基于整體式初始位移的柔性結構低頻模態試驗方法

姜 東， 錢 慧， 朱 銳， 吳憶蒙， 胡嘉苗

(1. 南京林業大學 機械電子工程學院， 南京 210037; 2. 東南大學 空天機械動力學研究所, 南京 211189)

結構模態參數辨識是結構振動的核心內容之一，可以為結構動力學模型修正、損傷識別、故障診斷和健康監測等提供參考[1-4]。大型柔性結構如薄膜天線、太陽翼、桁架等廣泛應用于航空航天領域，此類結構由于剛度較低以及形體龐大，具有低頻模態的特點。采用傳統測試方法進行大型柔性結構模態測量時，難以進行整體激振，導致測得的模態參數較難反映整體模態[5-7]。

激振方法選擇是模態試驗的關鍵，常見的激勵方式有錘擊激振法和激振器法。董袖青等[8]對某天線伺服機構進行模態試驗，獲得其模態參數，為天線伺服機構動態結構優化提供了參考；黃春芳等[9]對復合材料桁架結構進行了模態試驗；Meguro等[10]對工程測試衛星(ETS-VIII)進行了地面動力學測試與分析；Hunady等[11]利用錘擊法結合3D-DIC技術對復合材料板的模態參數進行了確定；Yin等[12]研究了考慮動態邊界條件的柔性梁的模態參數，提出了一種無轉動梁模型來描述轉動柔性梁的動態邊界條件；王桂倫等[13]針對鉸接式空間桁架結構，研究了懸掛和拾振條件對于模態試驗的影響；Zhu等[14-16]利用Sherman-Morrison-Woodbury理論消除了模態試驗中附加傳感器質量對試驗結果的影響，且修正后的頻響函數與目標值吻合較好。以上學者均采用錘擊激振法進行模態試驗，該方法屬于單點激勵頻響函數測試技術，操作簡單且容易實現[17]，但是該方法，因此必須考慮另外的試驗方法。激振器激勵方法通過激振器、力傳感器和激振桿對結構施加激勵信號來獲得結構的響應信號，激振力度和波形可控、激振穩定、信噪比高，常用的激勵信號有正弦、隨機和周期等形式[18]。張祎貝等[19]研究了薄膜結構在真空環境與空氣環境中，激振器振幅對模態識別結果的影響；余建新等[20]以鋁合金薄殼截錐殼衛星適配器樣機為研究對象，利用激振器法有效識別試驗模態分析過程中的虛假模態和軸對稱結構中的密集模態。然而，對于大型柔性結構，局部的激振難以激發整體的模態，因此需要研究針對大型柔性結構低頻模態特點的激振方法。

對于航天結構的動力學參數辨識研究，早期多使用頻域方法[21]，例如頻域分解法(frequency domain decomposition, FDD)[22]，它很好地對峰值拾取法的一些缺陷進行了改進，對密集模態也有良好的識別效果。同時隨著航天事業的發展，航天器的結構呈現出大柔性和低頻的特點，在這種情況下，時域辨識方法逐漸成為了航天器動力學參數辨識中的主要方法。特征系統實現算法(eigensystem realization algorithm, ERA)[22-24]通過構造廣義Hankel矩陣，利用奇異值分解技術，得到系統的最小實現，從而得到最小階數的系統矩陣，以此為基礎進一步識別系統的模態參數。于亮亮等[25]利用改進的ERA算法針對激勵中含有諧波成分時完成了工況模態參數辨識；章國穩等[26]將奇異值分解結合模態能量水平來剔除ERA算法識別結果中的虛假模態。朱銳等[27]提出一種基于奇異值百分比的模態定階指標對ERA算法進行改進，改進后算法可以有效確定模態階次、剔除虛假模態，且能更精確地識別阻尼參數。特征系統實現算法具有辨識精度高，抗噪能力強，便于確定模態階次且識別速度較快，同時對具有低頻模態特征的結構具有較強的辨識能力[28]。

本文提出了一種基于整體式初始位移的柔性結構的模態辨識方法，將整體式位移作為系統的激勵，首先對結構施加整體式位移初始條件，測量結構的響應信號，最后利用測得的瞬態響應數據由特征系統實現算法辨識出結構的模態參數。通過總長為30 m的三棱柱型桁架的仿真算例，驗證整體式位移激勵方法的可行性，討論噪聲對辨識精度的影響；通過帶集中質量柔性梁試驗，比較所提試驗方法與傳統錘擊法所獲得頻響函數的準確性。

1 整體式初始位移條件下結構動響應

多自由度系統自由振動的控制方程為

(1)

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣。通過廣義特征值分析，獲得多自由度系統的前n階固有頻率(ω1,ω2，…,ωn)和固有振型(φ1,φ2，…,φn)，n階振型向量可以構成如下振型矩陣Φ

Φ=(φ1φ2…φn)

(2)

根據模態的正交性，系統的任意n維振動可唯一地表示為各階模態的線性組合

(3)

式中：zr(r=1, 2, …,n)是在模態空間描述系統運動的廣義坐標，稱為主坐標；r表示模態階次。各階主坐標組成的列陣z為主坐標列陣

z=(z1z2…zn)T

(4)

將式(4)建立的主坐標代入式(1)，并各項左乘ΦT可得

(5)

假設C為比例阻尼，作模態分解后得到n個獨立的單自由度系統

(6)

假設結構的初始條件為任意的整體式初始位移，即

(7)

此時，式(6)的解為

(8)

式中：ωr為無阻尼固有頻率；ωdr阻尼系統固有頻率；ξr為阻尼比。

(9)

模態空間的初始位移zr(0)可以用物理空間的初始位移表示為

(10)

將式(8)代入式(3)，可得系統響應

(11)

將式(11)中cos(ωdrt-θr)表示為

(12)

則系統響應可表示為

(13)

令

(14)

公式(13)可以簡寫為

(15)

式中，上標*表示復數的共軛。

任意整體式初始位移條件下系統響應具有脈沖響應函數的形式，脈沖響應函數是特征系統實現算法的輸入條件[29]。

2 特征系統實現算法

對于有限、離散時間的線性定常系統其狀態方程可以表示為以下形式

(16)

式中：x∈RN為N維狀態向量；u∈RM為M維輸入向量；y∈RP為P維輸出(觀測)向量；A為系統的狀態矩陣，對于柔性結構，該矩陣表征了結構的質量、剛度和阻尼特性；B∈RN×M為輸入矩陣；C∈RP×N為輸出(觀測)矩陣。

根據式(16)，初始條件下系統的響應函數矩陣可表示為

Y(k)=CAk[x1(0)x2(0) …xM(0)]

(17)

利用響應函數構造Hankel矩陣

(18)

式中，ji(i=1,…,r-1)和ti(i=1,…,s-1)可取任意常數。對Hrs(0)進行奇異值分解Hrs(0)=UVWT；由奇異值分解確定階次并獲得系統的最小實現

(19)

(20)

(21)

對矩陣A進行特征值分解，求得特征值矩陣G，然后求出特征向量矩陣φ。

φ-1Aφ=G,G=diag(g1,g2,…,gr)

(22)

式中：gr為矩陣A的特征值；r為模態階次。

根據矩陣A的特征值gr與系統特征值λr之間的關系確定模態頻率ωr和模態阻尼比ζr

(23)

(24)

(25)

根據輸出矩陣C與特征向量矩陣φ可確定模態振型矩陣φ[30]

(26)

利用模態置信準則(model assurance criterion, MAC)[31]檢查兩階模態之間的相互獨立性和一致性

(27)

式中：φu,φv均為振型向量；u,v為模態階次。

3 整體式位移激勵方法實現

如圖1所示為整體式初始位移條件下柔性結構模態辨識的流程圖，實現步驟如下：

圖1 整體式初始位移條件下模態辨識流程圖Fig.1 Flow chart of initial displacement excitation method

(1) 構造任意的整體式初始位移矩陣ΔQi，將ΔQi施加到結構上；

(2) 通過測試，得到結構的響應信號(i)；

(3) 利用響應信號Y(i)構造Hankel矩陣Hrs(0)；

(4) 將Hankel矩陣進行奇異值分解，即Hrs(0)=UVWT；

(5) 通過奇異值曲線判定系統的階次，獲得如式(19)所示的系統矩陣A和輸出矩陣C；

(6) 對系統矩陣A進行特征值分解，得到結構的模態頻率ωr、模態阻尼ζr和模態振型矩陣φ；

4 算例研究

本章通過30 m的三棱柱型桁架的仿真算例，以及帶集中質量塊的柔性梁的模態試驗，驗證施加整體式位移的激勵方法對結構模態參數辨識的可行性。

4.1 桁架結構仿真

本小節以三棱柱型桁架作為研究對象，驗證施加整體式初始位移的激勵方法對結構模態參數辨識的可行性，研究噪聲對辨識結果精度的影響。

如圖2所示為桁架結構示意圖，弦桿與腹桿均為截面為50 mm×20 mm矩形，單榀中組成三角形截面的梁單元長度為800 mm，單榀間連接梁的長度為1.5 m，整個桁架結構共有20榀，總長度為30.0 m。桁架為一端固定，即將節點21、節點42、節點63固定，通過表1的參數，采用梁單元建立其有限元模型，并計算前6階模態參數，作為參考值。

表1 桁架結構建模參數Tab.1 Modeling parameters of truss structures

圖2 桁架結構示意圖Fig.2 Truss structure diagram

表2 有限元分析模態參數結果Tab.2 Modal parameter results of finite element analysis

4.1.1 施加任意初始整體式位移

本節研究給結構施加任意的整體式初始位移對結構模態參數辨識精度影響。給桁架的節點1和節點14沿y方向施加初始位移，分別為-10 cm和10 cm，如圖3所示，使桁架得到一個整體式的位移，然后得到結構的響應信號。采樣時間間隔為0.02 s，即采樣頻率為50 Hz，采樣時間20 s，通過瞬態響應計算得到節點1～節點21的位移響應信號，將瞬態響應的位移數據導出，利用特征系統實現算法進行分析計算，得到如表3所示的模態辨識結果。無噪聲條件下的穩態圖如圖4所示。

圖3 任意整體式初始位移激勵圖Fig.3 Arbitrary initial displacement excitation diagram

圖4 無噪聲ERA穩定圖Fig.4 Noise-free ERA stability diagram

表3 施加任意整體式初始位移ERA模態辨識對比結果Tab.3 Comparison results of modal identification of ERA with arbitrary initial displacement excitation

分析可知，通過對結構的1號點和14號點施加兩個任意整體式初始位移激勵，能識別出前6階模態參數，且與理論值相比誤差較小。由辨識結果可知，前三階辨識模態頻率的誤差均在±1%以內，辨識阻尼比的誤差均在±2%以內，最大的頻率和阻尼比辨識誤差均在±5%以內，從而施加任意整體式位移激勵方法的可行性和精度。

施加任意整體式初始位移激勵辨識振型與仿真振型的對比結果如圖5所示。

(a) 1階振型對比圖

(b) 2階振型對比圖

(c) 3階振型對比圖

(d) 4階振型對比圖

(e) 5階振型對比圖

(f) 6階振型對比圖圖5 任意整體式初始位移激勵的辨識振型與仿真振型對比圖Fig.5 Comparison diagram of the identified and simulated modes with arbitrary initial displacement excitation

根據模態置信度理論，施加任意位移激勵ERA辨識振型與仿真振型MAC值對比，從圖6可以看出，對結構施加任意整體式位移后ERA算法得到的試驗模態振型與仿真振型匹配度較高，驗證了在實際工程操作中，只對結構的某些結點施加任意整體式位移激勵對結果模態辨識的可行性。

圖6 辨識振型與仿真振型MAC值對比Fig.6 Comparison diagram of MAC values of the recognized and simulated modes

4.1.2 抗噪性能

由于實際工程操作中不可避免的存在噪聲激勵[32]，本節研究本文所提出方法在5%白噪聲激勵下的模態辨識精度，按如下公式對位移激勵信號加入噪聲

Y′(i)=Y(i)×(1+0.05μ)

(28)

式中：Y′(i)為施加5%白噪聲的信號；Y(i)為原始位移激勵信號；μ為介于-1～1的隨機數。

將施加任意整體式初始位移激勵后得到的節點1～節點21的位移響應信號加入5%的白噪聲，其中結點16響應數據加入5%白噪聲信號前后對比如圖7所示；并將經過處理后的數據利用特征系統實現算法進行模態辨識，得到如表4所示的模態辨識結果。加入5%白噪聲信號后識別得到的穩態圖如圖8所示。

圖7 結點16響應數據加入5%白噪聲信號前后對比圖Fig.7 Comparison before and after adding 5% white noise signal to the data of point 16

表4 加入5%白噪聲后ERA模態辨識結果Tab.4 Results of ERA modal identification after adding 5% white noise

圖8 加入5%白噪聲后ERA穩定圖Fig.8 ERA stability diagram after adding 5 % white noise

分析可知，加入5%白噪聲后的ERA識別結果與有仿真結果吻合較好，前三階辨識模態頻率的誤差均在±1%以內，辨識阻尼比的誤差均在±2%以內，最大的頻率和阻尼比辨識誤差均在±5%以內。說明加入5%白噪聲后ERA算法抗噪性能較好。加入5%的白噪聲后的辨識振型與仿真振型對比結果如圖9所示。

(a) 1階振型對比圖

(b) 2階振型對比圖

(c) 3階振型對比圖

(d) 4階振型對比圖

(e) 5階振型對比圖

(f) 6階振型對比圖圖9 辨識振型與仿真振型對比(5%白噪聲)Fig.9 Comparison diagram of the identified and simulated modes after adding 5% white noise

利用本文ERA算法將加入5%白噪聲后辨識振型與仿真振型MAC值對比，從圖10中可以看出，加入5%白噪聲后辨識振型與有限元仿真得到的模態振型匹配度較高，模態置信度能達到0.9以上，說明加入5%白噪聲后，本文提出方法模態參數辨識精度較好，抗噪性能較高。

圖10 辨識振型與仿真振型MAC值對比(5%白噪聲)Fig.10 Comparison diagram of MAC values of the recognized and simulated modes after adding 5% white noise

4.2 柔性梁試驗

本小節針對帶集中質量塊的柔性梁，分別采用錘擊法和整體式位移激勵法進行模態試驗，獲得結構的模態參數，將兩種不同激勵方法的模態辨識結果進行對比，驗證本文所提出方法的優越性、可行性和精度要求。

構造基頻低于0.5 Hz的結構進行試驗。試驗對象為一端固定的細長柔性梁，截面為30 mm×2 mm的矩形，長度2 m，共分為11個測點，其中節點1和節點2進行固定，節點3～節點9布置集中質量塊，并通過螺紋孔與柔性梁進行固定，每個集中質量塊為1.13 kg，如圖11所示。橡膠繩的材質為純天然乳膠，內徑3 mm，外徑5 mm。4個壓電式加速度傳感器，型號為CA-YD-107，靈敏度分別為2.73 pC/ms-2，2.92 pC/ms-2，2.53 pC/ms-2，1.84 pC/ms-2，質量為28g，頻率范圍為1～5 000 Hz，精度誤差小于2%。

圖11 柔性梁結構圖Fig.11 Dimension drawing of flexible beam

懸吊固支柔性梁的模型參數如表5所示。該結構形式簡單，通過理論計算設計其基頻，然后通過有限元仿真計算其模態參數。

表5 懸吊固支柔性梁模型參數Tab.5 Model parameter of suspended and fixed flexible beam

分別采用錘擊法和整體式位移激勵法進行模態試驗，試驗步驟如下：

(1) 錘擊激勵法：采用橡膠繩進行對節點3、5、7、9進行懸吊，并在節點10布置加速度傳感器，利用力錘別對節點3～節點10進行錘擊，采集結構在0～40 s內的加速度信號，如圖12(a)所示。

(a) 錘擊激勵法

(b) 整體式初始位移激勵法圖12 柔性梁試驗現場圖Fig.12 Field diagram of modal testing

(2) 整體式位移激勵法：采用橡膠繩進行對節點3、5、7、9進行懸吊，并在節點4、6、8、10布置加速度傳感器，利用細繩對節點6和節點11施加任意的整體式位移，采集結構在0～40 s內的加速度信號，如圖12(b)所示。

將兩種不同工況測得的加速度響應數據利用特征系統實現算法進行模態辨識，圖13為錘擊激勵法頻響函數曲線圖和整體式位移激勵法功率譜曲線圖。

圖13 錘擊激勵法頻響函數曲線圖和整體式初始位移激勵法功率譜曲線圖Fig.13 Frequency response function curve of hammer excitation and power spectrum diagram of arbitrary initial displacement excitation

錘擊激勵法得到的頻率誤差對比結果表6可知，由于結構基頻較低，錘擊激勵法未能將結構基頻激發，因此未能識別出結構的基頻。錘擊激勵法辨識振型與仿真振型的對比結果如圖14所示。

表6 錘擊激勵法頻率誤差對比Tab.6 Comparison of frequency error of hammer excitation test

(a) 2階振型對比圖

(b) 3階振型對比圖

(c) 4階振型對比圖圖14 錘擊激勵法辨識振型與仿真振型對比圖Fig.14 Comparison of the identified and simulated model shapes of hammer excitation test

整體式初始位移激勵法頻率誤差如表7所示。分析結果表明，通過對結構的6號點和11號點施加任意整體式位移激勵，能識別出前4階模態參數，且與仿真結果誤差較小，1階頻率誤差為-3.44%，2階頻率誤差為-4.48%，3階頻率誤差為-3.07%，4階頻率誤差為-4.53%；施加整體式初始位移激勵辨識振型與仿真振型的對比結果如圖15所示。

表7 整體式初始位移激勵法頻率誤差對比Tab.7 Comparison of frequency error of arbitrary initial displacement excitation

(a) 第1階振型對比

(b) 第2階振型對比

(c) 第3階振型對比

(d) 第4階振型對比圖15 整體式位移激勵法辨識振型與計算振型對比圖Fig.15 Comparison of the identified and simulated model shapes of initial displacement excitation test

錘擊激勵法僅識別出第2、第3和第4階模態參數，且這三階的辨識振型與仿真振型的MAC值小于0.8，從而說明錘擊激勵法在低頻柔性結構模態參數識別的局限性。

施加整體式初始位移激勵ERA辨識振型與仿真振型MAC值對比，從圖16(b)可以看出，對結構施加任意整體式初始位移后ERA算法得到的試驗模態振型與仿真振型匹配度較高，MAC值對比大于0.9，進一步驗證了在實際工程操作中，只對結構的某些結點施加任意整體式初始位移激勵對結果模態辨識的可行性。

(a) 錘擊激勵法

(b) 整體式位移激勵法圖16 辨識振型與仿真振型MAC值對比Fig.16 Comparison of model identification and simulation model MAC values

表8 不同激勵方式頻率誤差對比Tab.8 Comparison of frequency error under different excitation methods

通過不同激勵方式的辨識頻率誤差對比可知，傳統的錘擊激勵法不能有效識別柔性梁的低頻模態，而利用整體式初始位移激勵法可以辨識出結構的低頻模態，且頻率誤差為-3.439%，從而驗證了本文所提出方法的優越性和可行性。

5 結 論

針對大型柔性結構難以整體激振的問題，提出了一種基于整體式初始位移激勵的柔性結構模態辨識方法。通過30 m長桁架的仿真算例和帶集中質量塊的柔性梁模態試驗，驗證了本文所提出方法的可行性。

(1) 通過對結構施加任意整體式初始位移激勵得到的響應數據進行模態辨識，頻率最大誤差在±5%以內，且辨識振型與仿真振型的MAC值大于0.9，施加使結構發生彈性變形的整體式位移，即可辨識出結構的模態參數。所提出方法具有一定的抗噪性能。

(2) 針對帶集中質量塊的柔性梁結構，錘擊法不能有效識別其基頻模態參數，而通過對結構施加整體式初始位移的方法，可以有效識別出帶集中質量塊的柔性梁結構的基頻模態參數，從而驗證了所提出整體式位移激勵方法的可行性。