空間冗余索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合振動(dòng)特性研究

于金山， 陶建國(guó)， 王國(guó)星， 李 瀟， 王浩威

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001； 2. 北京衛(wèi)星制造廠有限公司， 北京 100094；3. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部， 北京 100094)

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，未來(lái)的深空探測(cè)、天文觀測(cè)等工程對(duì)空間結(jié)構(gòu)(如空間天線、大型 SAR衛(wèi)星等)的尺寸提出了更大的要求。受運(yùn)載火箭運(yùn)載能力的限制，目前可發(fā)射入軌的航天器的尺寸難以滿足大型空間結(jié)構(gòu)的尺寸要求，因此，需要采用在軌裝配[1]的方式對(duì)大型空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行在軌構(gòu)建，從而突破功能的限制，解決大型空間結(jié)構(gòu)的建造問(wèn)題?？紤]到航天員出艙進(jìn)行裝配作業(yè)具有很大的危險(xiǎn)性，并且難以滿足長(zhǎng)時(shí)間的工作任務(wù)要求[2]，因此需要通過(guò)操控機(jī)器人或機(jī)械臂的方式進(jìn)行無(wú)人在軌裝配。

桿支撐串聯(lián)式機(jī)械臂是目前執(zhí)行空間操作任務(wù)的主要裝備[3]，其特點(diǎn)是控制方便，但質(zhì)量較大，運(yùn)動(dòng)時(shí)具有較高的能耗。此外，當(dāng)臂桿較長(zhǎng)時(shí)，機(jī)構(gòu)的剛度會(huì)降低。而繩索作為一種柔性體，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，很容易進(jìn)行大跨度的構(gòu)建，因此在航天領(lǐng)域具有大范圍工作空間要求的環(huán)境得到了廣泛的應(yīng)用(如用于在軌服務(wù)的空間繩系機(jī)器人[4]以及用于空間抓捕作業(yè)的繩索捕獲機(jī)構(gòu)[5]等)。本文針對(duì)大型空間結(jié)構(gòu)的在軌裝配問(wèn)題，提出了索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的方案，即通過(guò)驅(qū)動(dòng)多根繩索牽引執(zhí)行器進(jìn)行在軌裝配作業(yè)，其結(jié)合了繩索驅(qū)動(dòng)的優(yōu)勢(shì)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特性，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于構(gòu)建、質(zhì)量輕、負(fù)載/質(zhì)量比大[6]等特點(diǎn)，十分契合大范圍、高速度的在軌裝配要求，因此在該領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。

由于繩索相對(duì)于剛性桿支撐結(jié)構(gòu)具有較低的剛度，因此索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作過(guò)程中易產(chǎn)生振動(dòng)，從而影響機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性和定位精度。由于大跨度索并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有低剛度和低阻尼的特性，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中更容易產(chǎn)生振動(dòng)，且該振動(dòng)如果不予以控制的話，很難在短時(shí)間內(nèi)消除。因此，開展機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性研究可以得到機(jī)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，研究結(jié)果對(duì)于抑振方法的選擇以及控制器的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。Diao等[7]針對(duì)繩索在外界激勵(lì)下，不僅會(huì)產(chǎn)生軸向振動(dòng)，也會(huì)產(chǎn)生橫向振動(dòng)這一問(wèn)題，分析了繩索的橫向振動(dòng)，并得出了繩索的橫向振動(dòng)相對(duì)于其軸向振動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)的影響可以忽略這一結(jié)論。Du等[8]考慮了繩索的動(dòng)力學(xué)特性，將其分為有限的單元，建立了一種大跨度索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上仿真分析了繩索的振動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)的定位精度的影響，但沒(méi)有對(duì)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)機(jī)理進(jìn)行深入地研究。Weber等[9]對(duì)一種平面索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，針對(duì)末端執(zhí)行器在轉(zhuǎn)動(dòng)方向的易產(chǎn)生振動(dòng)的問(wèn)題，采用了引入反作用輪的方法進(jìn)行抑振，該方法對(duì)于抑制末端執(zhí)行器在轉(zhuǎn)動(dòng)方向的振動(dòng)具有良好的效果。Jamshidifar等[10]為了降低一種冗余約束的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)，把機(jī)構(gòu)剛度最大化這一條件引入了控制策略。仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制器具有較高的魯棒性。Schmidt等[11]對(duì)一種平面索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，試驗(yàn)結(jié)果表明通過(guò)提高繩索的拉力可以增大機(jī)構(gòu)的剛度，從而降低機(jī)構(gòu)在受到干擾時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)。Heo等[12]為了提高一種八索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性，提出了一種基于頻率的變約束方法，通過(guò)調(diào)節(jié)繩索的張力來(lái)改善機(jī)構(gòu)的剛度，從而提高機(jī)構(gòu)的固有頻率。但該研究只分析了繩索的振動(dòng)頻率，沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振動(dòng)特性，因此具有一定的局限性。劉志華等[13]利用Newton-Euler方法建立了一種6自由度索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其線性化后得到系統(tǒng)的振動(dòng)方程，進(jìn)而得出各階固有頻率的分布情況，最后通過(guò)繩索受力頻譜分析試驗(yàn)對(duì)理論計(jì)算值進(jìn)行了驗(yàn)證。但該研究沒(méi)有分析運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿對(duì)振動(dòng)特性的影響。彭苗嬌等[14]研究了應(yīng)用于風(fēng)洞試驗(yàn)的飛行器模型支撐的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)牽引繩與模型之間振動(dòng)的耦合關(guān)系，為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制補(bǔ)償提供了參考。但該研究只考慮了模型處于中心位置時(shí)的工況，缺乏一定的普遍性。吳太歡等[15]研究了繩系結(jié)構(gòu)和繩索預(yù)緊力對(duì)全模顫振雙索懸掛系統(tǒng)剛體模態(tài)頻率的影響，研究發(fā)現(xiàn)，控制懸索預(yù)緊力的大小以及合理設(shè)計(jì)機(jī)身上滑輪安裝位置可以有效改變雙索懸掛系統(tǒng)剛體的模態(tài)頻率，從而模擬顫振試驗(yàn)的動(dòng)力學(xué)性能。但該研究只考慮了不同振動(dòng)方向解耦時(shí)的振動(dòng)特性，而沒(méi)有考慮不同方向耦合情況的振動(dòng)。

以上研究中，有些研究在分析索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性時(shí)，只考慮了繩索的振動(dòng)，沒(méi)有分析運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振動(dòng)，無(wú)法完整地體現(xiàn)系統(tǒng)特性。還有一些研究只考慮了機(jī)構(gòu)在某一特定工況時(shí)的振動(dòng)特性，尤其是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置時(shí)的振動(dòng)特性，沒(méi)有研究運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置變化對(duì)振動(dòng)特性的影響。本文對(duì)一種空間冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。分析了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置以及繩索拉力水平對(duì)機(jī)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，并通過(guò)仿真和試驗(yàn)研究了不同工況下機(jī)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律。研究結(jié)果對(duì)于索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)控制具有指導(dǎo)意義。

1 機(jī)構(gòu)描述

面向在軌裝配的空間索并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由框架、驅(qū)動(dòng)單元、繩索以及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)組成(如圖1所示)。驅(qū)動(dòng)單元包含電機(jī)、減速器、卷軸、拉力傳感器、滑輪等，用于驅(qū)動(dòng)繩索、檢測(cè)張力等。模塊化的驅(qū)動(dòng)單元通過(guò)接口與空間大型機(jī)械進(jìn)行對(duì)接，從而實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)單元的固定及通信。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上面搭載各種適配器，用于執(zhí)行各種裝配作業(yè)。整體系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、搭建方便、質(zhì)量輕、工作空間大、承載能力強(qiáng)、便于維護(hù)等特點(diǎn)。

圖1 空間冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of spatial redundant CDPM

本文所設(shè)計(jì)的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)預(yù)期安裝在一長(zhǎng)方體空間區(qū)域，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)形狀可簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方體，其尺寸參數(shù)如表1所示。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)需要承受3個(gè)平動(dòng)自由度方向的力以及3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度方向的力矩。由于繩索的單向受力性，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)必須采用冗余驅(qū)動(dòng)的方式，即繩索數(shù)量大于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的自由度數(shù)[16]。考慮機(jī)構(gòu)布局的對(duì)稱性，選取繩索數(shù)量為8，繩索采用上下交叉布局的方式，框架上部的四個(gè)出繩點(diǎn)通過(guò)繩索與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)底部的四個(gè)頂點(diǎn)相連(如圖2所示)。為了避免繩索發(fā)生干涉，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上部的四個(gè)繩索連接點(diǎn)向中間移動(dòng)一段距離。這種繩索布局方式可以使機(jī)構(gòu)具有較大的承載能力[17]。

表1 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of cable-driven parallel mechanism

由于在空間環(huán)境中，繩索不會(huì)產(chǎn)生因重力導(dǎo)致的懸鏈線變形，因此可以將其建模為直線。圖2中，OXYZ為全局坐標(biāo)系，Pxyz為局部坐標(biāo)系。點(diǎn)P為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)。Bi和Pi(i=1,2,…,8)分別表示出繩點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)。Obi為出繩點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的位置矢量，Op為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的位置矢量，pi為繩索與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位置矢量，ORP為局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

圖2 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型示意圖Fig.2 Schematic diagram of the CDPM conFiguration

單位繩索方向矢量可以表示為

(1)

對(duì)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析，ti=tiui(i=1,2,…,8)表示為繩索拉力矢量，ti為繩索拉力值，fp和τp分別為作用在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上的除繩索拉力外的其它合力和合力矩。由力平衡條件可得

(2)

(3)

式(2)和式(3)可合并為

JTT+F=0

(4)

式(4)即為索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力旋量平衡方程。

2 空間冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)模型

2.1 剛度矩陣

運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在受到微小外力旋量dF時(shí)，必然會(huì)產(chǎn)生微小位姿變化dX。因此索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度可表示為

(5)

式中，K稱為索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣。把式(4)代入式(5)，得

(6)

由式(6)可以看出剛度矩陣K由兩部分組成，前者與繩索拉力有關(guān)，稱為主動(dòng)剛度Ka，后者與索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿以及繩索剛度有關(guān)，稱為被動(dòng)剛度Kp[18]。對(duì)Ka進(jìn)行計(jì)算

(7)

(8)

索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為

(9)

其與索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)矩陣JT互為轉(zhuǎn)置。

把式(9)代入式(8)，得

(10)

設(shè)ki為繩索i的剛度，

(11)

式中：Ei為繩索i的彈性模量；Ai為繩索i的截面面積；loi為繩索i的初始長(zhǎng)度。因此式(10)中，

(12)

把式(12)代入式(10)，

(13)

于是得到索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整剛度矩陣：

(14)

2.2 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)模型

對(duì)于本文所研究的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)，雖然繩索的跨度較大，但其質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量，此外，由于空間不存在空氣阻尼作用，且繩索本身的阻尼也很小，因此建模時(shí)忽略繩索的質(zhì)量和阻尼。基于這兩個(gè)前提，建立索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由振動(dòng)模型

(15)

式中，M為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量矩陣。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在平衡位置處的自由振動(dòng)，系統(tǒng)的固有角頻率ω和模態(tài)矢量q的關(guān)系可以表示為

(K-ω2M)q=0

(16)

(17)

3 振動(dòng)特性仿真

3.1 理論計(jì)算

由式(17)可知，在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量確定的情況下，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性取決于剛度矩陣K。通過(guò)2.1節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn)，剛度矩陣K與索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿以及繩索拉力有關(guān)。本節(jié)通過(guò)仿真的方式對(duì)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位置以及不同繩索拉力的條件時(shí)的振動(dòng)特性進(jìn)行研究，從而分析不同工況時(shí)機(jī)構(gòu)的性能。

首先對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置時(shí)(Op1=[0，0，12.5]Tm)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。本研究采用密度低且彈性模量大的Dyneema繩索，單位長(zhǎng)度的繩索剛度為7.56×105N/m。設(shè)定繩索拉力分別為：T=[512.5, 518, 512.5, 518, 517.3，509.7，517.3，509.7]TN，求得主動(dòng)剛度Ka和被動(dòng)剛度Kp分別為

剛度矩陣

可以看出剛度矩陣K具有明顯的對(duì)角線特性，非對(duì)角線元素接近0。因此，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置處時(shí)，不同方向的剛度是解耦的。通過(guò)剛度矩陣還可看出機(jī)構(gòu)在x方向和y方向的平動(dòng)剛度以及繞x軸(α方向)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度較大，而在z方向的平動(dòng)剛度以及繞y軸(β方向)和z軸(γ方向)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度相對(duì)較小。

機(jī)構(gòu)的各階固有頻率和對(duì)應(yīng)的模態(tài)矢量如表2所示。由于不同方向的剛度是解耦的，因此機(jī)構(gòu)的模態(tài)也呈現(xiàn)出相互獨(dú)立的特點(diǎn)。由于索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的跨度以及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量都較大，因此機(jī)構(gòu)的各階固有頻率較低。z方向的固有頻率最低，為2.28 Hz，α方向和β方向的固有頻率較高，分別為6.97 Hz和7.74 Hz。

表2 中心位置處索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各階固有頻率和模態(tài)矢量Tab.2 The natural frequencies and modal vectors of the CDPM at the center position

在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于邊緣位置時(shí)(Op2=[20，18,5]Tm)，設(shè)定繩索拉力矩陣T=[810.4, 365.1, 57.1, 534.6, 476.0, 164.0, 51.1, 132.6]TN，機(jī)構(gòu)的主動(dòng)剛度和被動(dòng)剛度分別為

Ka=

Kp=

剛度矩陣

K=

此時(shí)矩陣的非對(duì)角線元素增大，不同方向的剛度呈現(xiàn)出強(qiáng)耦合性。機(jī)構(gòu)的各階固有頻率和模態(tài)矢量如表3所示。由于不同方向剛度的耦合性，機(jī)構(gòu)的模態(tài)也表現(xiàn)出強(qiáng)耦合特點(diǎn)。對(duì)于固有頻率最低的兩個(gè)模態(tài)，一階固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)矢量主要為x方向、y方向以及α方向的耦合。二階固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)矢量接近z方向。除了第5階模態(tài)矢量，其余各階模態(tài)矢量均為6個(gè)方向的耦合。因此，當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)遠(yuǎn)離中心位置時(shí)，由于不同方向的剛度并不相互獨(dú)立，其振動(dòng)特性相對(duì)復(fù)雜。

表3 邊緣位置處索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各階固有頻率和模態(tài)矢量Tab.3 The natural frequencies and modal vectors of the CDPM at the the edge position

(a) 中心位置

(b) 邊緣位置圖3 繩索拉力水平對(duì)機(jī)構(gòu)固有頻率的影響Fig.3 Influence of rope tension level on the natural frequency of the mechanism

從圖中可以看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置處時(shí)，提高繩索拉力水平對(duì)于增加機(jī)構(gòu)的固有頻率具有一定的效果，尤其是對(duì)于機(jī)構(gòu)的4階模態(tài)和5階模態(tài)下的固有頻率，但該效果并不明顯。而當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于邊緣位置處時(shí)，提高繩索拉力對(duì)于增加機(jī)構(gòu)的固有頻率幾乎沒(méi)有影響。這是因?yàn)楸疚乃芯康乃鞑⒙?lián)機(jī)構(gòu)所采用的繩索具有較大的彈性模量，機(jī)構(gòu)的被動(dòng)剛度較大，此時(shí)通過(guò)增大繩索拉力來(lái)提高主動(dòng)剛度的方式對(duì)于整體剛度的提高的效果很小。整體來(lái)看，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置對(duì)機(jī)構(gòu)的模態(tài)影響較大，不僅各階固有頻率會(huì)發(fā)生變化，與之相對(duì)應(yīng)的模態(tài)方向也會(huì)發(fā)生改變，表現(xiàn)為不同方向之間較強(qiáng)的耦合性。

3.2 仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述模型建立的正確性，并深入分析索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性，本節(jié)在ADAMS環(huán)境中建立了空間索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型(如圖4所示)。該模型包括滑輪、繩索及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。將運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置分別設(shè)定為中心位置(Op1=[0，0，12.5]Tm)和邊緣位置(Op2=[20，18,5]Tm)，相應(yīng)的繩索拉力分別與3.1節(jié)的理論值相同。設(shè)置仿真步長(zhǎng)為100，為對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)施加不同方向的激勵(lì)，得到運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不同振動(dòng)方向的時(shí)域信號(hào)。采用快速傅里葉變換(FFT)將時(shí)頻信號(hào)轉(zhuǎn)化為頻域信號(hào)，如圖5～圖8所示。

圖4 ADAMS中索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型Fig.4 Model of cable-driven parallel mechanism in ADAMS

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖5 中心位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加y向激勵(lì))Fig.5 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at the center position (applying y-direction excitation)

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖6 中心位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加z向激勵(lì))Fig.6 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at the center position(applying z-direction excitation)

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖7 邊緣位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加x向激勵(lì))Fig.7 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at edge position(applying x-direction excitation)

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖8 邊緣位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加y向激勵(lì))Fig.8 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at edge position(applying y-direction excitation)

由圖可以看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置處時(shí)，分別對(duì)其施加y向和z向激勵(lì)，則運(yùn)動(dòng)平臺(tái)沿激勵(lì)方向振動(dòng)，且振動(dòng)頻率與該沿該方向的理論固有頻率相符合(誤差分別為3.09%和0.89%)，這是由于中心位置處機(jī)構(gòu)的剛度矩陣是解耦的，因此不同方向的剛度相互獨(dú)立，不同模態(tài)矢量也是相互獨(dú)立的，單方向的激勵(lì)不會(huì)引起多個(gè)方向的振動(dòng)。而當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于邊緣位置時(shí)，不同方向剛度的耦合導(dǎo)致機(jī)構(gòu)各階模態(tài)矢量具有多方向耦合的特點(diǎn)，此時(shí)單方向的激勵(lì)會(huì)引起運(yùn)動(dòng)平臺(tái)多個(gè)方向的振動(dòng)。在對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)施加x方向和y方向的激勵(lì)時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)會(huì)在至少三個(gè)平動(dòng)方向上產(chǎn)生振動(dòng)，振動(dòng)頻率以一階固有頻率和二階固有頻率為主。仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的高度擬合可以證明本文所建模型的正確性。

4 樣機(jī)試驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證空間索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際振動(dòng)特性，本文研制了索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的縮比樣機(jī)，通過(guò)試驗(yàn)對(duì)機(jī)構(gòu)不同工況下的振動(dòng)規(guī)律進(jìn)行進(jìn)一步研究。

4.1 繩索剛度標(biāo)定

在以往的關(guān)于索并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)方面的研究中，往往將繩索建模為彈簧模型，其剛度可以表示為式(11)。為了避免繩索剛度誤差對(duì)剛度矩陣以及后續(xù)試驗(yàn)效果的影響，本節(jié)對(duì)試驗(yàn)用繩索進(jìn)行選型和剛度標(biāo)定。

本文選取了三種不同的繩索，其直徑分別為0.8 mm、1.0 mm、2.0 mm。取其原長(zhǎng)為700.0 mm，通過(guò)拉伸試驗(yàn)機(jī)分別測(cè)試其伸長(zhǎng)量與載荷之間的關(guān)系。繩索樣本及拉伸試驗(yàn)過(guò)程如圖9～10所示。不同繩索的伸長(zhǎng)量與載荷的關(guān)系如圖11所示。

圖9 繩索樣本Fig.9 Cable samples

圖10 繩索拉伸試驗(yàn)Fig.10 Cable tension test

圖11 繩索伸長(zhǎng)量-載荷曲線Fig.11 Cable elongation-load curve

圖11中曲線的斜率即為繩索的剛度?？梢钥闯?，繩索的在受拉時(shí)的伸長(zhǎng)量與載荷并不呈嚴(yán)格的線性關(guān)系，其中繩索2表現(xiàn)出的線性度最好，因此該繩索具有衡定的剛度。繩索1次之，而繩索3在受拉時(shí)的伸長(zhǎng)量與載荷表現(xiàn)出較差的線性相關(guān)度，這是因?yàn)槔K索3是多層編織的，在受拉時(shí)內(nèi)層和外層并不同時(shí)伸長(zhǎng)，因此在初始階段相同伸長(zhǎng)量下繩索的載荷變化較小，而在后期隨著內(nèi)層和外層同時(shí)承受載荷，曲線3的斜率開始增大，表現(xiàn)為繩索的剛度增加。這種情況下，采用式(11)的繩索剛度模型將產(chǎn)生較大的誤差。綜合考慮，本文選用第2種繩索，其在受拉時(shí)表現(xiàn)出恒定的剛度，符合式(11)的繩索剛度模型。

4.2 縮比樣機(jī)振動(dòng)特性試驗(yàn)

圖12為空間索并聯(lián)機(jī)構(gòu)1∶15縮比樣機(jī)。整體由框架、驅(qū)動(dòng)單元、繩索和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)組成。驅(qū)動(dòng)單元包含了電機(jī)、卷軸、繩索拉力傳感器和滑輪。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振動(dòng)由相機(jī)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。類比4.1節(jié)設(shè)置運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置以及繩索張力。計(jì)算得到不同位置處樣機(jī)的各階模態(tài)(表4～表5)。

圖12 空間索并聯(lián)機(jī)構(gòu)縮比樣機(jī)Fig.12 Scaled prototype of the cable-and-parallel mechanism

表4 中心位置處樣機(jī)的各階固有頻率和模態(tài)矢量Tab.4 The natural frequencies and modal vectors of the prototype at the center position

表5 邊緣位置處樣機(jī)的各階固有頻率和模態(tài)矢量Tab.5 The natural frequencies and modal vectors of the prototype at the the edge position

在對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)施加不同方向的激勵(lì)后，測(cè)得樣機(jī)的時(shí)域信號(hào)以及快速傅里葉變換后的頻域信號(hào)如圖13～圖16所示。

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖13 中心位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加y向激勵(lì))Fig.13 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at the center position (applying y-direction excitation)

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖14 中心位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加z向激勵(lì))Fig.14 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at the center position (applying z-direction excitation)

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖15 邊緣位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加y向激勵(lì))Fig.15 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at edge position(applying y-direction excitation)

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)圖16 邊緣位置處運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)(施加z向激勵(lì))Fig.16 Time domain signal and frequency domain signal of the moving platform at edge position(applying z-direction excitation)

可以發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置處時(shí)，分別對(duì)其施加y向和z向激勵(lì)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)沿激勵(lì)方向振動(dòng)，且振動(dòng)頻率與該沿該方向的理論固有頻率具有較高的擬合性。在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于邊緣位置時(shí)，對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)分別施加y方向和z方向的激勵(lì)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)會(huì)在至少三個(gè)平動(dòng)方向上產(chǎn)生振動(dòng)，振動(dòng)頻率仍以一階固有頻率和二階固有頻率為主。樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與仿真得出的結(jié)論相一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所建模型以及所得出的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)規(guī)律的有效性。

5 結(jié) 論

本文對(duì)一種空間冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。通過(guò)理論計(jì)算、仿真以及樣機(jī)試驗(yàn)相結(jié)合的方式分析了不同工況對(duì)機(jī)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，得到以下結(jié)論：

(1) 在采用高彈性模量的繩索時(shí)，機(jī)構(gòu)的被動(dòng)剛度較大，此時(shí)采用提高繩索拉力來(lái)增加機(jī)構(gòu)主動(dòng)剛度從而提高其固有頻率的效果十分有限。相對(duì)而言，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿對(duì)于機(jī)構(gòu)固有頻率的影響較為明顯。

(2) 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在中心位置處時(shí)機(jī)構(gòu)不同方向的剛度是解耦的，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)各階模態(tài)矢量相互獨(dú)立，不同方向的振動(dòng)互不影響。

(3) 在邊緣位置處，機(jī)構(gòu)不同方向的剛度表現(xiàn)出強(qiáng)耦合性，其各階模態(tài)矢量也具有相同的特點(diǎn)，表現(xiàn)為單方向的干擾力會(huì)引起多個(gè)方向的振動(dòng)，且振動(dòng)頻率以一、二階固有頻率為主。

本文研究結(jié)果對(duì)于索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)控制具有指導(dǎo)意義。