基于區間因子法的龍門起重機主梁動力學響應分析*

秦仙蓉 徐德樺 吳 瓊 張 氫 孫遠韜

同濟大學 機械與能源工程學院 上海 201804

0 引言

龍門起重機是碼頭堆場中的重要設施，不僅可以改善工人的操作條件，減少勞動強度，還可以提高碼頭堆場的裝卸效率，保障生產質量和安全性。因此，對龍門起重機的性能要求越來越嚴苛，不但需要其具備剛性好、質量輕、作業領域廣等特點，同時還要求其具有在大車、小車高速運行下保持平穩。工程機械中研究結構的固有特性、靜力學和動力學響應通?；诖_定性的結構參數、運動參數和外載荷，但實際上由于加工和測量誤差等因素，使得材料屬性、外載荷、初始條件和結構參數也會存在誤差和不確定性。盡管在絕大多數情況下，這種誤差和不確定性較小，但對于多種不確定性參數組成的系統來說，這種不確定性的集合可能會使結構的固有屬性、靜力學和動力學響應產生較大的誤差。因此，能夠較精確地估算出不確定性參數對結構固有特性以及振動響應的影響，對工程結構設計具有非常重要的意義。

處理不確定性問題的方法主要有區間分析法、模糊模型法、概率法以及凸模型法等。馬梁等[1]利用區間集合模型來研究結構不確定性的靜力學和動力學問題；在研究隨機桁架結構的振動特性方面，Chen J J等[2]首先提出用隨機因子法求解隨機桁架問題；高偉等[3]重點研究了隨機剛架結構中的隨機響應問題，基于材料參數以及結構幾何參數的不確定性，理論推導出在平穩隨機激勵作用下結構的位移、應力響應的不確定性，并通過具體算例討論了結構幾何參數、材料參數對結構動力響應的影響；馬娟等[4,5]基于區間有限元分析理論，針對非概率以及不確定性的桁架結構提出了一種區間因子法。

本文從建立勻速的移動載荷作用在簡支梁上的運動微分方程出發，利用振型疊加的原理求解出模態坐標的解析表達式；再結合區間運算法和區間因子法，導出在不確定性簡支梁中結構動力響應區間變量的區間分散性與結構幾何參數（梁長、截面慣性矩）、運動參數（速度）、物理參數（彈性模量、單位長度質量）和外載荷區間分散性之間的關系；最后將理論結果應用到龍門起重機主梁分析中，分析討論不確定性參數對龍門起重機主梁結構動力學響應的影響。

1 簡支梁對移動載荷的動力學響應

假設幅值為pu的集中載荷p（x，t）以速度v在簡支梁上勻速移動，載荷的初始位置位于梁的左支座，如圖1所示[6]，即有

圖1 移動載荷作用下的簡支梁

則梁的r階模態方程可表示為

式中：mr為簡支梁的r階模態質量，E為彈性模量，I為截面慣性矩，t為時間，pu為移動載荷，v為移動載荷的速度，L為簡支梁的長度，r為模態階次，qr（t）為r階模態坐標。

將式（2）做進一步簡化，可表示為

取靜平衡位置為坐標原點，可以求得式（3）的穩態解為

根據振型疊加法，簡支梁在移動載荷作用下的撓度可表示為

在求解出簡支梁的位移響應之后，根據有限單元法可知任一單元e在移動載荷作用下的應力響應為

式中：σ（e）（t）、w（e）(x，t)分別為單元e的單元應力列陣、節點位移列陣，Y（e）為單元e的應變矩陣。

2 區間因子法

根據區間矩陣的表達方法和含義，不確定參數矩陣B可表示為

式中：B I為不確定參數區間矩陣。

不確定參數區間矩陣的均值矩陣BM以及半徑矩陣ΔB可表示為

本文中下標M代表對應區間變量的均值，則不確定參數區間矩陣可表示為

本文中下標L、U分別代表對應區間變量的下界和上界，進而不確定參數矩陣B可寫成確定性矩陣和不確定性矩陣之和，即

將第r階模態坐標qr（B，t），r＝（1，2，…，n），在BM處展開成一階泰勒級數。

經過區間運算，便可得第r階模態（r＝1，2，…，n）的模態坐標區間的上界和下界分別為

對于單個區間變量來討論區間因子的表達式，設qIr＝[qrL，qrU]為一區間變量，則根據式（9）可得

由此，區間因子可表示為

簡支梁結構動力學響應的區間變量的不確定性與結構幾何尺寸（截面慣性矩I、梁長L）、結構物理參數（彈性模量E、單位長度的質量ρ）、外載荷幅值（Pu）和外載荷移動速度v有關。

基于此，結合區間因子法，將上述不確定性簡支梁參數進行參數組合。

1）參數組合1 考慮簡支梁的截面屬性的不確定性和外載荷幅值的不確定性影響，其中不確定性參數慣性矩I和外載荷幅值Pu的區間為

2）參數組合2 在慣性矩I、外載荷幅值Pu同時具有不確定性的基礎上，使梁長L和外載荷移動速度v為不確定性參數，其區間為

3）參數組合3 慣性矩、外載荷幅值、梁長度、外載荷移動速度、彈性模量和單位長度質量均為不確定性參數，其區間分別為

3 簡支梁動力學響應的不確定性

在此，主要討論模態坐標的區間因子和由模態坐標的不確定性導致的位移響應和應力響應的不確定性。首先利用區間因子法，求梁的第r階模態的模態坐標的區間因子。同時，取區間分散性最大的(t)作為梁的各階模態坐標區間變量q（rt）統一的區間因子，即

進而由區間因子法可得簡支梁的位移響應區間變量w(x，t)為

然后，根據區間因子法求得單元e的應力響應區間變量為

4 龍門起重機主梁動力響應分析

圖2所示為某型軌道式龍門起重機。對龍門起重機的主梁進行分析，一般是將小車和吊重簡化為一個移動的重物，將主梁的分析問題簡化為移動載荷或移動質量作用下梁的振動問題[7，8]。對于起重機主梁，移動載荷模型或移動質量模型得到的撓度值非常接近，偏差值較小。移動載荷模型求解簡單，在工程中較常用。

圖2 軌道式龍門起重機示意圖

將求得的理論應用到軌道式龍門起重機的主梁動力響應分析中，所選取的參數如表1所示。

表1 龍門起重機主要參數

對于龍門起重機的主梁，根據經驗可知，簡支梁最大位移在梁跨中，即求當x＝L/2時，位移響應的最大值wmax（L/2，t）。計算得簡支梁的最大位移量wmax＝9.9 mm。同時，在Ansys中建立該算例的有限元模型，得到該起重機主梁的最大Von Mises等效應力為。

在此，考慮梁的截面慣性矩I和梁長L的變化幅度為±5%時，移動載荷Pu和速度v的變化幅度為±5%，彈性模量E和單位長度的質量ρ的變化幅度為±5%，求這些參數不確定性導致的結構動力響應（位移、應力）的不確定性如表2所示。其中，最大位移的變化幅度為，最大應力的變化幅度為。

表2 龍門起重機主梁計算結果

經計算可知，當簡支梁的慣性矩和外載荷變化幅度為5%時，模態的區間因子的變化幅度為7.8%，相應位移響應最大值和單元e應力響應最值的區間因子的變化幅度（見圖3）都為7.8%。

圖3 龍門起重機在不確定不參數組合下結構響應的變化范圍

當簡支梁的慣性矩、梁長、速度和外載荷變化幅度為5%時，模態區間因子的變化幅度為18.6%，相應位移響應最大值和單元e應力響應最值的區間因子變化幅度均為18.6%。對比只改變慣性矩和外載荷的情況，模態的區間因子發生較大波動，說明梁長和外載荷速度對模態響應的影響較大。

當簡支梁的慣性矩、梁長、速度、外載荷、彈性模量、單位長度質量變化幅度為5%時，模態區間因子的變化幅度為23.6%。相應位移響應最值的區間因子的變化幅度為23.6%，單元e應力響應最值的區間因子變化幅度為29.8%。對比只改變慣性矩和外載荷的情況，模態的區間因子發生較大波動，且波動值的增加速度放緩，說明材料屬性的變化對模態的影響較小。由圖3b可知，參數組合3對應力不確定性的影響增大，說明彈性模量的不確定性引起了應力的不確定性。

5 結論

對于龍門起重機主梁上作用移動載荷的問題，應用所建立的3種不確定參數組合模型，在保證結構幾何參數和外載荷區間分散性情況相同時，結構幾何參數的不確定性比載荷參數的不確定性對梁的動力響應的影響更明顯。因此，在龍門起重機主梁動力學響應的分析中，結構幾何參數對最大位移變化范圍的不確定性影響較大。材料屬性對最大位移的不確定性影響較小，對最大應力的不確定性影響較大。