淺析啟發式教學在高中數學復習中的實施

［摘 ?要］ 當今的數學教育注重學生在課堂中的主體地位，強調學生主觀能動性的調動與發揮，以發展學生的核心素養為宗旨. 這就需要教師通過切實有效的措施，將啟發式教學應用到教學的方方面面. 文章以“函數零點”的復習教學為例，從“提取信息，暴露問題”“引發質疑，重新建構”“綜合應用，強化理解”“加強反思，總結提升”等方面，具體談談啟發式教學在高中數學復習中的實施.

［關鍵詞］ 數學復習；啟發式教學；思維；互動

作者簡介：張文妍（1993—），本科學歷，中學二級教師，從事高中數學教學工作.

在高中數學教學中，采用不同的教學方式，可以獲得不同的教學效果. 這就意味著教學方式對學生的學習起著重要的影響作用，而站在教師的角度去精心選擇并優化教學方式，也就成了一個重要的任務. 復習是教學中的重要環節，復習起著幫助學生整合數學學科知識、促進學生知識建構的作用，選擇與復習相匹配的教學方式，對學生學習結果的影響更加明顯. 在諸多教學方式當中，啟發式教學由于能夠促進學生的思維發展、能夠促進學生有效建構知識體系，故其有更好的幫助學生復習的作用. 當然，作為一種優秀的教學方式，其作用能否在復習的過程中充分發揮出來，還取決于教師對啟發式教學的理解與實踐.

啟發式教學是指教師根據教學目標與學情，綜合應用各種教學手段，啟發學生思考，建構認知體系的過程. 這不僅是一種教學方法，還是一種教學原則、思想與觀念［1］.

理解啟發式教學，先要理解何為啟發. “啟發”這個教育思想可追溯到孔子的“不憤不啟，不悱不發”之說，也就是要在學生積極、努力思考后再去啟發他. 學生若不思則不啟，而學生的思尚未達到“憤”的程度也不啟. 無獨有偶的是，不僅中國的傳統教育強調啟發的作用，西方的教育對啟發也高度重視，尤其是西方發達國家，常常通過探究式教學來幫助學生建構知識，實際上這一教學方式當中的啟發意味就非常濃郁，不少人認為探究式教學的基礎就是啟發式教學.在具體實施的時候，教師的首要任務就是去啟發學生，去激活學生思維，讓學生在復習的過程當中，能夠有效整合已經學過的知識，并且有新的發現. 具體一點說，高中數學的復習環節，在學生思維的困惑處運用啟發式教學，能為學生的思維指明方向，幫助學生突破思維障礙，達到鞏固、提升的效果. 尤其是高三復習，學生已經建立基本的知識架構，掌握了常用的知識技能和思想方法，解題時擁有自己獨特的見解與想法，在學生思維的瓶頸處加以啟發，可點亮學生的感悟思維，讓學生在總結、反思中發展數學核心素養.

提取信息，暴露問題

復習是對記憶中的信息進行提取、加工與應用的過程. 信息提取主要是對之前學過的概念、定理、法則、數學思想方法或公式等信息的回憶過程. 此環節中，教師要充分調動學生的積極性，讓學生展現出主人翁意識，鼓勵學生采取分類線索或任務等方式主動提取信息，并積極表述. 教師在學生的表述過程中，發現思維的薄弱點，從而有針對性地進行啟發、引導，以達到重點明確的復習效果. 可以說，提取信息就是啟發式教學運用的基礎，信息提取得越成功，學生思維加工的載體就越豐富，學生就越容易發現數學概念或規律之間的關系. 當然，這一連續發現的過程離不開教師的“啟”，而考驗教師復習智慧的，也正是這個“啟”. 教師通過適當的教學策略，幫助學生掃除知識理解中的障礙，幫助學生發現數學概念或規律之間的關系. 尤其在具體解題的時候，能夠讓學生認識到看似沒有關系的數學概念或規律，卻可以在同一個問題解決的過程中得以運用，這就可以幫助學生有所發現.

函數零點的定義是學生熟悉的，想要發現學生思維的弱點，就要與學生積極地互動交流，讓學生在交流的過程中呈現問題. 本節課中，筆者進行了以下幾個教學環節：

環節1：在概念回顧中暴露認知偏差

師：請大家說說你們對函數零點是怎么理解的.

在此交流環節中，關鍵要點明“函數零點”并不是“點”，而是一個“解”. 從代數的角度來看，學生的理解基本沒有問題，那么相對應的幾何理解又是怎樣的呢？大部分學生能回憶到函數f（x）與x軸相交點的橫坐標. 教師可在此處強調，代數與幾何相通的思想，即f（x）=0相對應的自變量x→代數方程，f（x）和x軸相交點的橫坐標→幾何圖象. 厘清這兩者間的辯證關系后，接下來可從代數與幾何兩種思維的角度展開復習.

環節2：在解題中暴露認知偏差

例1 函數f（x）=lnx－的零點大致在區間（ ?）

A. （2，3） B. （1，2）

C. （3，4） D. （4，5）

師：面對此題，你們首先想到的是什么？

大部分學生表示自己首先想到的是求導. 通過交流發現，學生的想法與筆者原本的預設有所差別. 若遇到這種情況，教師先要穩住陣腳，切不可簡單、粗暴地否定學生的想法，或直接呈現正確的解題方法. 這些是典型的越俎代庖、喧賓奪主的教學行為，會抑制學生的思維發展.

作為一名優秀的教師，應先思考學生產生偏差想法的原因，然后利用反問、追問、提示、轉問等手段啟發學生思維，讓學生自主發現問題的根源，從而提煉出正確答案. 如針對例1提問：“求導的目的是什么？”讓學生將自己的想法呈現出來.

學生之所以會出現認知偏差，主要原因是學生的解題經驗不足，以及對知識的理解不夠深刻，在提取信息時出現模糊不清、定位偏差等現象. 通過啟發式教學，筆者發現學生對于零點的存在是知道的，只是沒有達到靈活應用的程度. 啟發式教學可讓學生盡可能地自主表達、提取信息、修正信息，達到梳理并完善認知結構的目的.

引發質疑，重新建構

復習不僅要完善學生的認知結構，還要實現知識體系的重新建構. 其目的在于讓學生自主梳理對知識的理解，形成有序、條理清晰、立體以及高效的認知體系，為新的數學圖式結構的形成夯實基礎，此過程離不開教師的啟發與引導. 大量的教學經驗表明，要讓學生在復習的過程中有效整合并建構知識體系，最強的動力來自學生質疑. 學生質疑意味著學生有了疑問，而疑問可以打破原有的認知平衡. 當學生的認知平衡被打破后，學生也就容易形成整合知識的動力，這意味著知識體系的重新建構有了更大的可能，學生在質疑中獲得靈活處理問題的能力將會大大增強. 從這個角度來看，啟發式教學要想得以有效運用，引發學生質疑很重要. 可以說質疑就是啟發式教學的內在動力. 當然，引發質疑也是有技巧的，在學生的最近發展區內引發質疑，通常能夠起到較好的復習效果.

環節3：互動中引發質疑

筆者針對以上環節，追問學生對于函數零點存在性定理的認識. 學生提出了“單調”“一正一負”的理解. 此時，學生在理解上的偏差就暴露出來了.

師：從大家的理解來看，只需要曲線連續，一正一負中間就必定存在零點，若帶上“單調”呢？

生眾：那就是唯一零點了.

師：是否唯一零點就必須是單調的？

生1：這不一定，比如某二次函數的頂點位置恰好在x軸上，其零點就只有一個.

通過簡短的互動交流，筆者成功地引發學生質疑，使學生重新梳理了知識脈絡，對自己原有的知識體系重新進行了建構. 在此過程中，學生通過函數圖象模型的應用與類比不僅有效完善了認知結構，還帶動了同伴思考.

若想強化學生對“零點唯一性”的辨析，幫助那些思維仍逗留在函數單調性層面的學生重新建構知識體系，教師還可以增加如下環節.

環節4：從多方位的互動中重新建構知識體系

例2 已知函數f（x）=x2－2x+a（ex-1+e1-x）存在唯一的零點，求a的值.

生2：解決此題應該從單調性的角度出發.

生3：我不這么認為，若將“x－1”視為整體，則可以得到一個關于x=1對稱的函數，既然為對稱的關系，那么零點必然也是成對出現，除非在對稱軸處恰好是單個.

師：這么理解的話，本題是從對稱性的角度來判斷了？唯一性的本質與對稱性相關嗎？

生2：我還是覺得從單調性的角度來分析比較合理，若a>0，當x<1時，f（x）遞減，當x>1時，f（x）遞增，先減后增，通過畫圖即可一目了然，若只有一個零點，唯最小值為0時.

師：零點的唯一性到底和誰有關系呢？

生4：不僅與單調性相關，還與最值、圖象位置相關.

變式例題的應用，有效促進了學生多方位互動交流，在自主質疑、分析、推斷、辨析中實現了知識體系的重新建構.

綜合應用，強化理解

知識的綜合應用是對知識、技能、數學思想方法的綜合遷移，需要學生從認知結構中選擇、提取、加工信息，建構數學模型. 學生常通過分類、探究、聯想等方式，提高應用能力［2］.

環節5：多角度互動中實現生成

例3 函數f（x）=x－a·ex（a∈R），有且僅有一個零點，則a的取值范圍是什么？

生5：對原函數求導，得f′（x）=1－a·ex. 當a≤0時，函數f（x）單調遞增，有且僅有一個零點；當a&gt;0時，函數f（x）的最大值為0，也就是fln=0，解得a=.

師：能區分這兩類零點嗎？

生6：可稱為單調零點與最值零點.

……

因學生的思維方式存在一定的差異，可將偏向代數或幾何的觀點結合起來進行辨析，以提高學生對知識的實際應用能力.

加強反思，總結提升

及時反思是復習課的重要環節之一. 反思時，教師應引導學生站到命題者的角度去俯瞰試題的結構，以揭開試題的神秘面紗. 同時，試題的講評應適可而止，只有落于學生最近發展區的引導，才更具啟發意義. 反思環節，應注重從特殊到一般的橫向推廣與類比，并深入問題的本質進行縱向延伸，為形成良好的反思能力奠定基礎.

環節6：在反思中再次探索

經過以上探索過程，學生對函數的單調性、實根分布、圖象以及參數分離等都有了更深層次的認識，且能完整地解讀出零點與無零點的圖象特征及分類情況，學生充分感受到參變分離的優勢. 為強化學生認知，筆者又增加了一個反思應用，供學生思考.

例4 已知函數f（x）=sin2+sinωx－（ω>0），x∈R. 如果f（x）于區間（π，2π）上無零點，求ω的取值范圍.

學生經過探索，認為解決本題的關鍵思路為：不論函數是否單調，只要曲線是連續的，保證值域同號即可解決本題，解題時要結合圖象進行判斷.

至此，本節課趨于尾聲. 下課前，筆者讓學生做一個知識結構整理，以思維導圖的方式呈現出來. 這是幫助學生完善認知結構的重要手段. 學生通過知識梳理，形成了一個完整的知識架構（見圖1）.

結構圖可作為課堂小結，也可用于復習課的導入環節，以填空的形式啟發學生提取信息. 學生完善結構圖的過程就是梳理知識結構、清晰思維的過程.

總之，啟發式教學在高中復習課中的應用十分廣泛，啟發過程中的互動尤為關鍵. 互動交流過程就是處理師生、生生與復習內容之間關系的過程. 學生在教師的引導下，積極思考，將復習落到實處. 當學生能用自己的方式，從不同角度來表達對問題的看法時，就實現了理解與創新的過渡.

參考文獻：

［1］ 孫幸榮. 淺談啟發式教學實施途徑及幾個誤區［J］. 數學學習與研究（教研版），2009（09）：14-15.

［2］ 邱云. “四維”反思 提升高考復習實效——講評一道試題有感［J］. 中學教研（數學），2017（11）：6-9.