《勾股定理》教學設計

羅冬慧 廣東省東莞市松山湖北區學校

●創新整合點

本課采用智能平板教學模式，融合信息技術智慧教學平臺及嵌入的學生評價系統，展示在學科教學中的應用。

在不同環節采用智慧平臺學生互動的方式進行學習探究，并對學生的學習成果進行展示，教師在一體機上可詳細清晰地看到全班學生完成情況與各題目的正確率，系統自動對學生的完成情況進行后臺數據處理，教師可直接觀察到學生的答題集中趨勢，并針對易錯點進行剖析，針對性地做到學生會的，教師少講，學生不會的重點講。

在授課過程中，通過智能平板，教師和學生一同進行過程性評價，極大地促進了教師的教與學生的學。

●教材分析

《勾股定理》是人教版八年級下冊第十七章第一課時的學習內容，是學生在已經掌握了直角三角形有關性質的基礎上進行的學習，它是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三條邊之間的數量關系，是解直角三角形的主要依據之一。學好本節課至關重要，能為逆定理的學習打好基礎。在許多的實際應用中，勾股定理的身影幾乎無所不在，實際用途很大。教材在編寫時也注重了以下幾方面：培養學生的動手操作能力和觀察分析問題的能力；通過實際分析、拼圖等活動，使學生獲得較為直觀的印象；通過聯系比較，理解勾股定理，以便于正確地進行運用。

●學情分析

針對八年級學生的知識結構和心理特征，本節課按照以下設計思路展開教學：通過知識點打卡的方式帶領學生逐步深入認識勾股定理，選用“引導探究式”教學方法，先由淺入深、由特殊到一般地提出問題。接著引導學生通過實驗操作，歸納驗證，在學生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學生的認知規律，又充分體現了“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者”的教學理念。通過教師引導，學生動手、動腦，主動探索獲取新知，進一步理解并運用歸納猜想、由特殊到一般、數形結合等數學思想方法解決問題。同時，讓學生感悟到學習任何知識的最好方法就是自己去探究。

●教學目標

知識與技能目標：了解勾股定理的發現及歷史背景，熟練掌握勾股定理的內容，會用面積法和拼圖法證明勾股定理，初步運用勾股定理進行有關的計算。

過程與方法目標：經歷知識背景、實驗探究、應用體驗和數學啟示四個環節的學習，發展合情合理的推理能力，溝通數學知識之間的內在聯系，體會“數形結合”和“特殊到一般”的思想方法。

情感態度與價值觀目標：感受數學文化史，滲透數學之美、探究之趣。體驗數學學習中探索和創造的樂趣，培養數學學習的興趣與信心，培養動手探究與合作意識。

●教學環境與準備

學生人手一部交互式電子白板、平板電腦，教師端教師版平板，希沃軟件，眾人通智慧平臺和PPT課件，在教室里安裝有常態化攝錄播設備、智課終端系統、智慧物聯管控系統、光能黑板及教學一體機、全光網絡等基礎硬件，為實施個性化教學提供了技術支持與保障。

●教學過程

師：同學們，今天我們要一起攜手去探索一個非常偉大神奇的定理，通過屏幕大家也知道今天的主角就是勾股定理。大家看到屏幕左上角的這個動圖了嗎？看起來像一棵樹，沒錯，其實它就是用勾股定理的原理制作的勾股樹，學習了本節課，同學們就能深刻地體會到勾股定理的奧妙之處了。我們今天的旅程有4個打卡點。第一個打卡點是歷史背景站，一起去了解勾股定理的發展歷史；第二個打卡點是實驗探究站，了解定理的發現及證明；第三個打卡點是體驗應用站，一起感受勾股定理的實際作用；第四個打卡點是數學啟示站，領悟勾股定理帶給我們的啟示。

1.第一站：歷史背景站

以學生喜聞樂見的快閃方式開啟勾股之旅，介紹勾股定理的歷史背景和豐富的文化價值，調動學生對新知識學習的探究熱情，從而將注意力高度集中到接下來的打卡任務中。

設計意圖：本課的學習以打卡的方式創設學習主線，設計了4個打卡站點，從介紹勾股定理的歷史到進入實驗探究站，再到體驗應用站，最后到數學啟示站，以學生喜聞樂見的方式開啟勾股之旅的學習，激發學生探究新知識的欲望，為新單元的學習做一個良好的鋪墊。

2.第二站：實驗探究站

以畢達哥拉斯發現地磚規律導入勾股定理發現的背景，從而在探究地磚圖案的規律中初步得出直角三角形三邊的規律。畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家，相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發現朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數量關系。請學生觀察圖1中的地面，看看能發現些什么？

圖1

師：你能找出圖中研究面中正方形A、B、C面積之間的關系嗎？

學生獨立觀察圖形，分析思考其中隱藏的規律，并直接數等腰直角三角形的個數。

生：SA+SB=SC。

師：圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系？

生：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

師：是否其余的直角三角形也有這個性質呢？

在講解了勾股定理的發現背景及從地磚規律中初步探究得出的等腰直角三角形的三邊關系后，通過兩個一般直角三角形三邊所圍成的正方形的面積的驗證，探究直角三角形的三邊關系。

設計意圖：在網格背景下，通過觀察和分析等腰直角三角形的三邊關系，為接下來驗證一般的直角三角形的三邊關系提供了典型特例。

在方格紙上，畫一個頂點都在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，思考以下問題：

三個正方形面積有何關系？

直角三角形三邊長有何關系？

依據活動一和活動二，請大膽提出你的猜想。

學生獨立思考后小組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形的面積。學生分組交流，展示求面積的不同方法。最后觀察圖表數據，歸納出三個正方形面積的數量關系，再由面積轉化成直角三角形的三邊關系，得到勾股定理的表達式。

學生思考，教師播放實驗視頻。

視頻啟示：通過實驗發現，如果前提不是直角三角形的話，那么它是不能滿足勾股定理的表達式的，勾股定理是直角三角形的一個非常重要的性質，在以后的學習中我們將會借助勾股定理解決許多實際問題。

本環節從最特殊的直角三角形入手，通過觀察正方形面積關系得到三邊關系，并進行初步的一般化。

學生歸納，得出命題：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么

設計意圖：在實驗探究站中，通過分類討論的方法，探尋一般直角三角形的三邊關系，直觀地以實驗驗證得出勾股定理的表達式，為接下來的證明方法打下基礎。

利用拼圖法來驗證勾股定理。教師鼓勵學生代表作示范演示，展示分割、拼接的過程。對比兩種不同的拼法，進而滲透數形結合及方程的思想。

請用盡可能多的方法拼成一個正方形；

方法一：我國古代數學家趙爽的證法，利用“趙爽弦圖”證明（如圖2）。

圖2

方法二：其他的拼法證明，如圖3所示。

圖3

師：你還有別的方法來驗證這個結論嗎？（請把在小組合作報告中了解的方法與大家一起分享）

歸納總結：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

設計意圖：通過拼圖活動，調動學生思維的積極性，為學生提供從事數學活動的機會，發展學生的形象思維；使學生對勾股定理的理解更加深刻，體會數學中數形結合思想。通過對趙爽弦圖的介紹，了解我國古代數學家對勾股定理的發現及證明做出的貢獻，增強民族自豪感。通過了解勾股定理的證明方法，增強學生學習數學的自信心。

通過探究與證明，學生已能較好地掌握勾股定理的內容，接著帶領學生前往發現站，參觀勾股定理的其他證明方法（播放視頻）。

3.第三站：體驗應用站

利用勾股定理的性質解決與勾股定理相關的經典問題。設計例題與習題一題多變的勾股定理的實際應用題型，由簡到難層層遞進。

第一層：已知兩邊求第三邊。

設計意圖：在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應用勾股定理求解，也可建立方程，滲透方程思想。

第二層：在原圖的基礎上加三個正方形，求出其中一個正方形的面積。

設計意圖：學生應掌握三個正方形的面積關系，并能將正方形的面積關系和直角三角形三邊之間的關系進行聯系。

第三層：把正方形變式為三個半圓，求證兩個小的半圓的面積和等于大半圓的面積。

設計意圖：利用勾股定理的性質解決實際問題，明確勾股定理的應用必須在直角三角形中，是兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

第四層：在第三層圖形的基礎上把大半圓翻折，求雙月牙的面積和與直角三角形的面積的數量關系，留給學生課后探究證明。引導學生從解決基礎的問題開始，逐漸提升解決高階問題的能力。關注學生的解題思路與書寫格式，鼓勵學生多思考、善發現，在解題的過程中滲透思想方法的教育。

設計意圖：利用轉化思想，將實際問題轉化為數學問題，利用勾股定理性質建立等量關系從而解決問題，發展學生的數學高階思維。

在體驗應用站打卡環節中，設計一題多變的環節，讓學生在不斷變化的問題情境中，抓住主要線索，層層突破，靈活運用勾股定理的性質解決實際問題。

4.第四站：數學啟示站

進行勾股定理知識的課堂回顧及小結，升華學生對勾股定理的理性與感性認識，滲透善于發現善于思考的學習品質。

利用路線圖回顧與總結本課所學，從發現到發展歷史，再到驗證與證明，與學生們一起總結歸納，提升認識，學生從不同角度談本節課學習的主要內容：勾股定理的內容；驗證勾股定理的方法；利用勾股定理已知兩邊，求第三邊；能利用轉化思想，將實際問題轉化為數學問題。在學習的過程中學生感受到中國數學文化及數學美，感悟數形結合思想。從特殊到一般淋漓盡致地展示了數學的魅力，其中轉化思想、分類討論思想和方程思想更是提供了許多啟迪智慧的方法，對打開數學視野起到很好的促進作用，引發學生更深層次的思考，促進學生數學思維品質的提高。

設計意圖：數學啟示站中，不僅是知識的小結環節，更是思想方法滲透的重要環節，關鍵在于提升學生的數學素養，樹立數學學習的信心與興趣，培養學生樂于思考善于探究的精神，發展學生的數學眼光。

●教學反思

本節課對勾股定理進行了探索并利用數形結合的方法驗證勾股定理，通過“提出猜想—實驗操作—歸納驗證—解決問題—課堂小結”五部分讓學生經歷了知識的發生、形成和發展的過程，讓學生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想，從而更好地理解勾股定理，應用勾股定理，發展學生應用數學的意識與能力，增強了學生學好數學的愿望和信心。