一類具有導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)的弱耦合半線性雙波動(dòng)系統(tǒng)解的爆破

歐陽柏平

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣州 511300）

0 引言

考慮下面具有導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)的弱耦合半線性雙波動(dòng)系統(tǒng)柯西問題解的爆破式(1)中:u,v為實(shí)值函數(shù);q,p>1;ε>0;Δ 是拉普拉斯算子;ui,vi(i=0,1,2,3) 為非負(fù)函數(shù);utttt-2Δutt+Δ2u.

近幾十年來,有關(guān)具有導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)的波動(dòng)方程和波動(dòng)系統(tǒng)柯西問題解的爆破現(xiàn)象受到了學(xué)者們廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[1-4]研究了下面導(dǎo)數(shù)型半線性波動(dòng)方程

得到了柯西問題臨界指數(shù),也稱為Glassey 指數(shù),表示為

當(dāng)n=1 時(shí),PGla(1)=+∞.進(jìn)一步,作者得到了其解的生命跨度估計(jì),即

文獻(xiàn)[5-7]研究了下面導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)的弱耦合半線性波動(dòng)系統(tǒng)解的存在和爆破問題

當(dāng)初始數(shù)據(jù)滿足一定約束條件時(shí),若p,q >1 且滿足

則(u,v) 將在有限時(shí)刻爆破,同時(shí)還得到了其生命跨度的上界估計(jì).

文獻(xiàn)[8]研究了如下導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)的半線性雙波動(dòng)方程柯西問題解的爆破

通過運(yùn)用迭代技巧和相關(guān)的微分不等式方法,得到了其柯西問題解的爆破及其生命跨度上界估計(jì).

目前,有關(guān)具有導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)的高階波動(dòng)方程和波動(dòng)系統(tǒng)柯西問題解的爆破研究成果很少.相比于近期的研究工作[8],本文探討的是在弱耦合雙波動(dòng)系統(tǒng)中,導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)對(duì)柯西問題解的爆破以及生命跨度的影響.當(dāng)p=q時(shí),式(1)在一定程度上退化為單個(gè)導(dǎo)數(shù)型非線性雙波動(dòng)方程.當(dāng)p≠q時(shí),式(1)的等號(hào)右端出現(xiàn)了弱耦合現(xiàn)象,這樣直接導(dǎo)致臨界曲線的非對(duì)稱區(qū)域很復(fù)雜.另外,與經(jīng)典的弱耦合波動(dòng)方程的研究相比[1-7],本文會(huì)出現(xiàn)關(guān)于時(shí)間的高階導(dǎo)數(shù)和無界乘子.特別地,無界乘子的出現(xiàn)使得經(jīng)典的反射法和迭代法等技巧難以運(yùn)用.

1 主要結(jié)果

首先給出式(1)的柯西問題弱解定義.

定義1設(shè)(u0,u1,u2,u3,v0,v1,v2,v3)∈(H3(Rn)×H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H3(Rn)×H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).稱(u,v) 為式(1)在 [0,T) 上的能量弱解,如果

那么存在一個(gè)正常數(shù)ε0=ε0(u0,u1,u2,u3,v0,v1,v2,v3,n,p,q,R),使得當(dāng)ε∈(0,ε0] 時(shí),(u,v) 在有限時(shí)間爆破,其生命跨度的上界估計(jì)為

2 定理的證明

為了完成本文定理的證明,需要構(gòu)造若干輔助泛函,然后進(jìn)一步尋找其下界序列以及第一下界.為此,先引入函數(shù)[9]

易知,當(dāng)j=1 時(shí),式(29)和式(30)成立.若式(29)和式(30)對(duì)j≥1 均成立,下證對(duì)j+1 一樣成立.

聯(lián)立式(21)和式(30),有

令j→+∞,可得式(47)中U(t) 的下界爆破.

另外,對(duì)于給定的ε0,當(dāng)Y2(n,p,q)>0 時(shí),有

由以上討論可知式(1)的全局解不存在,并且可得(u,v) 的生命跨度估計(jì)為

于是,完成了定理1 的證明.