海表外強迫效應對連續層化流體中先驅內孤立波生成的影響?

張靜華，江文勝

(1.中國海洋大學環境科學與工程學院, 山東 青島 266100；2.交通運輸部天津水運工程科學研究院，天津 300456；3.中國海洋大學海洋與大氣學院物理海洋教育部重點實驗室, 山東 青島 266100; 4.青島海洋科學與技術試點國家實驗室，山東 青島 266237)

內孤立波是層化海洋中常見的現象，其現象豐富、機制復雜，盡管研究手段多樣，但目前尚未完全認識清楚。傳統觀點認為，內孤立波主要由正壓潮流和地形相互作用而產生[1-2]，但這種機制并不能解釋所有的內孤立波生成。研究表明，一些其它機制如混合區塌陷機制、共振機制、西邊界流不穩定機制等也可能引起內孤立波，其中共振機制解釋的是沿著某一水平方向運動的外強迫，在接近臨界速度條件時會向強迫上游周期性地生成內孤立波，外強迫可以作用于水體表面或水底。除了向強迫上游周期性地產生孤立波外，在強迫下游還會形成一個隨時間發展的向下游方向延伸的等密度面的凹陷區(稱為壓水區)，以及緊隨其后的一列弱非線性弱頻散的尾波，這種機制生成的內孤立波被稱為先驅內孤立波。考慮來自水面的外強迫時可能為海面移動的大氣壓異常，或者在海面航行的船舶；來自水底的外強迫則對應底地形起伏(如海山、海溝等)。

先驅孤立波現象最早在實驗室中模擬船舶航行激發的表面波時發現，進而開展了一系列研究[3-7]。Zhu[8]、Grimshaw和Smyth[9]、Grimshaw和Yi[10]等參照表面波的研究方法將研究拓展到兩層流體界面的內波，證明兩層流體內界面上產生的先驅內孤立波與均勻流體表面產生的先驅孤立波具有相似的性質。在模擬先驅孤立波時，廣義Boussinesq模型以及fKdV(forced KdV)方程模型(后者是在前者基礎上限定外強迫只在某單一方向運動而得到，兩者可歸為一類)應用最為廣泛，但是采用這類模型具有以下缺點：首先，廣義Boussinesq方程和fKdV方程都是基于弱非線性、弱頻散假設推出的，當內波振幅較大從而非線性變得顯著時，采用弱非線性假定的模型結果并不可靠。其次，這類模型基于兩層近似，躍層被簡化為一條線，這與海洋中真實層結相差過大，會影響對躍層及其附近水體動力過程的認識。模擬先驅孤立波的另一思路是對動力學基本方程組Navier-Stokes方程進行數值求解，這樣既可不受弱非線性和弱頻散假設的限制，也能模擬連續層化的情形。Stastna等[11-13]采用歐拉方程模型(不考慮粘性時)模擬了層化流體流經起伏的地形時因共振產生的內孤立波，討論了地形尺度、背景剪切流等的影響，還發現了第二模態內孤立波以及內波破碎等現象。這些研究顯示了基于Navier-Stokes方程的模型在研究先驅內孤立波現象中的潛力，只是這類工作還較少，且只考慮了海底地形強迫的作用，缺乏水面強迫作為強迫來源的研究。

先驅內孤立波的產生和發展是外強迫與分層流體共同影響的結果，外強迫作為激發先驅孤立波的來源，是最重要的影響因素之一。在數值模擬中，對于表面強迫和海底地形這兩種形式的外強迫是否等效，Wu等[3]從理論上分析了模擬先驅孤立波現象的forced KdV方程和forced Boussinesq兩種典型模型的結果，發現兩種強迫對于均勻流體并非完全等效。對于連續分層流體來說，這一問題更缺乏確定性結論，在研究中不宜將兩者等效替代。外強迫的形態特征，如強迫的寬度、強度、作用方向等都或多或少地影響內孤立波的生成過程和波形特點[12,14-15]，其中強迫作用方向的不同對先驅孤立波產生的影響最為顯著，且根據其影響規律可以將外強迫分為兩類：正效應強迫和負效應強迫。規定當強迫作用方向與自由傳播的內孤立波引起的等密度面位移方向相同時，該強迫被稱為正效應強迫，反之則稱之為負效應強迫。針對兩層流體的研究表明，不論外強迫效應為正或負，在臨界條件附近都可能產生先驅孤立波，但相對正效應強迫來說，在負效應強迫作用下，生成的孤立波之間較為分離，且生成周期大大增加[8-9]。已經證實在均勻流體中這一規律依然成立[3,5]，但在連續層化流體中，這一規律是否仍然成立，還具有哪些新的特點尚需進一步研究，是下一步需關注的問題。

綜上，外強迫因共振而產生內孤立波的機制已經被證實是存在的，但針對這一機制開展的研究還并不完善，主要的不足包括：(1)現有對先驅內孤立波的研究結論主要是基于兩層近似下的廣義Boussinesq方程和fKdV方程獲得的，可能受到弱非線性、弱頻散假定的影響。(2)考慮連續層結流體中先驅內孤立波的研究還很有限，且多考慮海底地形的作用而沒有考慮表面強迫的影響。為了深入研究連續層結流體中由海面的移動強迫引起的先驅內孤立波現象，克服因模型采用過多近似而產生的限制，本文采用一個三維的全非線性、全頻散的非靜力模型，針對海面壓強強迫引起的先驅內孤立波進行模擬，并針對連續分層流體討論外強迫效應的影響。

1 模型介紹及配置

1.1 NHWAVE模型簡介

本文采用NHWAVE(Non-Hydrostatic WAVE)模型[16-18]，其動力學框架基于不可壓縮流體的雷諾方程，可以給出任意時刻三維空間內的各物理量，適用于多層連續層結流體，同時不受弱非線性、弱頻散性的限制。它既可以模擬波的反射、折射、淺水效應等各種近岸波動過程，還可以加入隨時間變化的底地形，從而模擬海底滑坡引起的海嘯波等現象。Ma等[19]將模型計算拓展到斜壓流體中，增加了對密度和泥沙輸運方程的求解。該模型還被Shi等[16]用于模擬哥倫比亞河口處內水躍的形成以及落潮時形成的“鹽指”現象，并由Zhou等[20]用于研究層結流體中的剪切不穩定現象。

NHWAVE采用一種修正的C網格，空間離散采用有限體積和有限差分結合的方法，其中對動量方程采用Godunov格式進行有限體積離散，對動壓泊松方程采用中差法進行離散，空間離散具有二階精度。時間上采用二階SSP(Strong stability-preserving)龍格—庫塔格式進行離散，數值穩定性很好，并具有二階離散精度。非靜力計算中動壓泊松方程的求解采用了高性能預處理程序庫hypre(1)hypre是一種針對大型線性方程組進行高效求解的程序庫，適用于大規模的科學計算，且該程序庫具有高度的可移植性。更多信息可見官方網站https://computing.llnl.gov/projects/hypre-scalable-linear-solvers-multigrid-methods。中的高效線性方程求解器，模式又結合Shi等[18]提出的PDI(Pressure decimation and interpolation)方法，大大提升了斜壓情景下非靜力計算的效率，這使得在模擬需要較高分辨率才能表達的小尺度現象時，NHWAVE相比于其它模型更具優勢。

1.2 模型配置

本文圍繞海表面以臨界速度運動的壓強強迫在連續分層流體內激發內波的過程開展理想實驗。計算在x-z二維平面開展，水平長度為20.48 km。計算域設為平底，靜水深為100 m。水平分辨率5 m，水平網格數為4 096個，垂向采用σ坐標均勻地分成50層。初始場設為具有單一密度躍層的層化流體，并假設密度在水平向是均勻的，因此可用密度垂向剖面表征層化特點，由以下分段函數給出:

(1)

式中深度ds是密度躍層垂向剖面的轉向點，本文定義為躍層深度。

在水體表面x0= 4 km處施加一個固定形狀的壓強強迫，并設置該強迫始終沿著x軸向左勻速移動，速度大小為Um。先驅內孤立波的產生和發展過程主要集中在外強迫附近，因此采用與外強迫同步運動的相對坐標系：在每一個時間步內，初始坐標系與強迫同步運動。因此在該運動的坐標系中，強迫始終處于初始位置，設置該初始位置為運動坐標系的原點，壓強強迫在x軸上的分布滿足

(2)

式中：X=(x-x0)-Um·t為運動坐標系中的位置坐標；P是水面壓強強迫(單位為m，可理解為逆氣壓效應引起相對靜止水面的凹陷或抬升)；l代表施加強迫的范圍。采用隨強迫同步運動的相對坐標系，方便對比強迫附近的波動，且可以利用有限的水平計算域模擬無限空間內的波動生成及演變過程，從而節省了計算資源。

為了使討論的結果更具一般性，引入變量的特征值，將所討論的要素進行無量綱化。水平空間變量采用特征寬度λ進行無量綱化。λ是根據兩層KdV理論估算的內波波長。

(3)

式中：h1=ds；h2=h-ds；a取外強迫的強度。垂向特征長度為靜水深h。時間變量用λ/c0進行無量綱化，第一模態內波自由傳播的速度c0，也根據KdV理論給出：

(4)

其中g′為約化重力。由此，可以獲得如下的無因次關系：

(5)

后文實驗結果的分析及討論將針對以上無量綱變量開展。

計算域的表層及底層邊界均取滑動邊界條件，東、西兩側邊界取周期性邊界條件，以避免邊界反射波的影響。為了盡量避免由于采用周期邊界條件而造成上、下游波動在傳播至邊界時相互影響，計算域在東西向上已經盡量加長。這里不考慮底摩擦效應的影響，且湍粘性項和擴散項的值取為零。試驗計算時長均不少于20 000 s。

海洋中的躍層通常出現在上層，但對某些海區也存在季節性的深躍層甚至雙躍層現象。這里設置層結的分布為海洋中典型的單躍層分布形態，分別針對躍層深度偏上和偏下兩類情形進行試驗，討論海面強迫效應的正負造成的影響。當上層厚度小于下層厚度時，理論上只能存在下凹型內孤立波；當上層厚度大于下層厚度時，理論上只能存在上凸型內孤立波。根據躍層深度和壓強強迫作用方向的不同，強迫效應的劃分存在四種可能性(見圖1)。上層厚度小于下層厚度時，壓強強迫為正(或負)值，對應正(或負)效應，如圖1(a)(或圖1(b))所示；上層厚度大于下層厚度時，壓強強迫為負(或正)值，對應正(或負)效應，如圖1(c)(或圖1(d))所示。

(P代表壓強強迫，ζ代表強迫作用產生的海面起伏，h1和h2分別代表躍層上下的厚度。P represents the sea surface pressure forcing；ζ represents sea surface elevation caused by external force.h1 and h2 represent the thickness of the upper and lower layers, respectively.)

表1 試驗參數設置

圖2 外強迫分布(a)及密度剖面(b)

2 結果

2.1 躍層偏上時不同效應外強迫引起的先驅內孤立波

圖5 躍層偏上時不同效應強迫作用下密度場的演變

(圖(a)對強迫區及對應的上游、下游進行了標注。For the convenience of readers, figure(a)annotates the forcing area and the corresponding upstream and downstream region.)

圖6 躍層偏上時不同效應強迫作用下四個斷面的時間序列

外強迫引起的內波也會相應地影響流場的結構。傳統兩層模型中流速在垂向上僅存在兩個間斷值，本文連續分層設置下可以更細致的刻畫流場分布。以上游第一個產生的先驅內孤立波為例分析其流場結構。圖中水平流速為相對坐標系中的流速。圖7(a)和(b)分別對應正效應強迫時的水平流速和垂向流速，圖7(c)和(d)對應負效應強迫時的水平流速和垂向流速。可見先驅內孤立波所在的位置將引起顯著的流速，水平和垂向流速分量的大小接近0.5和0.1。受到內孤立波連續生成的影響，孤立波傳播方向后側的流速略大于前側的流速。以躍層所在位置為界，水平流速呈現上下反向的結構，其中上層流速與內孤立波傳播的方向一致，下層流速則相反，因此在垂向上形成速度剪切。以內孤立波中心為界，垂向流速主要呈現左右相反的結構，在水平向形成流速剪切。在本文連續分層下，可獲得躍層內流速結構，在躍層內部，流速矢量形成閉合的回流，并呈逆時針流動。綜合來看，兩種強迫作用下的流場結構較為一致，但負效應強迫作用下水平流速的對稱性更差一些，且流速偏小。

((a)和(b)對應正效應強迫作用下的水平流速和垂向流速分布，(c)和(d)對應負效應強迫作用下的水平流速和垂向流速分布。顏色代表相應的流速分量大小，矢量代表總流速，白色曲線代表等密度線。(a)and(b)show the distribution of horizontal velocity and vertical velocity under positive effect forcing, respectively.(c)and(d)show the distribution of horizontal velocity and vertical velocity under negative effect forcing, respectively.The colors indicate the magnitude of velocity components.The vectors indicate the direction velocity.The white curves represent the isopycnals.)

2.2 躍層偏下時不同效應外強迫引起的先驅內孤立波

圖8 躍層偏下時不同效應強迫作用下密度場的演變

類似圖6，圖9顯示了躍層偏下時四個相同位置斷面的時間序列。對于躍層深度不同時兩種正效應強迫情形(見圖6(a)和圖9(b))，各個區域內等密度面起伏的規律類似。結合圖9(a)和圖8可見，對于躍層偏下的負效應強迫情形，除了在上游難以產生先驅內孤立波，壓水區和尾波區內的波動仍然可以產生并發展，只是它們的產生和傳播速度都顯著變慢。

圖9 躍層偏下時不同效應強迫作用下四個斷面的演變

由于在負效應強迫作用下，模擬時間內并未產生先驅內孤立波，因此圖10只給出了正效應強迫下第一個內孤立波對應的流速分布。水平流速分量在垂向上的正、負分布規律，以及垂直流速分量在水平向的正、負分布與躍層偏上時相反，但流速的分布與內孤立波波形的關系對應則是相同的，可見在連續層結流體下，對于躍層深度不同的情況，根據正效應強迫和負效應強迫對其分類仍是適用的。對于相同效應的強迫，內波生成和演變規律以及流場性質可以類比得到。

((a)水平流速分布，(b)垂向流速分布。顏色代表相應的流速分量大小，矢量代表總流速，白色曲線代表等密度線。(a)Horizontal velocity，(b)Vertical velocity.The colors indicate the magnitude of velocity components.The vectors indicate the direction velocity.The white curves represent the isopycnals.)

3 討論

3.1 強迫效應正負對強迫區的影響

試驗發現，在正、負效應強迫作用下，強迫區域內差異特別顯著，這點在之前先驅內孤立波的研究中尚未明確提出。盡管Zhu[8]采用兩層fKdV模型進行的數值試驗結果也顯示了正、負效應壓強作用下強迫區內不同的響應，但是文中并未對這一特點進行說明，可能因其試驗中波動振幅較小，這一差異并不顯著。Grue等[21]曾提出，KdV理論僅在內孤立波振幅與內波垂向空間特征尺度(以躍層為界取上、層中較薄那一層的厚度來代表)的比值小于0.4時適用。由本文躍層偏上(見圖5)和偏下(見圖8)時這一比值約為0.6和0.4可知，對于本文算例來說，內孤立波的非線性都比較強。

強迫區內等密度面的差異也相應地影響流場的分布，特別是在躍層偏上時，躍層內等密度面隨時間具有顯著變化。分別對比強迫效應為正和負時多個時刻的流場分布。由圖11可見，強迫區內流速的分布形態差異顯著。在正效應強迫作用下，由圖11(a)～(e)可知，強迫區內流速的結構基本不變，只是流速大小隨時間變化有所變化。流速最大值靠近強迫區兩側邊緣，強迫中心對應流速的小值。在躍層上下厚度較薄的那一層中，流速從中間指向兩側，形成速度輻散區；在負效應強迫作用下，由圖11(f)～(j)可知，強迫區內流速整體更大，且形成了中間流速大，兩側流速小的分布結構。流速矢量在靠近中心的躍層附近維持逆時針的回流結構。隨著時間演變，流速的大值區位置左右擺動，與該位置處的等密度起伏形態有關。

((a)～(e)對應正效應強迫情形，(b)～(d)對應負效應強迫情形。顏色和箭頭分別表示總流速的大小和方向，白色線代表等密度線。(a)～(e)correspond to positive effect forcing,(f)～(j)correspond to negative effects forcing.The color and vectors indicate the magnitude and directions of velocity, the white curves represent the isopycnals.)

4 結語

本文采用一個全非線性、全頻散的非靜力模型NHWAVE，模擬連續分層流體中水面強迫引起的先驅內孤立波現象，并針對外強迫效應的影響開展研究，針對躍層偏上和偏下兩種情況分別討論。主要結論如下：

在連續分層流體中，外強迫效應的正負對波動形態有顯著的影響，負效應強迫下先驅內孤立波的生成周期增大一倍以上，孤立波之間更為分離，與兩層流體中的規律相同；在兩種效應強迫作用下強迫區內的區別顯著。當強迫效應為正，強迫區內水體的等密度面維持較穩定的結構，而當強迫效應為負，強迫區內水體的等密度面隨時間發展起伏較大，對應地流場分布也更為復雜，在躍層內部及其附近區域，流速的結構差別也十分明顯，在負效應強迫作用下，強迫區對應的躍層附近形成逆時針的回流區。

致謝:感謝美國特拉華大學史峰巖教授在數值模型調試方面提供的幫助。