度，應該盡量應用非直線型的三星及四星定位系統對目標進行觀測，同時，各衛星之間的基線盡可能拉長。

4 結論

大規模衛星星座的發展，使得目標定位精度的分析更為重要。目標定位受多種因素影響，包括星座構型、測量因素和目標輻射源本身特性。本文在假定測量因素確定的條件下，針對性地分析了多顆衛星不同星下點構型對定位精度的影響。定位衛星數量的增加，可以提高定位精度。星下點位置越分散，目標區域內的定位精度越高，盡量避免選用星下點直線型的三星及四星定位系統。在未來利用大規模衛星星座進行目標定位時，本文研究為針對性地選取可視衛星和定位精度分析提供了有效支撐。