DC-DC Boost變換器系統的復合模態振蕩分析

張 云， 王 聰， 王小榮， 張紹華， 張宏立，

(1.新疆大學 電氣工程學院，烏魯木齊 830017；2.新疆大學 工程訓練中心，烏魯木齊 830017)

非光滑動力系統廣泛存在于實際工程中，諸如由摩擦、碰撞、脈沖等因素導致的摩擦機械系統[1]、機器人系統[2]、電力電子變換器系統[3]等非光滑系統。根據向量場光滑性程度的不同，一般被分為三種：非光滑連續系統[4]；Filippov系統[5]；非光滑脈沖系統[6]。而電力電子變換器系統中的開關變化狀態會引起分段光滑現象[7]，使軌線被限制于切換流形面上，繼而產生滑動現象[8-9]。當軌線處于不同的子區域內，且與邊界發生相切、穿越時會引起系統發生復雜變化[10]。軌線與分界面接觸點的不同以及系統參數發生變化時也有可能造成軌線的滑動、轉遷、穿越等多種非線性現象[11-12]。非光滑的特性也體現在分段光滑系統中，如轉換邊界平衡點分岔，極限環擦邊[13]和滑動分岔[14]等。

本文主要探討的是分段光滑的電力電子變換器系統中由參數、外部激勵共同作用以及不同尺度耦合導致的復合模態簇發振蕩及其產生機制。復合模態簇發振蕩是一種類似于混沌的非線性行為，最早的研究始于Poincaré建立的奇異攝動方程[15]，直到Rinzel[16]搭建了兩快一慢神經元模型，并發現了神經元具有簇發放電行為后，關于非線性系統的簇發振蕩行為引起了學者們的高度關注[17-18]。隨著Rinzel快慢分析法的提出，有關簇發機理分析的研究成果開始豐富。Bao等[19]發現了莫里斯-勒卡(ML)神經元模型的簇發及其產生機制。Ma等[20]揭示了周期激勵下Jerk電路系統中由延遲分岔誘發的復雜簇發振蕩結構。Proskurkin等[21]發現了化學反應系統中的復雜簇發現象。Wei等[22]研究了參外聯合激勵下的機械系統的簇發行為，發現了一種主要由Hopf分岔與同宿分岔造成的新型復雜級聯型振蕩。張紹華等[23-24]首次研究了受外部擾動的永磁同步電動機系統中的簇發振蕩行為。Theodore等[25]研究了一種化學反應擴散方程中的多模態簇發振蕩產生機理。Baldemir等[26]發現了三維神經元模型中的一種特殊平衡狀態及其在大幅振蕩與微幅振蕩轉換時的作用。將耦合系統分解為快子、慢子系統，可以揭示激發態(spiking state)和沉寂態(quiescent state)之間的分岔轉換關系，得到簇發振蕩的產生機制[27-28]。但是當系統不存在明顯的快慢效應時，就不能直接用快慢分析法。為此,國內畢勤勝課題組拓展了該方法，將整個周期激勵項視為慢變參數，從而使得非自治系統轉換為廣義自治系統，并展開了大量的研究[29-31]。

迄今為止，對于多頻激勵下不同頻率比的分段光滑電力電子變換器系統的復合模態振蕩研究處在初始階段，因此，深入探索其振蕩及其分岔機制以及各種復雜行為，為電力電子變換器的設計提供理論基礎，可以避免這種簇發振蕩行為的產生，也為后續相關電路耦合模型的簇發研究提供了輔助模型。為此，本文以含有Washout濾波器和滑模控制器的DC-DC Boost整流器為例,通過引入交流電源，建立多尺度耦合的分段光滑模型，得到三種典型情形下簇發振蕩行為，揭示了其產生機理。主要意義是：① 分析了分段光滑電力電子變換器系統的復合模態簇發振蕩及其產生機制；② 探究了多時間尺度耦合的參、外聯合激勵共同作用下復合模態振蕩行為對電力電子變換器系統的影響機理。

1 數學模型

電力電子變換器系統中的非光滑現象往往是因為系統中存在的開關切換控制所導致，如Cristiano等[32]建立了如圖1所示的含有Washout濾波器和滑模控制器的DC-DC Boost整流器電路系統，得到系統的三維分段光滑Filippov數學模型為

(a) DC-DC Boost變換器

(b) Washout濾波器

(c) 滑模控制器圖1 DC-DC Boost整流器電路系統Fig.1 DC-DC Boost rectifier circuit system

(1)

式中:R為電阻;L為電感;C為電容;iL為電感電流;vC為電容電壓;Vref為參考電壓;zF為電感電流iL經過Washout濾波器導致的系統新變量;Vin為輸入電壓源;rL為電感電阻;ωF為濾波器的截止頻率。

滑模控制器的控制律定義為

u=[1+sign(H)]/2

(2)

當u=1時，代表圖1(a)中的開關S關閉，當u=0時，表示開關S打開。

引入標準化變量為

表1 標準化新參數、狀態與時間變量Tab.1 Normalized new variables, parameters and time

則式(1)系統可轉化為無量綱的分段光滑Filippov模型(便于計算，以t代表無量綱時間τ)

(3)

為了研究變換器在遭受內部、外部擾動共同影響作用下系統的簇發振蕩行為，在系統(3)的基礎上，同時引入參數激勵和外部周期激勵，得新三維分段光滑Filippov系統

(4)

2 理論分析

選取系統(4)中的參數激勵頻率、外部激勵頻率均遠小于系統的固有頻率，便可將激勵項中的cos(ωiτ)(i=1,2)定義為慢變量，則系統中就包含了兩個不同的慢變量。若存在一個函數ω(τ)能分別表示它們，即cos(ω1τ)=f1(ω(τ))，cos(ω2τ)=f2(ω(τ))系統即轉化為只含有一個慢變量ω(τ)的快慢系統F(x,y,f(ω(τ)))。因此，Han等[33]利用了Moivre公式，使系統轉變為只含有1個基本慢變參數ω的快慢系統，使得傳統的快慢分析方法仍可用來分析系統的復合模態振蕩產生機理。

根據式(4)建立的系統模型，將廣義自治系統的平衡點定義為E±(xi0,yi0,zi0)，其中

yi0=φxi0/a

(5)

zi0=(xi0(u-kb)+f2(ω)(φxi0/a)+k)/φ

(6)

不難得到，xi0滿足

1-bxi0-u(φxi0/a)+(φxi0/a)3+f1(ω)=0

(7)

其穩定性由如下特征方程表示

P(λ)=λ3+Δ1λ2+Δ2λ+Δ3=0

(8)

其中

Δ1=(a+b)-φ

(9)

(10)

(11)

根據Routh-Hurwitz準則可知，當滿足條件Δ1>0，Δ1Δ2-Δ3>0，Δ3>0時，E±為穩定的平衡點，從而導致兩種可能的余維-1分岔失穩模式，當參數滿足

(12)

且Δ1>0，Δ1Δ2-Δ3>0，此時出現單零及兩負實部特征值，會出現Fold分岔，導致平衡點跳躍現象，而當參數滿足

HB:Δ1Δ2-Δ3=0

(13)

為了研究系統的動力學行為，取定系統(3)中參數a=1，b=1，k=3，c=3，以新參數φ作為分岔參數，繪制系統的單參數分岔圖。如圖2(a)所示，隨φ值不斷減小系統由混沌狀態(φ∈[-5.2,-3.4])變化為倍周期分岔狀態(φ∈[-6.5,-5.2])，由多倍周期分岔繼而轉變為單倍周期分岔(φ∈[-10,-6.5])，系統進入穩定運動狀態，由圖中的局部放大圖也可以看出，系統經歷混沌運動狀態、倍周期分岔狀態、穩定運行狀態等交替變化的復雜運動過程。

(a) 系統隨新參數φ變化分岔圖

(b) 系統隨新參數b變化分岔圖圖2 單參數分岔圖Fig.2 Single parameter bifurcation diagram

如圖2(b)所示，以新參數b為變量的系統單參數分岔圖表明，隨著參數b不斷減小，系統由混沌運動狀態(b∈[-0.02,0.32])變化為穩定的周期運動狀態(b∈[-0.35,-0.03])，由穩定狀態轉變為倍周期分岔運動狀態(b∈[-0.65,-0.39])，并且由局部放大圖中可以證實，此時倍周期運動狀態與混沌運動轉態疊加。隨著參數b的值再次減小系統轉變為更加復雜的混沌狀態。從這兩個系統單參數分岔圖中，我們可以明顯看出此系統具有豐富的動力學行為。

為了更全面地分析系統參數對系統動力學行為的影響，保持其他參數不變，系統的雙參數分岔圖和復雜度譜熵圖如圖3所示，圖3(a)表示b和k為分岔參數的雙參數分岔圖，黑色表示系統處于混沌運動狀態，其他顏色表示系統處于周期運動狀態或倍周期運動狀態。圖3(a)中紅色、粉紅色、紫色以及黑色區域面積相對較大，表明系統處于單倍周期、二倍周期、四倍周期狀態以及混沌狀態動力學行為較為豐富，同時不同周期分岔行為也表現出不同的周期窗口。

(a) 雙參數分岔圖

(b) 復雜度譜熵圖圖3 雙參數分岔圖和復雜度譜熵圖Fig.3 Two parameters bifurcation diagram and complexity spectral entropy map

圖3(b)所示的復雜度譜熵圖中，用不同顏色來表示系統的復雜程度，其中具有較大值的青藍色表示系統處于混沌運動狀態，其他相對較小的值表示系統處于周期性運動狀態。對比圖3(a)、圖3(b)發現，當k值取0附近時，隨參數b的改變，系統一直處于混沌運動狀態。另外，圖3表明，隨兩參數的改變，系統表現出了豐富的動力學行為。

為了進一步討論共振條件下系統的動力學行為，取定系統(4)中參數為：a=1，b=1，φ=-5，k=3，A1=8，A2=8，并利用Moivre公式將兩個慢變量轉化為一個基本慢變量ω表示，其中ω=cos 0.01t。表2給出了ω1∶ω2=1∶1，1∶2，2∶2時三種典型情形下的f1(ω)和f2(ω)的表達式。

表2 三種典型情形下的f1(ω)和f2(ω)表達式Tab.2 f1(ω) and f2(ω) expressions under two typical case

值得說明的是，雖然情形一與情形三的系統參外激勵頻率比值均為ω1∶ω2=1∶1，但情形一的參數激勵、外部激勵均為奇數值；情形二的參數激勵、外部激勵值均為偶數值，所以兩種情形產生的復合模態振蕩結構則完全不同。

(a) ω1∶ω2=1∶1時平衡曲線

(b) ω1∶ω2=1∶2時平衡曲線

(c) ω1∶ω2=2∶2時平衡曲線圖4 系統平衡曲線Fig.4 System equilibrium branches

通過對比三種情形下系統的平衡曲線發現，雖然參數激勵和外部激勵的頻率比有所改變，但是DC-DC Boost系統均包含E+和E-兩條平衡曲線，發生改變的是系統中分岔點數目以及平衡曲線的結構。前兩種情形下的平衡曲線雖然結構相似，但系統的分岔點數目不同，分布情況也不相同。相比于圖4(a)和圖4(b)，圖4(c)的平衡曲線結構更加特殊，系統表現出對稱性，且平衡曲線穿插分界線的次數更多，表現出的系統動力學行為也更加豐富。

3 嚴格共振條件下的簇發振蕩

3.1 情形一

嚴格共振條件下的簇發振蕩，即系統參外激勵的頻率比為整數比的情況下。取外部激勵和參數激勵為ω1=ω2=0.01，此時的頻率比為ω1∶ω2=1∶1。圖5給出了DC-DC Boost變換器系統在參外聯合激勵下的時間歷程圖、空間相圖、轉換相圖、以及系統平衡曲線與轉換相圖的疊加圖。

(a) 時間歷程圖

(b) 空間相圖

(c) 轉換相圖

(d) 平衡曲線與轉換相圖的疊加圖圖5 ω1∶ω2=1∶1時的簇發振蕩Fig.5 Bursting oscillations for ω1∶ω2=1∶1

變換器系統的電容電壓y的時間歷程圖如圖(5)所示，可以看出系統發生了周期性的簇發振蕩，變換器系統在激發態與沉寂態之間來回變換，對應于圖中的SPi(i=1,2,3,4,5,6)和QSi(i=1,2,3,4,5,6)，其振蕩周期也與ω完全一致，即T=2π/Ω。由圖5(b)的空間相圖也可知系統發生了簇發振蕩，系統軌線圍繞著廣義自治系統的EF1±,EF2+,EF3+,EF4±這6個焦點來回振蕩，形成了六個渦卷的復合模態振蕩。

為了便于分析這一簇發機制的產生機理，圖5(c)、圖5(d)給出了系統的轉換相圖和平衡曲線與轉換相圖的疊加圖。由圖5(c)可以看出，系統被分界面Σ劃分，系統軌跡分別存在于兩子區域D±之中。隨慢變參數ω的數值發生改變，兩軌線都存在由不穩定平衡曲線向穩定平衡曲線靠近的趨勢，經過分岔點時都產生跳躍現象。

需要強調的是，在此情形下軌線兩次穿越分界面的性質不同，在ω由負變正的過程中，是由D+子區域平衡曲線的光滑Fold分岔點引起的，而在ω值由正變負的過程中，是由軌線到達系統平衡曲線與分界面交點時產生的非光滑Fold分岔點引起的，這些可以從軌線的簇發跳躍過程得到證實。最終DC-DC Boost變換器系統產生了六渦卷非對稱式光滑Fold-非光滑Fold型復合模態簇發振蕩。

3.2 情形二

取外部激勵和參數激勵為ω1=0.01，ω1=0.02此時的頻率比為ω1∶ω2=1∶2，兩個慢變量仍用基本慢變量表示，即cos 0.01t=ω，cos 0.02t=2ω2-1，代入系統(4)中。且相較于情形一，情形二兩激勵的頻率比為奇數比偶數，則產生的復合模態簇發振蕩結構與之完全不相同。變換器系統時間歷程圖如圖6(a)所示，在一個周期中，包含4個激發態和4個沉寂態。圖6(b)為空間相圖，系統軌線圍繞EF1+，EF2+，EF3±這4個焦點來回振蕩跳躍，形成了四渦卷的簇發現象。

(a) 時間歷程圖

(b) 空間相圖

(c) 轉換相圖

(d) 平衡曲線與轉換相圖的疊加圖圖6 ω1∶ω2=1∶2時的簇發振蕩Fig.6 Bursting oscillations for ω1∶ω2=1∶2

由圖6的系統平衡曲線可知，隨參外激勵頻率的變化，快子系統會表現出復雜的分岔現象和多種平衡態，此時系統的簇發現象會更復雜。圖6(c)給出了系統的轉換相圖，同樣的系統被分界面Σ劃分為兩個子區域D+和D-。

3.3 情形三

取外部激勵和參數激勵為ω1=ω2=0.02，此時的頻率比仍為ω1∶ω2=1∶1，將兩個慢變量轉變為一個慢變量，即cos 0.02t=2ω2-1，cos 0.02t=2ω2-1，代入系統(4)中。相較于情形一，雖然頻率比的比值相同，但情形三兩激勵的頻率比為偶數比，則產生的復合模態簇發振蕩結構與之完全不相同。變換器系統電容電壓y的時間歷程圖如圖7(a)所示，在一個周期中，包含6個激發態和6個沉寂態。圖7(b)為空間相圖，系統軌線圍繞EF2+，EF3+，EF1,4-這3個焦點來回振蕩跳躍，形成了三渦卷的簇發現象。

(a) 時間歷程圖

(b) 空間相圖

(c) 轉換相圖

(d) 平衡曲線與轉換相圖的疊加圖圖7 ω1∶ω2=2∶2時的簇發振蕩Fig.7 Bursting oscillation for ω1∶ω2=2∶2

為了揭示該簇發現象產生的機理，圖7(c)給出了DC-DC Boost變換器系統的轉換相圖，可以看出系統軌線在D±區域內分別圍繞兩穩定平衡曲線振蕩，軌線結構是關于ω=0呈軸對稱的，隨ω值的變化，系統軌線也是完成了對稱的周期性變化，表現為六次復合模態簇發振蕩。

4 結 論

參外聯合激勵下的電力電子變換器系統在激勵頻率遠小于系統原有頻率時會存在明顯的兩時間尺度效應。對于嚴格共振的多頻激勵耦合系統，由Moivre公式便可以用一個函數代數式表達多個激勵項，將此視為慢變參數，從而建立相應的快子系統和單一慢變量的慢子系統。系統中的非光滑分界面將相空間劃分為不同子區域，通過對不同區域子系統的穩定性進行分析，結合單參數、雙參數分岔圖，得到系統不同運動狀態的參數范圍；通過復雜度譜熵圖可以驗證系統具有豐富的動力學行為。根據系統的平衡曲線，再結合轉換相圖，可以揭示不同類型的簇發振蕩產生機制。本文首次分析了DC-DC Boost變換器系統的三種典型復合模態簇發振蕩產生機理，即“六渦卷、四渦卷非對稱式光滑Fold-非光滑Fold型、周期性對稱式非光滑Fold-Fold型”簇發振蕩，為多模態耦合的電力電子變換器系統簇發振蕩分析提供了理論研究基礎。

還需指出的是，本文討論的是在系統嚴格共振情形下的簇發振蕩，而實際系統中，當變換器系統受到擾動時則表現為非嚴格共振情形，也可能產生其他的復雜非線性行為，我們將另討論這種情形。此外，電力電子變換器系統處于簇發振蕩狀態，會造成輸出電壓不穩、暫態響應能力下降等危害，后續我們也將開展對變換器系統穩定性控制方面的工作研究。