實施解決問題策略教學，提高學生解決問題能力

王開興

（福建省莆田市涵江區江口豐山小學，福建 莆田351117）

小學第一到第三學段的數學學習都有解決問題教學，其貫穿于各個知識點中，能結合各個知識點設置問題來考查學生。由于解決問題具有條件復雜、題干較長、對抽象思維要求高等特點，學生都對其心生畏懼，其也成為學生數學學習路上名副其實的“攔路虎”。以人教版為例，教材是以基于知識點的螺旋上升、豐富發展為編排思路，而非根據具體題型來編排教學內容，因而沒有專門的解決問題教學單元，這不利于幫助學生系統地建構解決問題的方法策略。筆者學習觀摩了蘇教版的小學數學教材，其中3 年級上冊到6 年級下冊每冊教材都編排有一個專門的“解決問題的策略”教學單元，每個單元有一個主題策略，逐層深入地講授了體現解決問題一般規律和問題本質的若干典型策略，這給筆者的解決問題教學以深深的啟發，那就是要將解決問題的典型、實用、結構性策略滲透到解決問題的例題、習題講解中去，幫助學生建構起豐富、靈活、有效的解決問題策略模型，最終舉一反三、觸類旁通地解決好常見的數學解決問題。

一、指向審題能力的“條件—問題”策略

在解決問題中，審題是至關重要的一環，由于審題不清導致的錯誤在解決問題錯誤中占據著較大的比例。因此，指向審題的解決問題策略是每個學生必須具備的解決問題能力和素養。在解決問題的審題中，由條件及問題，是最基本同時也是最重要的策略，這是由于，條件對問題產生著決定性影響，而條件的改變直接導致解決問題方法的改變，所以抓住解決問題題干中的顯性條件和隱性條件，分析重要的數量關系，思考解決問題的方法和步驟，借助邏輯思維將抽象的數學語言轉化為數學符號語言，從而實現解決問題的順利解題。

以人教版三年級上冊第三單元練習七的第7 題為例，題目如下（圖略）：

28 人去劃船。小船限坐4 人，大船限坐6 人。

1.如果每條船都坐滿，可以怎樣租船？

2.如果租一條大船50 元，租一條小船40 元，哪種租船方案更省錢？

在1 的解答中，學生由于缺乏嚴密的數學邏輯思維，很難用到窮舉的思維來分析條件——每條船都坐滿，即不能有剩余，既可以只租大船或小船，也可以同時租小船和大船，這就需要用到分類討論。教師啟發學生：有哪幾種可能，讓28 人剛好坐滿？我們不妨就以小船為例。

小船0 條，則都為大船，28 不是6 的倍數，不符合坐滿的條件；小船1 條（4人），則大船4 條（24 人），符合；小船2 條（8 人），剩余20 人，非6 的倍數，不符合；小船3 條（12 人），剩余16 人，非6 的倍數，不符合；小船4 條（16），剩余12 人，大船2 條，符合；小船5 條、6 條都不符合；小船7 條，每船4 人，剛好坐滿。因此，符合要求的情況一共有三種，分別是小船1條，大船4 條；小船4 條，大船2 條；小船7 條。

解決了問題1，問題2 的解決也就水到渠成了，學生可以分別算出三種情況下個需要多少租船費用。第一種（小船1 條，大船4 條）：40+50+50+50+50=240（元）；第二種（小船4 條，大船2 條）：40+40+40+40+50+50=260（元）；第三種類（小船7 條）：40+40+40+40+40+40+40+40=280（元）。所以第一種方案小船1 條，大船4 條的方案最省錢。

縱觀這一解決問題，“坐滿”這一條件隱藏著豐富的信息，也對整個租船的方案產生著決定性的影響。學生要能抓住解決問題題干中的核心條件來挖掘信息，運用抽象思維和邏輯思維來分析問題，做到綜合、全面分析問題，不遺漏符合條件的問題情形。因此，基于“條件—問題”的解決問題策略，讓學生具有良好的認真審題意識、邏輯思維品質，從條件中發現隱藏的信息并探尋解決問題的有效途徑，這是第一、二學段需要著重強調和培養的解決問題能力。

二、指向直觀表達的“圖畫—列表”策略

小學生的思維以形象思維為主，對抽象的數學解決問題難以直觀理解，這就需要化抽象為直觀，化復雜的數學語言為直觀的符號語言，幫助學生更好地獲得解決問題的思路。數形結合作為一種重要的數學思維方法，在解決問題中體現為“圖畫—列表”策略，即引導學生在解決問題過程中，用圖示法，借助畫圖和列表來分析數學問題，讓復雜的條件變得直觀。

首先是列表策略。列表整理條件和問題，能夠讓解決問題解題過程直觀清晰，幫助學生理清思路，更好地解答問題。列表策略在各個階段、各種題型中具有廣泛的使用價值。如四年級上冊“三位數乘兩位數”的解決問題：張大爺家的農場養了雞、鴨、鵝三種家禽，雞的數量為50 只，鴨的數量為78 只頭，鵝的數量為66 只，雞的價格為110 元每只，鴨的價格為122元每只，鵝的價格為145 元每只。問：雞、鴨、鵝分別賣多少錢？雞鴨鵝一共能賣多少錢？學生在解答過程中，關鍵的是找到對應的數量關系，不張冠李戴。教師可以讓教授學生列表進行分類統計（如下表所示），增強解題過程的條理性和思路的清晰度，避免因對應錯誤引起的計算失誤。這是一種良好的解決問題習慣以及實用的解決問題技巧。

品種 雞 鴨 鵝數量（只） 50 78 66單價（元） 110 122 145售價（元） 5500 9516 9570總價（元） 5500+9516+9570=24586

其次是畫圖策略。畫圖策略是基于數形結合的思想來解決問題，同樣可以達到化抽象為直觀的作用，在解決問題中用簡單的數學符號，如圓圈、五角星、線段、三角形甚至不規則圖形來代替解決問題中的相關事物以及問題中的數量關系，從而增加思維的直觀度。如在解決五年級上冊數學廣角的“植樹問題”及其同數學模型的解決問題時，就可以用畫圖來體現數量、間距、長度之間的關系，十分直觀；在“雞兔同籠”相關問題中，用畫圖的解決問題方法，能讓學生的思維從混沌狀態變得清晰和有序，這對學生解決問題的條理化、清晰化十分重要。

三、指向轉換思路的“替換—轉化”策略

小學數學中的解決問題成千上萬，題型卻只有數十個，關鍵是要能夠通過所學習的一個個例子，找到舉一反三、觸類旁通的方法。進而在解決問題時具有敏銳的思維與頭腦，能夠將陌生的、位置的題型，轉化和替換成自己熟悉的、善做的問題，在思維的轉化中達到“柳暗花明又一村”的開闊境界。

一是替換的策略。這種策略較適用于解決“條件關系復雜、沒有直接方法可解”的問題，它是“用一種相等的數值、數量、關系、方法、思路去替代變換另一種數值、數量、關系、方法、思路從而解決問題”的一種策略。如解決問題：育才小學買了3個籃球和8 個皮球，正好用去92 元，籃球的單價是皮球的5 倍，那么每個皮球和每個籃球各是多少元？解決這一問題，就用到替換的解題策略，利用籃球的單價是皮球的5 倍這一數量關系進行求解。皮球價格為：92÷（3×5+8）=4（元），籃球的價格為4×5=20（元）。基于數量關系，運用替換策略，讓解決問題簡單化。

二是轉化的策略。這種策略主要適用于解決“能把數學問題轉化為已經解決或比較容易解決的問題”的問題，它是“通過把復雜問題變成簡單問題、把新穎問題變成已經解決的問題”的一種策略。轉化策略的本質是模型化思想，這在小學數學教學中有著十分廣泛的運用空間。如解決問題：惠民超市五周年店慶開展優惠大酬賓活動，凡消費滿50 元可以獲得一抽獎機會。共設置60 個中獎名額，總獎金為10000 元，其中一等獎獎金300 元，二等獎獎金100 元，問一等獎和二等獎各有多個？這個解決問題比較新鮮，學生剛接觸問題時常常習慣性地將其看作新題，實際上這正是數學廣角——“雞兔同籠”的同一個模型。而“雞兔同籠”問題是學生很熟悉的問題模型，將中獎問題和這一問題進行轉化，就實現了新問題變成舊問題、已解決問題。解決過程就水到渠成了，用假設法進行求解：假設都為一等獎，則總獎金為60×300=18000 元，多出8000 元；每個一等獎比二等獎多300-100=200元，所以二等獎個數為8000÷200=40 個；一等獎為20 個。這就與“雞兔同籠”問題的解法一致了。

四、指向發散思維的“倒推—假設”策略

思維的發散性對學生解決問題的能力影響顯著。在小學數學的解決問題中，要打破傳統的單向的、定式的思維模式，通過逆向思維和發散思維，來增強思維的靈活性，從而在解決問題過程中獲得全新的視角與思路。

首先是基于倒推的解決問題策略。所謂“倒推”，就是借助逆向思維，倒過來想問題。在解題過程中，學生會遇到這樣一類問題，用正常的順勢思維很難找到問題的突破口，但是從結果——條件進行倒推，反而能獲得新的思路。如五年級下冊的解決問題：甲乙兩杯果汁共400 毫升，甲杯倒入乙杯40 毫升后，現在兩杯果汁同樣多，問：原來兩杯果汁各有多少毫升？在解決這一問題時，如果按照條件的先后來求解，學生很難找到思路，這時，教師啟發學生從“兩杯果汁同樣多”著手思考——“最后甲乙各有多少？”（400÷2=200 毫升）“那么原來甲有多少？”（200+40=240 毫升）“原來乙杯有多少？”（200-40=160 毫升）這樣從問題結果到條件進行逆推，順利地解決了問題。通過例題的講解和分析，教師要教育學生敢于打破定式思維，將正向思維與逆向思維結合起來思考問題，順利地找到解決問題的方法。

其次是基于假設的解決問題策略。假設，是在不影響題意和改變結果的情況下，對問題中的條件要素進行假定來找到數量關系與解題方法的解決問題策略，“等量代換”是假設策略的核心思想。以四年級下冊數學廣角的“雞兔同籠”例題（籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有頭8個，從下面數，有26 只腳。求雞和兔各有幾只？）為例，此時學生還沒有接觸方程，不能通過設未知數來快速求解，而借助假設與推理，將兩個未知數轉化為一個未知數，則能找到解決問題的思路：假設都是雞，則有16 只腳，多了26-16=10 只腳；而一只兔子比一只雞多2 只腳，所以兔子的只數是10÷2=5 只，則雞為只。同理，教師也可以讓學生假設都為兔子，同樣能解決問題。通過假設進行推理，能獲得解決問題的思路。解決問題的賦值假設同樣有助于學生解決問題，如行程問題、工程問題中，可以將行程、工程總量進行賦值。如問題：加工一批零件，甲單獨完成需要10 天，乙單獨完成需要12 天，兩人合作完成需要多少天？通過假設零件的總數（任意）為120 個，則甲每天做12 個，乙每天做10 個；那么兩人合作完成需要的時 間 為 120 ÷（12+10）=60/11 ≈5.45（天），這與傳統算法1÷（1/10+1/12）的答案是一致的，理解起來卻十分簡單。所謂“不管黑貓白貓，能抓老鼠的就是好貓。”解決問題的方法也可以有多個。通過上述假設策略的運用，讓原本復雜的數量關系和解題過程變得十分簡單，也未嘗不可取。

五、結語

總之，對于小學數學的解決問題而言，題目是五花八門、變化無窮的，是做不完的，這就需要透過現象找到解決問題的本質。正所謂“教學有法，但無定法，貴在得法”，要讓學生“得法”，就必須做到“授之以漁”，這個“漁”，就是解決問題的策略。只要學生掌握了解決問題的一般性策略，就能做到以不變應萬變，在頭腦中抽象出各種各類解決問題的模型，能夠見到題時形成條件反射，以對應的解題策略來又快又好地解決問題。因此，小學數學教學，要系統性地講授解決問題的策略，讓學生掌握條件分析、畫圖、列表、列舉、轉化、假設等多種實用有效的策略，強化學生解決問題的能力。