對話教學，提升解題能力

［摘? 要］ 學生的解題能力是高中數學課堂需要培養的能力之一，高三數學解題教學是課堂教學的主要方式. 在教學中，通過解題方法指導、解題思想滲透，建構知識間的邏輯關系，形成解題模型，理解數學的本質.

［關鍵詞］ 對話教學；解題能力；數學本質

作者簡介：吳麗華（1984—），本科學歷，一級教師，從事高中數學教學研究工作.

高三課堂教學的重要形式之一是解題教學，通過試題講評，復習高中數學知識、解題方法，在解題過程中同時滲透數學思想，提高學生的解題能力. 解題教學并不是單純地講解試題，而是建構知識體系，實現知識重構，升華數學知識的理解，達到理解數學知識內涵的目的. 但在實際的解題教學中，雖然教師講解了大量試題，學生做了大量習題，結果卻收效甚微，學生獨自解題時依然困難重重，一籌莫展，對數學學習逐漸失去了興趣和信心. 教師感覺知識點太多，太凌亂，無法面面俱到；學生則非常苦惱，花費了大量時間做題，自己上課能聽懂，獨自卻不會做，以致考試成績沒有明顯提升. 究其原因主要有這樣幾點：（1）沒有認清解題教學的目的，不能理解試題考查的本質，對問題沒有全面理解；（2）不能全面整合試題的有效信息，導致解題受阻；（3）解題思路缺乏直觀認識，難以建構已知條件與問題之間的聯系；（4）缺乏解題方法之間的聯系和問題的預判經驗；（5）做題時間耗費太多，影響了學習信心和精力，導致求知欲不足.

基于以上認識，筆者聯系教學實踐進行一些嘗試和思考，從對話教學的角度進行高三解題教學，讓學生在對話中暴露解題思路的缺陷，從而有針對性地開展交流和指導，讓學生以不同的視角去發現題目中的信息并進行交流，尋找解題的通道，找到解決問題的方法，確定解題的最優路線，進而收獲成功的喜悅. 在解題教學中不僅要關注解題過程，更要關注解題后的反思引導，使學生在交流解題心得的過程中，提高解題技巧，提升解題效果，培養核心素養. 下面筆者結合教學實踐和思考，以三角形中的最值問題的解題教學為例，與大家共同探討如何有效提升解題教學的實效性.

研究背景

三角形中的最值問題是常考題型，通常三角形的邊、角或面積是最值考查熱點，而且這類問題復雜，在考試中常與函數、不等式等知識點相結合，問題的綜合性強，知識點涵蓋范圍廣，解題的難度大，屬于中高檔題型或壓軸題型，因此有必要對這類問題深入研究，幫助學生理清這類問題的解答思路.

學生解題能力的提高單純依靠大量做題和講題是收效甚微的，關鍵是要提高學生的思維水平，讓學生能夠從知識的內涵中理解命題的意圖和考查規律，把握數學的本質和特征，從而總結規律，迅速解題. 在教學中，教師要引導學生關注知識的歷史背景和由來過程，全方位地理解知識，同時在課堂教學中通過互動交流，讓學生轉換角色，主動對話，在對話中找到相關要素，尋求解題思路，理解知識產生和發展的過程，建構知識間的聯系，從中體會和領悟解題方法，發展思維品質，提升核心素養.

教學片段

1. 講知識，說過程，與數學家對話

數學知識的學習離不開數學史，教師可以結合知識背景融入教材內容講解知識，使學生了解知識產生的背景，有機融合歷史知識與課程內容，深刻了解知識產生的過程，理解知識的內涵. 通過營造濃厚的數學文化氛圍，加深學生對知識產生與應用的認識，激發學生學習的內驅力.

在學習三角形知識時，教師可以結合三角形的歷史背景進行講解.

師：研究三角學的本質就是研究圓，三角函數的實質表示勻速圓周運動. 現代三角學的開創者叫歐拉，他第一個發現三角函數可以用單位圓中的有向線段表示，所示稱為圓函數，他還對三角形進行了定性定量的研究，從而得出了正弦定理、余弦定理，解釋了三角形的性質和數量關系，確定與構成了三角形的理論性質. 三角形以三個頂點的位置、邊長和角的大小等表示其形狀，因此研究三角形的相關問題都是以邊、角等綜合考慮的.

例題1：若△ABC的內角滿足sinA+sinB=2sinC，求cosC的最小值.

例題2：在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

師：同學們看看這兩道題，都是三角形中的最值問題，對于這類問題，能談談你的看法嗎？

2. 想意圖，理思路，與命題者對話

試題的背后是命題者對知識的深度思考和知識內涵的精確把握，命題者以試題為載體，以解決問題為考查手段，達到檢測學生對重點知識的掌握情況的意圖［1］. 教學中要提高學生對命題意圖的把握，全面了解考查的目的和方法；要發展學生的深度思維，實現高效學習，使其能夠快速準確地掌握解題規律，掌握解題方法.

生1：解決三角形的邊、角和面積的最值問題，需要用到的知識包括正弦、余弦定理以及基本不等式等.

師：同學們有沒有思考過，這類問題為什么會經常成為考點呢？

生2：三角形中的最值問題考查的角度比較多，使用的解題方法非常豐富，可以從性質和數量關系等多個角度切入，突出了高中的核心數學知識，如三角函數、基本不等式等. 因此這類問題受到出題者的歡迎.

……

本環節引導學生思考命題者的意圖并表達出來，深入了解試題考查的知識點和考查的目標，從而把握命題規律，了解命題的一般方法，有助于學生順著命題者的意圖把握試題結構，找到突破試題的關鍵，建構試題模型，掌握解題方法，提高分析和解決問題的能力.

3. 定目標，說方法，與試題條件對話

教學目標是引領課堂的方向，教學過程要圍繞教學目標展開，才能使整個課堂具有靈魂. 在教學目標的引領下，教師要始終關注學習的主體對象，反思教學過程中要把學生引向哪里，學生怎樣才能到達，最終到達了沒有.

例題3：在△ABC中，B=，求cosA+cosC的最大值.

師：同學們觀察這道題，能否思考一下這道題的類型、解答方法和本質？說一說你的想法.

生3：這道題的類型是三角形中的最值問題，應用的知識是余弦定理. 因為本題的前提是在△ABC中，所以通過三角形的內角和定理可知C=－A，利用兩角差的余弦公式進行分解，再通過輔助角公式可得cosA+cosC=cosA+cos－A=sinA+，其中A∈0，，因此當A=時，cosA+cosC的最大值為1.

師：非常好，生3求出了最大值，那么有沒有同學有其他方法呢？

生4：這道題還可以將關于A的三角函數變成關于C的三角函數，從而求出最大值. 具體過程如下：cosA+cosC=cos－C+cosC=sinC，其中C∈0，，所以當C=時，cosA+cosC的最大值為1.

師：這個方法也非常好. 誰能給大家解釋一下這兩種方法的根本思想是什么？歸納一下解這類題的規律.

生5：這兩種方法的根本思路就是消元. 題中有三元，分別是A，B，C，等式關系有兩個，分別為B=和A+B+C=π，因此可以根據條件B=和A+B+C=π，通過消元或變元轉化為一元的三角函數求最值.

師：講解得非常透徹. 理解了上述三角形中的最值問題的本質后，讓我們回歸例題1和例題2，檢測一下同學們的掌握情況.

生6：同例題3一樣，這兩道題都有三元，分別是A，B，C，都有兩個等量關系，分別是A+B+C=π和sinA+sinB=2sinC，A+B+C=π和sinA=2sinBsinC，因此也可以利用消元或變元的方法進行解決.

解決問題并不一定直達目標，解決過程可以是階段性和循序漸進的，只有在已知條件與結論之間搭建起通道，才能找到問題的突破口，切入解題關鍵. 教學中引導學生與試題條件和結論對話，理解問題的本質，與同伴進行交流，在質疑、尋找、認可的過程中捕捉問題的顯性和隱性條件，通過挖掘問題的內涵，尋求解決之道.

4. 談想法、理本質，與數學思想對話

數學思想是對數學方法和知識的本質認識，理解數學思想，才能真正掌握數學學習的精髓. 數學思想體系的建立，可使學生以更高的視角理解知識，掌握解題方法，理解問題本質；可使學生熟練運用解題方法，不再只是通過單純的模仿和簡單的重復進行學習，從而促進解題能力的提高和思維水平的發展［2］.

師：通過我們已學的代數知識，相信同學們已經知道了方程的變元個數、條件等式的個數以及條件不等式之間的關聯性，決定著方程解的范圍以及解的存在性. 通過變元的選擇與轉化，優化需要研究的方程，是研究方程的基本思路和方法. 解決三角形中的最值問題的基本思路是通過變元、消元和轉化等方法，簡化問題后再解決問題.

生7：老師，我發現了另一種變元方法. 設例題1中△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，利用正弦定理把題干中的等式化簡為a+b=2c，再利用余弦定理，用a，b，c表示cosC，從而通過變元和消元進行求解.

師：非常好，下面請同學們繼續解題.

生8：從變元的角度進行分析，例題2可以利用三角形的內角和定理以及兩角和的正弦公式，將已知條件sinA=2sinBsinC轉化為tanB+tanC=2tanBtanC，則A，B，C三元就可以變為tanA，tanB，tanC三元了.

生9：例題2也可以轉化為問題“已知在銳角三角形ABC中，tanB+tanC=2tanBtanC，求－tanBtanC的最小值”，也就是說可以把例題2的三元看成是tanB+tanC和tanBtanC兩元.

（全班熱烈鼓掌，大家都贊同生8和生9的解法）

通過三角形中的最值問題的解答分析，使學生在思考過程中感受到了一般函數在此類問題中的應用，從解決問題的數學思想方法中，總結出了解決此類問題的通式通法，達到了提高解題效率、領悟數學本質的目的. 同時，注重培養學生的反思意識，通過觀察解題步驟、梳理解題方法、檢查解題思路、探究解題本質，在潛移默化中提升了學生解決問題的能力.

5. 談感悟、促提升，與知識整體對話

數學教學不能僅僅就單個知識點進行講解，要關注知識間的聯系，幫助學生從整體上把握知識，形成整體性的認識. 教師從數學知識形成和發展的淵源和背景出發進行闡釋，幫助學生理解知識間的內在聯系和不同領域間的區別，從而提高學生學習效率，發展學生思維的靈活性和深刻性，提高學生數學核心素養. 試題講解既是對數學知識和數學方法的講解，更是對數學知識的再認識，通過厘清和轉換知識間的邏輯關系，實現對知識更高層次的理解，認識數學的本質.

師：這類問題如果我們想要有更加清晰的認識，可以再看一個數學模型：三角形的一個角和對邊固定，求解三角形中的最值問題.

例題4：已知△ABC的三個角分別為A，B，C，其對邊分別是a，b，c，a的值為2，并且角A等于，求△ABC面積的最大值.

生10：根據剛才的解題方法來看，這道題共有六元，分別為三個角和三條邊，由此需要的等式條件就更多了.

生11：這道題是三角形中的最值問題，因此角可以利用隱性條件——三角形的內角和——進行轉化，而邊則可以利用正弦、余弦定理進行轉化，從而通過消元或換元轉換成只有邊或角的最值問題. 我選擇邊的角度進行求解（解題過程略）.

由于數學知識具有相互聯系和整體的關聯性，因此教師要幫助學生挖掘試題中的隱含知識和本質，從而構成一個更深層次的知識體系，讓學生能夠更加積極主動地探求知識，逐步構建起自己的知識網絡. 學生是課堂學習的主體，只有將學生的發展作為教學目標，才能使學生通過對話，理解問題的本質，提高解決問題的能力.

綜上所述，課堂教學要從知識的整體性出發，以符合學生認知特點的教學方式為基礎，以符合學生思維順序的教學活動為根本，科學組織課堂教學，使學生在活動中體驗數學智慧，在解決問題中不斷提高解題能力. 對話教學可以使學生形成主動學習的意識，在積極交流、主動質疑、深入探究中形成自我對數學的認識. 教師要積極引導學生在學習中建構數學模型，實現自我價值，領會數學品質，真正將數學知識內化為自身的能力和素養.

參考文獻：

［1］ 喻平.數學學科核心素養要素析取的實證研究［J］. 數學教育學報，2016，25（06）：1-6.

［2］ 蘇華強. 關注模型教學，拓展解題方法——“胡不歸問題”在初中數學解題中的應用［J］. 中學數學月刊，2018（12）：50-52.