《復數的乘、除運算》教學設計

俞紅玉 黑龍江省哈爾濱市方正縣第一中學校

●創新整合點

①利用PowerPoint制作多媒體課件，使課堂生動靈活，結尾簡介“復數”這個神奇而又充滿魅力的“詭辯量”—i，激發學生的學習興趣，對學生進行德育滲透，從而讓學生對科學未知充滿好奇，讓學生有勇氣去質疑去挑戰并積極地去探索宇宙的奧秘。

②利用電子白板制作游戲環節，使課堂氛圍活躍，提高學生的課堂參與度，直觀呈現學生學習效果，提高課堂效率。

③設計“我是小老師”環節，突破學生的固定思維模式，從“我是出題人”的角度出發，先是怎樣把復數這部分知識學得更扎實、牢固，然后再能力提升，充分體現了學以致用。

●教材分析

本節課選自人民教育出版社出版的《普通高中教科書數學必修第二冊（A版）》第七章第二節第二課時《復數的乘、除運算》，依據新課改新大綱要求，復數四則運算是本章知識的重點。主要內容是復數的乘、除運算。學生的知識基礎是已經學習了復數的概念和坐標表示，在第二節第一課時，介紹了復數代數形式的加、減的運算法則，同時指出了復數加法、減法的幾何意義，復平面上兩點間的距離公式，溝通了“數與形”之間的聯系，提供了用“形”來幫助處理“數”和用“數”來幫助處理“形”的工具。

在這節內容中，類比多項式的乘法法則，可把復數代數形式a+bi看成由a和bi兩個非同類項組成，這樣，多項式的運算法則幾乎可以全部搬過來照用不誤，于是復數就與多項式、方程聯系起來，從而能幫助解決一些多項式中的因式分解、解方程等數學問題。新教材降低了對復數的要求，只要求學習復數的概念、復數的代數形式及幾何意義、加減乘除運算及加減的幾何意義。

通過本節課對學生滲透數形結合的數學思想，滲透化歸的思想，將實數的運算通性、通法擴充到復數，是對數學知識的一種創新，有利于培養學生的學習興趣和創新精神。所以，《復數的乘、除運算》一課的編排有著重要的意義。

●學情分析

高一學生知識經驗與學習經驗較為豐富，已具有類比知識點的學習方法。

●教學重難點

重點：復數代數形式的乘、除法的運算法則及其運算律。

難點：復數除法的運算法則。

●教學目標

知識與技能目標：理解并掌握復數的代數形式的乘法與除法運算法則。

過程與方法目標：在問題探究過程中，體會和學習類比等數學思想方法，感悟運算形成的基本過程。

情感態度與價值觀目標：培養類比思想和逆向思維；通過復數的乘除法的學習，體會實虛數的矛盾和統一，加深對數學的情感認識。

數學核心素養：①數學抽象：復數乘法、除法運算法則；②邏輯推理：復數乘法運算律的推導；③數學運算：復數四則運算；④數學建模：結合實數范圍內求根公式和復數四則運算，解決復數范圍內的方程根問題。

●教學環境與準備

教學環境：多媒體教室、寬帶網絡、seewo觸控一體機。

課堂準備：教材、練習本、筆等課堂用品。

●教學過程

1.復習回顧，引入新課

師：各位同學，大家好。今天這節課我們將探討復數的乘法、除法運算。經過前面的學習，我們了解了復數的概念，以及復數加減法運算及其幾何意義。復數的加法和減法法則，類似多項式的加減法，是將復數的實部與實部、虛部與虛部分別相加減。從幾何意義的角度出發，復數的加法可以按照向量的加法（平行四邊形法則）來進行，復數的減法可以按照向量的減法（三角形法則）來進。一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。通過上節課的探究我們發現，復數的加減法與實數中多項式的加減法類似，那么，復數的乘除運算，是否也有這個規律呢？接下來讓我們一起來探究一下。

設計意圖：復習復數的加減法運算及其幾何意義相關知識，通過復數加減法運算與實數運算的對比，引出復數乘除法的運算法則。

2.新課探究

（1）復數的乘法法則

師：我們規定，復數的乘法法則如下：設z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，那么它們的積z1z2=(a+b i)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i。

根據復數的乘法法則，請思考并探討以下問題：

問題①—兩個復數的積是什么數？它的值唯一確定嗎？

生：通過觀察，我們發現，兩個復數的積仍是復數，它的值唯一確定。

師：問題②—當z1，z2都是實數時，與實數乘法法則一致嗎？

生：根據法則，我們發現，當b=d=0時，z1，z2都是實數，復數的乘法與實數乘法法則一致。

師：問題③—復數的乘法類似于實數的哪種運算方法？

生：兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結果中把i2換成-1，并把實部與虛部分別合并即可。

師：通過以上探究，我們知道，兩個復數的積仍然是一個復數，且唯一確定，運算中與實數的乘法法則保持一致，類似于兩個多項式相乘。

設計意圖：與實數多項式的乘法進行類比，有利于學生理解復數的乘法法則，同時培養學生類比的核心素養。

（2）復數乘法的運算律

師：復數的加法滿足實數運算中的運算律，那么，復數的乘法是否滿足實數乘法的運算律呢？

教師和學生一起來驗證乘法交換律，余下的以作業形式讓學生自己來驗證。

設計意圖：引導學生根據復數的加法滿足實數加法的運算律，大膽嘗試推導復數乘法的運算律。培養學生的學習興趣和勇于探索的精神。

（3）復數的除法法則

師：與復數減法法則的推導方法類似，我們利用復數的減法是復數加法的逆運算，利用復數的加法法則，推導出了復數的減法法則。現在，我們依據復數的除法是乘法的逆運算，利用復數的乘法法則，去推導復數的除法法則。即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi，(a，b，c，d∈R)的復數x+y i，叫做復數a+b i除以c+di的商。

教師說明：在進行復數的除法運算時，通常先把相除的形式改寫成分數的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數，這里分子分母都乘分母的“實數化因式”（共軛復數），從而使分母“實數化”。

設計意圖：通過將復數的除法轉化成分式的除法，再類比實數中的分母有理化，對分母進行實數化，通過該化簡的過程，幫助學生理解復數的除法法則。滲透類比和轉化的數學思想方法，體會數學知識的緊密聯系。

（4）例題講解

①復數的乘法對應例題。

例：計算（1-2i）(3+4i)(-2+i)。

教師分析：復數的乘法，類似于多項式乘法，從左到右進行計算。注意，在結果中如果遇到i2換成-1完成計算。

例：計算（1）（2+3i）(2-3i)；（2）（1+i）2。

教師分析：可以利用復數的乘法法則計算，也可以用與實數系相對應的乘法公式計算。

設計意圖：及時運用新的理論知識，進行應用和鞏固練習，讓學生體驗成功。使學生實現從掌握知識到運用知識的轉化。在計算的過程中，鍛煉學生的計算能力，培養學生數學運算的核心能力。

②復數的除法對應例題。

例：計算（1+2i）÷（3-4i）。

教師分析：先將除法化成分式的形式，再進行分母實數化運算。

③提升練習。

在復數范圍內解方程x2+2=0。

設計意圖：在熟練應用復數的乘法除法運算法則之余，進行提升練習。讓學生先獨立思考，提高學生的建構能力及主動發現問題、探究問題的能力。分層教學，讓不同能力水平的學生學有所得。

在復數范圍內解方程ax2+bx+c=0。

通過計算觀察發現兩個根互為共軛復數。

設計意圖：讓學生探究討論在復數范圍內如何求解方程，同時也讓學生學會舉一反三。

④開展“我是小老師”活動。

以小組為單位組內出題，做出準確答案，然后做其他小組出的題。

設計意圖：突破學生的固定思維模式，從“我是出題人”的角度出發，思考怎樣把復數這部分知識學得更扎實、牢固，然后再能力提升，學以致用。

3.課堂總結

①復數代數形式的乘法法則：兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可。

②復數代數形式的除法法則。

③在進行復數的除法運算時，通常先把相除的形式改寫成分式的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數，將分母“實數化”。

設計意圖：通過課堂小結，增強學生對復數代數形式的乘法除法運算的理解，引導學生自我反饋、自我總結，并對所學知識進行提煉升華。

●教學反思

在新課程背景下，如何有效利用課堂教學時間，盡可能地提高學生的學習興趣是一個重要的課題。教師首先要對新課標和新教材有整體的把握和認識，才能將知識系統化，注意知識前后的聯系，形成知識框架、知識網絡。筆者首先了解了學生現階段的認知水平和年齡特點，因材施教，并圍繞復數的乘除運算逐步展開。課上，筆者選擇的題目呈階梯式展現，且緊密聯系新課改新高考，與時俱進。同時，“我是小老師”這一環節培養了學生的創造性，提高了學生學習的主動性。

本課雖然完成了教學設計中的各個環節，學生的能力也得到了相應的提高，但仍有不足，如：教學設計中的例題比較多，課堂上的時間比較緊張；課后沒有做很好的小結。如果在教學設計和課堂中處理好這些問題，這節課也許會更好。

因此，在以后的教學中筆者還要經常反思，不斷提高自己的教學水平。