基于核密度估計(jì)的構(gòu)架應(yīng)力譜外推與疲勞壽命分析

賀小洋 肖緋雄 楊 強(qiáng) 張遠(yuǎn)維 陳吉永

1西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610031 2中車大同電力機(jī)車有限公司 大同 037038

0 引言

應(yīng)力譜是評(píng)估結(jié)構(gòu)疲勞的基礎(chǔ)，其充分性和完整性將直接影響評(píng)估結(jié)果的可靠性[1]。疲勞應(yīng)力譜一般通過(guò)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)、有限元仿真和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的方法獲得，但當(dāng)部件運(yùn)營(yíng)狀況復(fù)雜時(shí)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)和有限元仿真得到的應(yīng)力譜難以反映零部件實(shí)際服役狀況。因此，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)應(yīng)力測(cè)試，根據(jù)測(cè)試載荷歷程編制反映結(jié)構(gòu)真實(shí)工作環(huán)境的應(yīng)力譜，是軌道車輛領(lǐng)域普遍使用的疲勞壽命評(píng)估方法[2，3]。然而實(shí)際中的動(dòng)應(yīng)力測(cè)試經(jīng)常受到時(shí)間、成本和實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地等的限制，只能針對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)工作的典型工況進(jìn)行短時(shí)間的應(yīng)力時(shí)間歷程測(cè)量。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)壽命一般長(zhǎng)達(dá)數(shù)年到數(shù)十年不等，實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)往往僅占全壽命運(yùn)營(yíng)周期內(nèi)的一部分，難以反映結(jié)構(gòu)在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的抗疲勞服役性能，故需對(duì)結(jié)構(gòu)短期內(nèi)測(cè)試的動(dòng)應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行外推。

線性外推方法只是對(duì)載荷作用次數(shù)實(shí)現(xiàn)了拓展，難以體現(xiàn)結(jié)構(gòu)受載的隨機(jī)分布特性，雨流矩陣外推法是將應(yīng)力時(shí)間歷程轉(zhuǎn)化為雨流矩陣實(shí)現(xiàn)外推的二維外推方法，分為參數(shù)外推和非參數(shù)法（核密度估計(jì)法）。由于均值頻次和幅值頻次一般具有明顯的分布特點(diǎn)，早期的參數(shù)法通常采用威布爾分布擬合幅值頻次，正態(tài)分布擬合均值頻次[4]。然而，假設(shè)樣本分布特征受主觀影響較大，對(duì)于分布復(fù)雜且隨機(jī)的樣本會(huì)產(chǎn)生較大的擬合誤差[5]。為避免對(duì)樣本分布的假設(shè)，Dressler K等[6]首先將核密度估計(jì)運(yùn)用到載荷譜的外推中，提出了基于雨流矩陣的核密度估計(jì)外推方法；宋清椿等[7]將該理論運(yùn)用到農(nóng)業(yè)機(jī)械構(gòu)架應(yīng)力譜編制中，得到了反映構(gòu)架真實(shí)服役情況的載荷譜；牛文鐵等[8]針對(duì)核密度估計(jì)計(jì)算量大的問(wèn)題，提出了一種修正的核密度估計(jì)帶寬計(jì)算方法；王秋實(shí)等[9]以實(shí)測(cè)動(dòng)應(yīng)力信號(hào)為對(duì)象，對(duì)核密度估計(jì)外推前后的應(yīng)力譜的相關(guān)性等進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到了較為理想的外推結(jié)果。在上述研究中，對(duì)核密度估計(jì)方法進(jìn)行了相關(guān)研究，但對(duì)于電力機(jī)車的相關(guān)研究還不夠全面。

本文以某型電力機(jī)車構(gòu)架拉桿座焊縫附近某點(diǎn)為研究對(duì)象，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)應(yīng)力測(cè)試和數(shù)據(jù)處理得到了測(cè)點(diǎn)幅值-均值雨流矩陣；研究了核密度估計(jì)方法中帶寬的選取，并基于統(tǒng)計(jì)參數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度對(duì)外推前后應(yīng)力譜進(jìn)行對(duì)比分析；根據(jù)外推后的長(zhǎng)時(shí)載荷譜對(duì)構(gòu)架焊縫進(jìn)行疲勞壽命估計(jì)，以期能夠?yàn)殡娏C(jī)車構(gòu)架焊縫疲勞壽命預(yù)測(cè)提供思路。

1 應(yīng)力測(cè)試與前處理

軌道車輛在運(yùn)行過(guò)程中，輪對(duì)的磨損狀況會(huì)使機(jī)車車輛的振動(dòng)增大，導(dǎo)致相關(guān)零部件受力環(huán)境急劇變化[10]。在車輛整個(gè)運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，單個(gè)鏇輪周期內(nèi)包含了車輛在服役過(guò)程中的受力演變狀況，所以得到包含輪對(duì)不同狀況下的應(yīng)力譜，是進(jìn)行外推和疲勞壽命評(píng)估的最好的選擇[11]。

每個(gè)鏇輪周期內(nèi)車輛運(yùn)行的里程均不相同，且實(shí)現(xiàn)全程動(dòng)應(yīng)力測(cè)試需要耗費(fèi)大量時(shí)間以及巨大的成本，往往難以實(shí)現(xiàn)。本測(cè)試只針對(duì)鏇輪前期和鏇輪后期2個(gè)代表性工況進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力測(cè)試，一共測(cè)試2次。從車輛日常運(yùn)營(yíng)主要線路中，選取運(yùn)營(yíng)環(huán)境復(fù)雜的A站到B站，一個(gè)去程和回程作為完整測(cè)試區(qū)段。該段是具有典型的長(zhǎng)大道、多曲線、多隧道和有短軌的山區(qū)線路。10 ‰～13 ‰連續(xù)坡道線路長(zhǎng)度約為45 km，最大坡道為13 ‰，最小曲線半徑為400 m，長(zhǎng)度約為267.5 km。模擬實(shí)際列車正常運(yùn)行狀態(tài)，去程空車，回程拉貨，運(yùn)行速度為60～80 km/h，測(cè)試過(guò)程分為2段，在去程采集結(jié)束后重新采集回程。圖1萬(wàn)采樣測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變片位置圖，應(yīng)變片導(dǎo)線通過(guò)數(shù)據(jù)線接入機(jī)箱。

圖1 應(yīng)變片位置

最后將采集到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，處理后的數(shù)據(jù)（包含去程和回程）如圖2所示。通過(guò)圖2的2組不同時(shí)期的動(dòng)應(yīng)力信號(hào)可知，鏇輪前期構(gòu)架拉桿座測(cè)點(diǎn)的最大動(dòng)應(yīng)力為22.27 MPa，最小動(dòng)應(yīng)力為-25.81 MPa；在輪對(duì)磨損程度較高的鏇輪后期，該測(cè)點(diǎn)的最大和最小動(dòng)應(yīng)力達(dá)到了27.06 MPa和-32.88 MPa，同時(shí)中高應(yīng)力幅值的循環(huán)頻次也急劇增加，造成了遠(yuǎn)大于鏇輪前期的疲勞損傷。

圖2 動(dòng)應(yīng)力時(shí)域信號(hào)

2 核密度理論分析

核密度估計(jì)不需要事先對(duì)樣本總體分布做出假設(shè)，只通過(guò)樣本去估計(jì)總體的概率分布密度，是非參數(shù)密度估計(jì)法的一種。對(duì)于任意數(shù)據(jù)樣本X=(x1，x2，…，xn)，假設(shè)其服從某個(gè)連續(xù)分布p（x），則其概率密度曲線可定義為

式中：n為樣本數(shù)量；h為固定帶寬，影響密度曲線光滑程度；k（*）為核函數(shù)，在全局上其值非負(fù)，積分的結(jié)果為1。

在核密度估計(jì)中，核函數(shù)相當(dāng)于權(quán)函數(shù)，控制著估計(jì)點(diǎn)附近數(shù)據(jù)點(diǎn)的利用程度，其選取不會(huì)像帶寬那樣顯著的影響估計(jì)結(jié)果[12]。常見(jiàn)的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、Epanechikov核函數(shù)、余弦核函數(shù)、指數(shù)核函數(shù)和四次核函數(shù)等。其中高斯核函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可使得帶寬的計(jì)算方法更為簡(jiǎn)便，本文選取常用使用的高斯核函數(shù)作為內(nèi)核，即

2.1 帶寬計(jì)算

帶寬的選擇關(guān)系著核密度估計(jì)的精度，從式（1）可以看出不同的帶寬會(huì)導(dǎo)致不同的密度估計(jì)結(jié)果。不同帶寬下的核密度結(jié)果反映了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的不同特征，大帶寬提供了未知密度下整體結(jié)構(gòu)的圖像，小帶寬則揭示了未知密度下可能存在或不存在的局部結(jié)構(gòu)[13]。因此，引入積分均方誤差（MISE）來(lái)綜合評(píng)估擬合概率密度分布與真實(shí)概率密度分布的誤差，當(dāng)最小積分均方誤差最小時(shí)，h即為最優(yōu)帶寬。

式中：E(*)為數(shù)學(xué)期望，Bias(*)為樣本偏差，var(*)為樣本方差，o(*)為高階殘余項(xiàng)。

在帶寬的計(jì)算中，一般可忽略其中的高階殘余項(xiàng)的影響。當(dāng)積分均方誤差最小，代表擬合誤差最小。對(duì)式（3）求h的偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)為0，可得最優(yōu)帶寬為

在式（4）中，核函數(shù)K(u)為已知項(xiàng)，密度函數(shù)p(x)為未知項(xiàng)，從而不能直接求解。一般情況下幅值近似服從正太分布，故計(jì)算帶寬時(shí)可將p(x)看成正態(tài)分布求解。

在實(shí)際的幅值數(shù)據(jù)樣本中，各個(gè)區(qū)域的稀疏程度存在較大差異。以鏇輪前期樣本為例，式（1）中的帶寬是基于整個(gè)樣本的固定帶寬，難以兼顧密度差異較大的區(qū)間，如圖3所示。固定帶寬估計(jì)結(jié)果在低應(yīng)力幅值處的概率密度偏低，導(dǎo)致中應(yīng)力幅值處的概率密度增加。因此，引入具有自適應(yīng)因子λi，由于每個(gè)xi都對(duì)應(yīng)一個(gè)帶寬。由圖3可知，自適應(yīng)帶寬得到的概率密度曲線與幅值循環(huán)頻次的分布特征較為吻合。

圖3 不同帶寬核密度估計(jì)結(jié)果比較

式中：α為靈敏因子，0≤α≤1，通常取0.5。

2.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)核密度估計(jì)

動(dòng)應(yīng)力測(cè)試得到的是載荷-時(shí)間歷程信號(hào)，難以使用核密度方法進(jìn)行樣本外推。根據(jù)疲勞壽命評(píng)估理論，其對(duì)應(yīng)的有效載荷幅值、均值和循環(huán)頻次是計(jì)算零部件在該位置的疲勞壽命的基礎(chǔ)[12]。雨流計(jì)數(shù)法將數(shù)據(jù)量巨大的動(dòng)應(yīng)力時(shí)域信號(hào)壓縮成包含疲勞計(jì)算所需要的幅值-均值雨流矩陣，即減少計(jì)算量，又有利于進(jìn)行載荷譜的外推。在對(duì)部件進(jìn)行疲勞壽命評(píng)估時(shí)，通常認(rèn)為幅值低于5 MPa的動(dòng)應(yīng)力循環(huán)載荷不造成損傷，可將其過(guò)濾掉[14]。鏇輪初期與鏇輪末期構(gòu)架測(cè)點(diǎn)應(yīng)力譜見(jiàn)圖4。由于輪對(duì)磨損的原因，導(dǎo)致構(gòu)架服役環(huán)境在不斷變化，且鏇輪后期的構(gòu)架應(yīng)力譜的幅值和頻次遠(yuǎn)大于鏇輪初期。如果只基于某單一樣本進(jìn)行外推將會(huì)得到過(guò)于保守或過(guò)于危險(xiǎn)的疲勞壽命評(píng)估結(jié)果。將鏇輪初期和末期的樣本數(shù)據(jù)等權(quán)重組合，得到更能反應(yīng)結(jié)構(gòu)在一個(gè)鏇輪周期下的服役狀況的綜合應(yīng)力譜。經(jīng)過(guò)處理過(guò)后的綜合應(yīng)力譜的幅值-均值雨流矩陣見(jiàn)圖5。

圖4 輪對(duì)不同時(shí)期應(yīng)力譜

圖5 應(yīng)力幅值-均值雨流矩陣

應(yīng)力均值不是影響疲勞壽命的主要因素，且由于整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中應(yīng)力均值較小，對(duì)最終疲勞評(píng)估結(jié)果影響很小，故不考慮均值對(duì)疲勞壽命的影響。將處理后幅值樣本作為核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入，通過(guò)Matlab計(jì)算得到自適應(yīng)帶寬矩陣，然后再根據(jù)高斯核函數(shù)進(jìn)行核密度估計(jì)，就得到如圖6的樣本概率密度曲線。從圖6可以看出，通過(guò)核密度估計(jì)法所得的概率密度曲線呈現(xiàn)低應(yīng)力幅值概率密度較大于高應(yīng)力幅值的概率密度的特點(diǎn)，與頻率直方圖分布特性比較一致，并且采用自適應(yīng)帶寬算法所得到的概率密度曲線平滑程度也比較好。

圖6 樣本頻率與概率密度曲線

3 外推結(jié)果驗(yàn)證與疲勞壽命評(píng)估

3.1 統(tǒng)計(jì)參數(shù)評(píng)估

為了驗(yàn)證外推結(jié)果的有效性，根據(jù)圖6的概率密度曲線使用蒙特卡洛模擬算法生成3組外推1倍的樣本。當(dāng)核密度外推方法選擇合理時(shí)，外推前后的應(yīng)力譜樣本應(yīng)該具有相同的特征。為了客觀評(píng)價(jià)核密度估計(jì)的精度，提出從統(tǒng)計(jì)參數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度等2個(gè)方面驗(yàn)證外推載荷的有效性。首先選取均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大值作為外推前后樣本之間的評(píng)價(jià)依據(jù)，表1列出了各個(gè)外推樣本與原始數(shù)據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。從表1可以看出均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大值與原數(shù)據(jù)樣本的誤差分別為2.8 %、1.3 %和9.4 %，均在小于10 %。表明外推載荷較好地保留了原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性。

3.2 灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

灰色關(guān)聯(lián)度分析法可計(jì)算外推前后樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)度，兩者關(guān)聯(lián)度越高說(shuō)明基于核密度估計(jì)得到的樣本與原始樣本有著較高的相似性[15]，具體過(guò)程為

1）對(duì)于任意n元素的對(duì)比序列，將原始序列g(shù)＝｛g1，g2，…，gn｝和進(jìn)行對(duì)比的核密度外推序列g(shù)＇＝｛g＇1，g＇2，…，g＇n｝進(jìn)行歸一化處理。

2）通過(guò)2組數(shù)據(jù)的絕對(duì)差序列計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)序列

3）計(jì)算關(guān)聯(lián)度γ為

式中：m為絕對(duì)差序列的最小值；M為絕對(duì)差序列的最大值；φ為分辨系數(shù)，取0.5。

根據(jù)式（7）對(duì)外推前后應(yīng)力譜的灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算如表1。從表1可以看出3組外推樣本與原始數(shù)據(jù)樣本之間的灰色關(guān)聯(lián)度均在0.9以上，說(shuō)明兩者之間的趨勢(shì)一致性良好，外推數(shù)據(jù)保留了原始數(shù)據(jù)的分布特性。

表1 分析結(jié)果對(duì)比

3.3 疲勞壽命評(píng)估

為評(píng)估測(cè)點(diǎn)的安全可靠性，將外推系數(shù)設(shè)為10，對(duì)外推十倍后的長(zhǎng)時(shí)應(yīng)力譜進(jìn)行疲勞壽命評(píng)估，并與線性外推后應(yīng)力譜的疲勞壽命分析結(jié)果進(jìn)行比較。對(duì)比分析如圖7所示的10倍外推結(jié)果，可見(jiàn)線性外推方法只是對(duì)幅值進(jìn)行了循環(huán)頻次的擴(kuò)展，而沒(méi)有實(shí)現(xiàn)幅值的外推。核密度外推方法并完成了對(duì)幅值的拓展，其外推結(jié)果保留了原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，反映了車輛運(yùn)行狀況的隨機(jī)性。最后基于Miner線性損傷累積理論[16]，對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行疲勞壽命評(píng)估

圖7 10倍外推后的應(yīng)力譜

式中：D為應(yīng)力譜作用下的累積疲勞損傷，K為外推應(yīng)力譜的階數(shù)，ni為第i階應(yīng)力幅的實(shí)際循環(huán)次數(shù)，Ni為第i階應(yīng)力幅在材料的S-N曲線上對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)。

該測(cè)試轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為典型的焊接結(jié)構(gòu)，可參照標(biāo)準(zhǔn)IIW—1823《焊接接頭與部件的疲勞設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行疲勞壽命評(píng)估，通過(guò)式（6）計(jì)算即可得到累積損傷。基于線性外推10倍計(jì)算得到的疲勞損傷為0.011 8，而基于核密度估計(jì)外推10倍計(jì)算得到的疲勞損傷為0.012 2，對(duì)比分析可知，損傷增加了3.39 %，這是由于隨著循環(huán)頻次的擴(kuò)展，核密度估計(jì)預(yù)測(cè)到了一些短期測(cè)試中未出現(xiàn)的較大的幅值載荷，使得基于核密度外推后的應(yīng)力譜計(jì)算得到的疲勞損傷增加。

假設(shè)當(dāng)測(cè)點(diǎn)損傷累積到1時(shí)發(fā)生疲勞破壞，則測(cè)點(diǎn)的疲勞壽命可由式（7）計(jì)算得到

對(duì)核密度外推和線性外推的疲勞壽命評(píng)估結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，基于線性外推10倍后計(jì)算的疲勞壽命結(jié)果為90.73萬(wàn)km，而基于核密度估計(jì)外推10倍后計(jì)算的疲勞壽命結(jié)果為87.94萬(wàn)km。可見(jiàn)基于線性外推得到的安全運(yùn)營(yíng)里程偏于危險(xiǎn)，基于核密度估計(jì)得到的安全運(yùn)營(yíng)里程更偏于安全。

4 結(jié)語(yǔ)

1）本研究完成了現(xiàn)場(chǎng)車架動(dòng)應(yīng)力測(cè)試，獲得了具有代表性的動(dòng)應(yīng)力時(shí)域信號(hào)，并基于核密度估計(jì)方法對(duì)樣本進(jìn)行了密度估計(jì)。結(jié)果表明，核密度估計(jì)方法具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，其估計(jì)的概率密度曲線與樣本分布特征吻合度較高。

2）通過(guò)對(duì)外推前后應(yīng)力譜進(jìn)行統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)比分析和灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算，結(jié)果表明外推應(yīng)力譜保留了測(cè)試應(yīng)力譜的統(tǒng)計(jì)特征和分布特征，與基于線性外推計(jì)算疲勞壽命的方法相比，基于核密度估計(jì)外推的疲勞壽命評(píng)估方法預(yù)測(cè)到了其他可能出現(xiàn)的動(dòng)應(yīng)力幅值循環(huán)，對(duì)車輛安全運(yùn)營(yíng)里程的評(píng)估十分有益。