“運用Excel軟件擬合函數分析身高、體重、鞋碼關系”活動設計與研究成果

楊樂 李軍 華中師范大學一附中屯昌思源實驗中學

● 教學內容及解析

1.教學內容

本活動主要結合高中數學選修第三冊第八章《成對數據的統計分析》的知識，采用數學建模實踐活動的方式，利用問卷星軟件收集本校高中生身高、體重、鞋碼的數據，運用Excel軟件中的功能，繪制散點圖、擬合函數、計算決定系數R2，從而建立適當的函數模型解決實際問題：根據身高或體重預測本班學生的鞋號。

活動形式：校本課程“數學建模研究學習與實踐”。

參與人員：指導教師；校本課程中報名調查小組的同學。

建議課時：3課時。第1課時通過組內討論確定選題，明確所需的數據，明確分工任務，探討研究的可行性，撰寫開題計劃；第2課時，編輯問卷，利用問卷星發放問卷，初步整理數據；第3課時，利用Excel軟件處理數據，繪制散點圖、擬合函數、計算決定系數R2，從而建立適當的函數模型，預測數據檢驗函數模型，并在第3課時課后完善研究報告。

2.內容解析

數學建模是運用數學知識解決現實問題的一種方式，本調查小組選擇人的身高、體重、鞋號之間的關系這個在生活中與自身息息相關的問題進行研究。

提出問題：鞋和我們的生活息息相關，那么，鞋碼和我們的身高存在著什么樣的關系？它們之間的關系是不是存著數學關系呢？人的身高和體重是否存在著一定的關系？這個關系可以量化嗎？

由于個人腳長與體重主要由身高決定，所以可以選身高作為自變量，腳長不好測量，于是由鞋號來衡量。鞋號與性別也有一定的關系，所以需要分組研究。

收集數據：確定好研究變量后收集本校高二年級學生的身高、體重、鞋號的數據，為確保數據的平衡性，決定收集男生、女生的數據各110份，去除極端數據后，各有100份數據供小組成員分析。

數據分析：利用Excel軟件繪制散點圖，去除殘差較大的異常點，通過散點圖猜想數據擬合的函數，分別嘗試Excel軟件中提供的函數模型，結合Excel軟件計算出的決定系數R2分析函數的擬合程度，體會不同函數的擬合效果，選擇最優的函數模型。

模型應用：研究的最終目標是可以為本班學生購買鞋子提供尺碼的數據支持。

● 教學目標和目標解析

1.活動目的與意義

運用所學知識解決實際生活中的問題，發現情境中的數學關系，運用學習過的知識，合理運用信息技術進行數據分析，創造性地建立函數模型，并把模型應用到實踐中。從實踐中檢驗如何改進對數據的處理，使所建立的函數模型預測更精準，具有實際應用意義。小組成員通過分組、合作等形式，根據方案的時間安排有序地展開活動，體驗實踐的完整過程，并在每次實踐后，總結分析數據，合理去除異常點，利用決定系數R2，綜合考慮各種因素的影響，最終選擇最適合的函數模型，并用實際數據檢驗分析模型的滿意度。

2.活動知識目標

①了解一元線性回歸模型的含義，理解兩個變量之間隨機關系的一元線性回歸模型的作用與意義；了解殘差在線性回歸與非線性回歸問題中的作用及意義；了解一元線性回歸模型參數；會結合題意求一元線性回歸方程；會用決定指數R2分析模型擬合的效果情況。

②體會數學的應用價值，培養運用圖像、數學符號表達題意，應用轉化思想解決數學問題的能力。

③通過對現實情境問題的分析，收集有效數據，運用信息技術自主建立函數模型，分析函數擬合程度，選擇最優的函數模型。培養分析解決問題、動手實踐、運用信息技術處理數據、誤差分析等方面的能力。

3.數學學科素養

①數學抽象：從實際情境中抽象出一般規律。

②邏輯推理：將實際問題轉化為數學問題，分清已知條件與所求問題，逐步求解問題的答案。

③數學運算：利用公式及Excel軟件計算數據，分析數據。

④數學建模：整理實際數據，繪制散點圖，數形結合，選擇趨勢線，通過決定系數R2分析函數的擬合程度，選擇最優函數，從而進行數據預測。

4.信息技術素養

①信息意識：通過實際收集數據、分析數據提升信息敏感度和對信息價值的判斷力，能根據需要解決問題的需要，自覺、主動地尋求恰當方式獲取與處理信息；通過函數的擬合效果分析，采用有效策略對信息內容準確性、指向性做出合理判斷，合理刪除極端數據，對信息可能產生的影響進行預期分析，為解決問題提供參考；在合作解決問題過程中，能與團隊成員共享信息，實現信息最大價值。

②計算思維：應用Excel軟件處理數據、抽象特征、建立函數模型、合理組織數據；通過判斷、分析與綜合各種信息資源，運用合理算法形成解決問題方案；總結利用計算機解決問題過程與方法，并遷移到與之相關其他問題解決之中。

③數字化學習與創新：在實際分析、處理數據的過程中培養有效地管理學習資源，創造性地解決問題，從而完成學習任務的能力，提升形成創新作品的能力，適應數字化學習環境，養成相應學習習慣；掌握數字化學習系統、學習資源與學習工具功能和用法，并用來開展自主學習，協作完成任務。

④信息社會責任：在思考、辨析、解決問題的過程中，逐漸形成正向、理性的信息社會責任感。

● 教學重難點

教學重點：將實際問題轉化為數學問題，利用信息技術處理數據，選擇和建立合適的函數模型，并應用建立的模型解決實際問題。

教學難點：一是學生缺乏完整的數學建模活動經歷，沒有頭緒，因此指導教師要做好方法指導，設計活動記錄表完成活動日志，引導學生順利開展數學建模實踐活動。首先是在選題階段，應該鼓勵學生自主選題，選擇自己興趣最高、自信最強的課題；其次是指導教師要給予充足的參考素材，其中歷屆學姐、學長做過的成功案例的報告就是最好的材料，學生們可以感受到這個選題是自己切實可以完成的，從而增加信心。在此基礎上，指導教師再指導學生怎樣選題，引導學生從生活中發現問題、提出問題。二是函數模型的選擇，學生數據分析能力有限，合理應用Excel軟件可有效幫助學生處理數據，對擬合效果進行評價。

● 教學過程設計

1.課前準備工作

（1）了解數學建模活動

活動預熱：教師為學生提供學姐學長做過的成功案例報告，學生通過自主閱讀，了解數學建模的簡單步驟，再開展圓桌討論，初步選定研究方向。

設計意圖：通過閱讀可以提高自主研讀的能力，并且通過對同年齡學生的數學建模論文閱讀，可以起到激勵作用，增強自己寫數學建模論文的信念。研究討論的過程使學生敢于堅持真理、敢于修正錯誤的科學精神得到弘揚。

（2）知識儲備

學習Excel軟件中與本節課有關的數據處理功能—排序、文本更改為數值、畫散點圖、模擬趨勢線公式、求決定系數R2等，了解統計的常識，如決定系數R2的大小與擬合效果的關系。

（3）確定選題

研讀教材，對教材中提供的例題進行分析，在生活中尋找相應的且可以獨立完成的研究課題。

2.第1課時：研讀教材確定選題

師：生活中有很多變量有相關關系，本次活動我們就來研究一個這樣的問題。

環節1：研讀教材。

先自主閱讀教材，再由指導教師對重點內容重點講解，分析教材中例題的內容，分析解決問題的基本方法。

環節2：明確選題。

師：同學們提出鞋號是現實生活中和自身息息相關的一個問題，大家都知道身高、體重會對腳長有影響，本小組就可以收集數據，用數學的方法分析一下其中的關系，并且最終可以通過身高、鞋號去預測腳長。

結論：腳長不便于測量，各自也不一定清楚自己的腳長，因此統計鞋號是一個比較適合的方式。同時，性別對鞋號也有影響，一般來說，男生的鞋號要比女生的鞋號大。所以，最終確定收集100名男生、100名女生的身高、體重、鞋號的數據來進行分析。

設計意圖：小組研討的方式營造出的是師生平等、自主研討、民主學術的氣氛，開放式的研討方式，為學生的創新思維提供了廣闊的天地。

3.第2課時：編輯問卷，利用問卷星發放問卷，初步整理數據

環節3：編輯問卷。

發放問卷的方式可以采用紙質問卷，也可以利用問卷星發放。由于收集的數據數量較大，如果采用紙質的問卷錄入數據到電腦中比較浪費時間，同學們提議采用問卷星來發放問卷。由于可能有異常數據，所以男、女生各收集100份以上的數據。

環節4：整理數據。

在收集好分卷后，整理數據，在Excel軟件中，整理數據格式，對填寫不規范的數據進行修改，初步去除異常數據，將數據都設置成“數值”，以便進行進一步的散點圖繪制。

設計意圖：通過問卷調查，讓學生經歷數據收集、整理、分析的過程，增強學生的動手能力，培養學生數據分析素養、信息意識素養。

4.第3課時：處理數據并建立適當的函數模型，預測數據檢驗函數模型

環節5：繪制散點圖、選擇函數模型。

應用Excel軟件的功能繪制散點圖，通過散點圖猜想數據擬合的函數，通過Excel軟件計算出函數解析式和決定系數R2，嘗試線性模型、指數模型、對數模型、冪函數模型等，最終選擇最適合的函數模型。

學生可能面對的困難：不了解可以應用這么多種函數，不清楚應該去除哪些異常點。

破解辦法：應用Excel軟件中提供的線性模型、指數模型、對數模型、冪函數模型與擬合函數（如圖1），學生無需進行大量的計算，就可以快速、直觀地看出哪個函數最適合。

圖1

設計意圖：函數模型的選擇是數學建模過程中的重要環節，哪個模型更貼合實際，哪個模型更便于高中生理解，學生在選擇模型、優化模型的過程中，能夠不斷提升數學建模能力。而借助信息技術，可以避免反復計算，在模型選擇中起到了很好的輔助作用。

環節6：檢驗函數模型。

用建立的函數模型求出收集數據的預測值，并與實際值進行對比。

學生可能面對的困難：不清楚檢驗函數模型的具體操作方法和步驟，對參考標準不明確。

破解辦法：當兩個變量間存在相同或相反的變化趨勢時，就可以用線性模型描述，但這種關系受其他許多因素的影響，這些影響因素會產生隨機誤差。

對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的y^稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差，殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析。通過殘差發現原始數據中的異常數據，判斷建立模型的擬合效果。為了提升擬合效果，在去除這些異常數據時，要結合散點圖，通過圖像分析哪個點偏離的程度最大，去掉殘差最大的那些點，但在觀察圖像時，只能去除掉殘差非常大的點。為了提升擬合效果，在去除異常點時，可以借助Excel軟件中計算出的決定系數R2，更清晰直觀地觀察出模型擬合精確度的變化。

設計意圖：合理應用Excel軟件可以大大地減少計算量，快速精準地繪制圖像，提升殘差分析的速度，提升函數選擇的速度，提高統計工作中實際操作的效率。

環節7：應用函數模型。

師生共同探討分析身高與鞋碼的關系、體重與鞋碼的關系，可以解決哪些生活中的問題？

預設答案：在為親人或朋友購買新鞋時，可以輔助分析鞋是否合腳；班集體網購演出鞋為鞋碼提供數據支撐。

學生可能出現的思考：在購買新鞋時，統計分析出的數據能不能作為唯一的鞋碼依據。

解決辦法：可以翻閱教材在之后的統計知識中尋找答案，上網查閱相關文獻，更深入地分析問題。

學生可能面對的問題：根據活動得出的預測數據和實際值存在偏差，在實際應用中效果不佳，學生比較困惑做統計分析的意義。

破解辦法：教師引導學生進一步查閱相關文獻，以問題為驅動，促使學生更深入地探究學習。教師搜集統計學史上學者、科學家做出過的實際應用意義較強的統計案例（如“均值回歸”理論）供學生閱讀，讓學生體會到學習統計的意義。

研究的拓展：學生隨著教材知識的學習，可以再應用列聯表進行獨立性檢驗，從多個角度分析本次活動所收集的數據，同時可以再次嘗試運用Excel等軟件輔助分析。

設計意圖：數學源于生活，應用于生活，學生在應用知識時，鞏固所學的知識，并構建知識網絡。同時，在實際應用中產生的問題與思考，可以培養學生的批判性思維，同時激發學生進行深入研究的興趣，從而產生學習的內驅動力。

5.課后作業：撰寫結題報告，交流評價

在教師的指導下，學生利用假期時間完成規范、有邏輯的研究報告，其中主要包括選題背景、活動目標、工具材料、數學模型、約束條件、求解和完善模型實施過程、檢驗結果、實際結果、活動總結（提出的建議）、心得體會。

教師意見：撰寫數學建模報告對學生是一項全新的挑戰，學生通常不知從何開始。建議在活動研究過程中做活動日志，除日期等常規信息外，記錄每次的研究目標、研究過程、組員發言、研究成果等，最后對活動日志加以提煉形成結題報告。在開始撰寫前，學生可以閱讀學姐學長的報告，掌握整體框架。在報告初步成形后，教師給出具體的修改意見，幫助學生以精簡、嚴謹的語言完成報告。

評價建議：本次活動主要采用自評、互評、師評等多種評價相結合的評價機制。前期、后期兩次評價，主要從學生活動興趣、知識儲備、活動自信、核心素養水平、學生能力五個維度開展調查。對在活動中表現出的活動策劃、模型分析、動手操作、搜集資料、活動態度、組織合作、創新發現、活動成果等方面的素質素養，進行激勵式客觀測評。

設計意圖：撰寫報告的過程可以凝練學生的研究成果，使數學建模活動的內容具象化，是鍛煉學生綜合能力的絕佳機會。學生的評價要以鼓勵為主，多發現學生的閃光點，結合活動過程中各方面的成長，為每一名學生給出切合實際、有利于今后發展的評語。

● 研究成果及應用

1.男生身高與鞋碼的關系

擬合度最高的函數為線性函數和對數函數，結合計算難度，小組成員最終選擇線性函數模型^y=0.1827x+10.773，R2=0.4983，說明身高的變化解釋了49.83%的鞋號的變化（如圖2a）。經過預測，身高165cm的男生鞋號為41號，與實際情況比較符合。

2.男生體重與鞋碼的關系

y^=0.0299x+38.123，R2=0.2113，說明體重的變化解釋了21.33%的鞋號的變化（如圖2b），可見身高比體重對鞋碼的影響大。

圖2

3.女生身高與鞋碼的關系

y^=0.1048x+20.409，R2=0.3251，說明身高的變化解釋了32.51%的鞋號的變化（如圖3a）。經過預測，身高165cm的女生鞋碼為38號，與實際情況比較符合，而且可見不同性別相同身高的鞋碼不同。

圖3

4.女生體重與鞋碼的關系

y^=0.424x+33.027，R2=0.2259，說明體重的變化解釋了22.59%的鞋號的變化（如圖3b）。

學生通過這次數學建模活動，積累了活動經驗，認識了刻畫現實世界規律的不同函數模型，了解了各模型的特征，并且知道了這些不同的模型都刻畫了哪些現實規律，構建了更完整的知識網絡，為后續的數學建模活動奠定了研究基礎。在實際操作中，學生將問卷星、Excel等軟件合理地運用到研究中，極大地提升了研究的速度和精準度。經歷此次數學建模活動，可以提升學生的核心素養，如數學抽象素養（從現實問題中抽象出數學問題）、數據分析素養（用Excel軟件分析、整理數據）、數學建模素養（選擇、檢驗、優化函數模型）、直觀想象素養（借助圖形來描述和分析問題）。面對真實的問題，將學生的創新能力和教師的已有經驗相結合，高效地完成了男生女生的身高、體重與鞋碼的關系問題。